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3.2.1 二次根式的乘法教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.2.1 二次根式的乘法
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾二次根式性质：我们已经学习了二次根式的性质 3\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），即积的算术平方根等于算术平方根的积，这一性质是二次根式乘法的理论基础。
问题情境：观察\(\sqrt{2} \sqrt{3}\)、\(2\sqrt{5} 3\sqrt{7}\)这样的式子，如何进行二次根式的乘法运算？它们的运算结果有什么特点？
引入概念：二次根式的乘法是指两个或多个二次根式相乘的运算，其法则是二次根式性质 3 的逆用。本节课我们将学习二次根式的乘法法则及应用。
学习意义：掌握二次根式的乘法法则，能正确进行二次根式的乘法运算，为后续学习二次根式的混合运算奠定基础，提高运算能力。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解二次根式的乘法法则；掌握二次根式乘法的运算方法，能熟练进行二次根式的乘法运算；能将运算结果化为最简二次根式。
能力目标：通过推导二次根式的乘法法则，培养推理能力；在进行二次根式乘法运算的过程中，提高运算能力和化简能力。
情感目标：感受数学知识之间的内在联系，体会转化思想在数学中的应用，增强学习数学的自信心。
第 4 页：知识点 1—— 二次根式的乘法法则
法则内容：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即\(\sqrt{a} ·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）。
推导依据：根据二次根式性质 3\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），反过来可得\(\sqrt{a} ·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)。
适用条件：\(a\)和\(b\)必须都是非负数，否则法则不成立，因为只有非负数才有算术平方根。
推广应用：多个二次根式相乘，法则依然成立，即\(\sqrt{a} ·\sqrt{b} ·\sqrt{c}=\sqrt{abc}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)，\(c\geq0\)）。
示例分析：
\(\sqrt{3} \sqrt{5}=\sqrt{3 5}=\sqrt{15}\)。
\(\sqrt{2} \sqrt{8}=\sqrt{2 8}=\sqrt{16}=4\)。
第 5 页：例题 1—— 简单二次根式的乘法
例 1：计算下列各式。
（1）\(\sqrt{2} \sqrt{6}\)
解析：根据乘法法则，\(\sqrt{2} \sqrt{6}=\sqrt{2 6}=\sqrt{12}\)，化简得\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)。
（2）\(\sqrt{5} \sqrt{10}\)
解析：\(\sqrt{5} \sqrt{10}=\sqrt{5 10}=\sqrt{50}\)，化简得\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)。
（3）\(\sqrt{3} \sqrt{3}\)
解析：\(\sqrt{3} \sqrt{3}=\sqrt{3 3}=\sqrt{9}=3\)（也可根据\((\sqrt{a})^2=a\)直接得 3）。
（4）\(\sqrt{2} \sqrt{3} \sqrt{6}\)
解析：多个二次根式相乘，\(\sqrt{2} \sqrt{3} \sqrt{6}=\sqrt{2 3 6}=\sqrt{36}=6\)。
第 6 页：知识点 2—— 含系数的二次根式乘法
运算方法：当二次根式前面含有系数时，系数与系数相乘，二次根式部分按照乘法法则相乘，即\(m\sqrt{a} ·n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)，\(m\)、\(n\)为常数）。
步骤总结：
第一步：将系数相乘，作为结果的系数。
第二步：将被开方数相乘，作为结果中二次根式的被开方数。
第三步：将结果化为最简二次根式。
示例分析：
\(2\sqrt{3} 3\sqrt{5}=(2 3) \sqrt{3 5}=6\sqrt{15}\)。
