资源简介

(共31张PPT)
3.2.2 二次根式的除法教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.2.2 二次根式的除法
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾二次根式性质：我们已经学习了二次根式的性质 4\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），即商的算术平方根等于算术平方根的商，这是二次根式除法的理论依据。
问题情境：观察\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\)、\(\frac{5\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}\)这样的式子，如何进行二次根式的除法运算？运算结果需要满足什么要求？
引入概念：二次根式的除法是指两个二次根式相除的运算，其法则是二次根式性质 4 的逆用。本节课我们将学习二次根式的除法法则及应用。
学习意义：掌握二次根式的除法法则，能正确进行二次根式的除法运算，完善二次根式的运算体系，为解决更复杂的数学问题奠定基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解二次根式的除法法则；掌握二次根式除法的运算方法，能熟练进行二次根式的除法运算；能将运算结果化为最简二次根式。
能力目标：通过推导二次根式的除法法则，培养推理能力；在进行二次根式除法运算的过程中，提高运算能力和化简能力。
情感目标：感受数学知识的逻辑性和连贯性，体会转化思想的应用，增强学习数学的兴趣和主动性。
第 4 页：知识点 1—— 二次根式的除法法则
法则内容：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）。
推导依据：根据二次根式性质 4\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），反过来可得\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)。
适用条件：\(a\)是非负数，\(b\)是正数（分母不能为 0），否则法则不成立，因为负数没有算术平方根，分母为 0 无意义。
示例分析：
\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2\)。
\(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2\)。
第 5 页：例题 1—— 简单二次根式的除法
例 1：计算下列各式。
（1）\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\)
解析：根据除法法则，\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3\)。
（2）\(\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}\)
解析：\(\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{28}{7}}=\sqrt{4}=2\)。
（3）\(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}\)
解析：\(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3\)。
（4）\(\frac{\sqrt{1.2}}{\sqrt{0.3}}\)
解析：先将小数化为分数，\(1.2=\frac{6}{5}\)，\(0.3=\frac{3}{10}\)，则\(\frac{\sqrt{\frac{6}{5}}}{\sqrt{\frac{3}{10}}}=\sqrt{\frac{6}{5} ·\frac{3}{10}}=\sqrt{\frac{6}{5} \frac{10}{3}}=\sqrt{4}=2\)。
第 6 页：知识点 2—— 含系数的二次根式除法
运算方法：当二次根式前面含有系数时，系数与系数相除，二次根式部分按照除法法则相除，即\(\frac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}}=\frac{m}{n}\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)，\(m\)、\(n\)为常数，\(n 0\)）。
步骤总结：
第一步：将系数相除，作为结果的系数。
第二步：将被开方数相除，作为结果中二次根式的被开方数。
第三步：将结果化为最简二次根式。
示例分析：
\(\frac{6\sqrt{15}}{3\sqrt{5}}=\frac{6}{3} \sqrt{\frac{15}{5}}=2\sqrt{3}\)。
\(\frac{4\sqrt{24}}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{2} \sqrt{\frac{24}{6}}=2\sqrt{4}=2 2=4\)。
第 7 页：例题 2—— 含系数的二次根式除法
例 2：计算下列各式。
（1）\(\frac{8\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\)
解析：系数相除\(8 ·2 = 4\)，被开方数相除\(\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{2}\)，结果为\(4\sqrt{2}\)。
（2）\(\frac{-12\