\(4\sqrt{2} \frac{1}{2}\sqrt{6}=(4 \frac{1}{2}) \sqrt{2 6}=2\sqrt{12}=2 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)。
第 7 页：例题 2—— 含系数的二次根式乘法
例 2：计算下列各式。
（1）\(2\sqrt{5} 3\sqrt{7}\)
解析：系数相乘\(2 3 = 6\)，被开方数相乘\(\sqrt{5 7}=\sqrt{35}\)，结果为\(6\sqrt{35}\)。
（2）\(-4\sqrt{6} \sqrt{2}\)
解析：系数相乘\(-4 1=-4\)，被开方数相乘\(\sqrt{6 2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，结果为\(-4 2\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)。
（3）\(\frac{1}{2}\sqrt{10} 6\sqrt{5}\)
解析：系数相乘\(\frac{1}{2} 6 = 3\)，被开方数相乘\(\sqrt{10 5}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)，结果为\(3 5\sqrt{2}=15\sqrt{2}\)。
（4）\(3\sqrt{2a} 2\sqrt{3a}\)（\(a\geq0\)）
解析：系数相乘\(3 2 = 6\)，被开方数相乘\(\sqrt{2a 3a}=\sqrt{6a^2}=a\sqrt{6}\)，结果为\(6 a\sqrt{6}=6a\sqrt{6}\)。
第 8 页：知识点 3—— 二次根式乘法的应用（化简与计算结合）
应用场景：在进行二次根式乘法运算时，不仅要正确运用法则计算，还要将结果化为最简二次根式，这需要结合二次根式的化简方法。
关键步骤：
第一步：按照乘法法则进行乘法运算，得到一个二次根式。
第二步：对得到的二次根式进行化简，分解被开方数的因数或因式，开方后得到最简二次根式。
示例分析：
计算\(\sqrt{18} \sqrt{2}\)，先相乘得\(\sqrt{18 2}=\sqrt{36}=6\)（直接得到整数）。
计算\(\sqrt{27} \sqrt{3}\)，相乘得\(\sqrt{27 3}=\sqrt{81}=9\)。
计算\(\sqrt{4x} \sqrt{x}\)（\(x\geq0\)），相乘得\(\sqrt{4x ·x}=\sqrt{4x^2}=2x\)。
第 9 页：例题 3—— 乘法与化简结合
例 3：计算下列各式，并将结果化为最简二次根式。
（1）\(\sqrt{12} \sqrt{3}\)
解析：相乘得\(\sqrt{12 3}=\sqrt{36}=6\)。
（2）\(\sqrt{20} \sqrt{5}\)
解析：\(\sqrt{20 5}=\sqrt{100}=10\)。
（3）\(\sqrt{2a} \sqrt{8a}\)（\(a\geq0\)）
解析：\(\sqrt{2a 8a}=\sqrt{16a^2}=4a\)。
（4）\(3\sqrt{18} 2\sqrt{6}\)
解析：先计算系数\(3 2 = 6\)，被开方数\(\sqrt{18 6}=\sqrt{108}=\sqrt{36 3}=6\sqrt{3}\)，结果为\(6 6\sqrt{3}=36\sqrt{3}\)。
第 10 页：知识点 4—— 二次根式乘法的逆用（化简二次根式）
逆用方法：二次根式的乘法法则\(\sqrt{a} ·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)可以逆用，即\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），这一逆用常用于二次根式的化简，将被开方数分解为两个非负数的积，其中一个为平方数，再开方化简。
示例分析：
化简\(\sqrt{24}\)，\(24 = 4 6\)，则\(\sqrt{24}=\sqrt{4 6}=\sqrt{4} \sqrt{6}=2\sqrt{6}\)（与之前学的化简方法一致）。
化简\(\sqrt{45x^2}\)（\(x\geq0\)），\(45x^2 = 9x^2 5\)，则\(\sqrt{45x^2}=\sqrt{9x^2 5}=\sqrt{9x^2} \sqrt{5}=3x\sqrt{5}\)。
第 11 页：例题 4—— 逆用法则化简
例 4：利用二次根式乘法法则的逆用化简下列二次根式。
（1）\(\sqrt{48}\)
解析：\(48 = 16 3\)，则\(\sqrt{48}=\sqrt{16 3}=\sqrt{16} \sqrt{3}=4\sqrt{3}\)。
（2）\(\sqrt{75a^3}\)（\(a\geq0\)）
解析：\(75a^3 = 25a^2 3a\)，则\(\sqrt{75a^3}=\sqrt{25a^2 3a}=\sqrt{25a^2} \sqrt{3a}=5a\sqrt{3a}\)。
（3）\(\sqrt{12(x + y)^2}\)（\(x + y\geq0\)）
解析：\(12(x + y)^2 = 4(x + y)^2 3\)，则\(\sqrt{12(x + y)^2}=\sqrt{4(x + y)^2 3}=\sqrt{4(x + y)^2} \sqrt{3}=2(x + y)\sqrt{3}\)。
（4）\(\sqrt{200m^5n^4}\)（\(m\geq0\)，\(n\geq0\)）
解析：\(200m^5n^4 = 100m^4n^4 2m\)，则\(\sqrt{200m^5n^4}=\sqrt{100m^4n^4 2m}=10m^2n^2\sqrt{2m}\)。
第 12 页：知识点 5—— 二次根式乘法的实际应用
应用场景：在实际生活中，涉及正方形面积、长方形面积等问题时，可能需要用到二次根式的乘法运算。
解题步骤：
第一步：根据实际问题列出二次根式乘法的关系式。
第二步：应用二次根式乘法法则进行计算。
第三步：将结果化为最简二次根式或根据实际需要取近似值。
示例分析：一个正方形的边长为\(\sqrt{5}\)米，求它的面积。面积 = 边长 × 边长 =\(\sqrt{5} \sqrt{5}=\sqrt{25}=5\)平方米。
第 13 页：例题 5—— 实际应用问题
例 5：一个长方形的长为\(2\sqrt{6}\)厘米，宽为\(\sqrt{3}\)厘米，求这个长方形的面积。
解析：
步骤 1：长方形面积 = 长 × 宽，即\(2\sqrt{6} \sqrt{3}\)。
步骤 2：应用乘法法则，系数相乘\(2 1 = 2\)，被开方数相乘\(\sqrt{6 3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)。
步骤 3：结果为\(2 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)平方厘米。
结论：这个长方形的面积是\(6\sqrt{2}\)平方厘米。
例 6：一个正方体的一个面的面积为\(\sqrt{12}\)平方分米，求这个正方体的表面积（正方体 6 个面面积相等）。
解析：
步骤 1：正方体表面积 = 6× 一个面的面积，即\(6 \sqrt{12}\)。
步骤 2：先化简\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，则表面积 = 6×2\sqrt {3}=12\sqrt {3}) 平方分米。
结论：这个正方体的表面积是\(12\sqrt{3}\)平方分米。
第 14 页：易错点总结
法则应用条件错误：忽略\(a\geq0\)，\(b\geq0\)的条件，对负数应用乘法法则，如\(\sqrt{-2} \sqrt{-3}=\sqrt{(-2) (-3)}\)（错误，因为\(\sqrt{-2}\)和\(\sqrt{-3}\)无意义）。
系数与被开方数混淆：在含系数的乘法中，误将系数与被开方数相乘，如\(2\sqrt{3} 3\sqrt{5}=(2 3) \sqrt{3 + 5}\)（错误，应为\(\sqrt{3 5}\)）。
结果未化简：乘法运算后未将结果化为最简二次根式，如\(\sqrt{2} \sqrt{8}=\sqrt{16}\)（未化简为 4）。
符号错误：在含负系数的乘法中，符号处理错误，如\(-\sqrt{2} \sqrt{3}=-\sqrt{6}\)（正确），但易误写为\(\sqrt{6}\)。
计算错误：系数相乘或被开方数相乘时出现计算错误，如\(3\sqrt{2} 2\sqrt{3}=5\sqrt{6}\)（错误，系数应为 3×2=6）。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.1二次根式的乘法
第3章 二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握二次根式的乘法法则，能熟练地应用它进行二次根式的乘法运算；
2. 灵活应用和逆用二次根式的乘法法则，熟练地将二次根式化简．（重点、难点）
近年来我国探月工程取得了一个又一个的成就，嫦娥探测器和玉兔月球车不仅展现了中华民族的传统文化，也与我国和平利用太空的意愿相契合。下面一起来观看嫦娥三号发射模拟视频：
点击视频开始播放
←
问题1 运用运载火箭发射航天飞行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道. 第一宇宙速度v与地球半径 R 之间存在如下关系：v12 = gR，其中 g 是重力加速度. 请用含 g，R 的代数式表示出第一宇宙速度 v1.
第一宇宙速度 v1 可以表示为 .
第二宇宙速度 v2 可以表示为 .
问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度. 第二宇宙速度为v2 = v1，请结合问题 1 用含 g，R 的代数式表示出第二宇宙速度 v2.
思考 若已知地球半径 R≈6371 km 及重力加速度g≈10 m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？
（a≥0，b≥0），
二次根式的乘法法则
（a≥0，b≥0），
二次根式的乘法
1
积的算术平方根的性质是什么？
例1 计算：
解：(1)
(2)
典例精析
议一议：在化简 时，小明是这样进行的：
解：
假如你是他的数学老师，你认为他做对了吗？为什么？如果不对，请改正过来！
答：不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接套用积的算术平方根的性质.
正确解法：
在使用上述积的算术平方根的性质进行计算时，一定要注意前提条件即被开方数的每个因数都必须为非负数.对于不能直接用的，一定要先进行适当转化.
要点提醒
例2 计算：
根号里面的数相乘
根号外面的数相乘
解：(1)
系数与系数相乘
根号与根号相乘
解：
A. B.
C. D.
1.计算 的结果是 ( )
A. B. 4 C. D. 2
B
2.下面计算结果正确的是 ( )
D
3.计算： ____.
30
练一练
二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即
归纳总结
例3 比较大小(一题多解)：
解：方法一：
因为 ， ，
又 20＜27，
所以 ，即 .
方法二：
因为 ，
又 20＜27，
所以 ，即 .
解：因为 ，
又 52＜54，
所以 ，
所以 ，即
比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，
被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
归纳
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
议一议
小玲和小婷两名同学在计算 时，做法分别如下：
＝
＝
你更喜欢哪种做法？
方法（1）：计算简洁和可以快速得出结果.
方法（2）：更注重计算的准确性，尤其是在复杂运算场景下，可能更合适.
例4 已知一张长方形图片的长和宽分别是 cm
和 cm，求这张长方形图片的面积.
解：
答：这张长方形图片的面积
为 21 cm2.
1.若 ，则 （　　）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x 为一切实数
A
2.下列运算正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
D
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”
或“ = ”）：
＞
＜
3. 计算：
5.计算：
解：原式
解：原式
6.设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b.
(1)已知 , ，求 S；
解：S = ab =
=
= =
（2）已知 ， ，求 S.
解：S = ab =
=
= = 240.
7.已知 试用 a，b 表示 .
解：
能力提升：
1. ［2024湖南］计算 的结果是( )
D
A. B. C. 14 D.
2.若是整数，则整数 的值是_______.
3. 若一个无理数与 的积是一个有理数，
写出 的一个值是__________________.
3或12
（答案不唯一）
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4. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之
一.某品牌庐山云雾茶的包装是圆柱形铁盒，若其内部底面半
径为，深，则其容积为________
（结果保留根号和 ）.
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5.母题教材P70例2 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
返回
6. 如图，数轴上有，，，， 五点，
根据图中各点表示的数，则表示数 的点会落在
( )
B
A. 点和之间 B. 点和 之间
C. 点和之间 D. 点和 之间
【点拨】.因为 ，
所以.所以 .
所以表示数的点会落在点和 之间.
返回
7. 下列式子中与 相等的是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】由题意得，所以，所以 .
返回
8.将1，，，按如下方式排列，若规定 表示第
排从左向右第个数，则与 表示的两个数之积是
_____.
返回
9.观察下列各式：
； ；
；
（1）根据你发现的规律填空： ________；
（2）请用含（ 为正整数）的式子来表示含有上述规律的
等式，并说明该等式成立.
【解】.因为 ，所以
.
返回
二次根式的乘法
法则
性质
拓展法则
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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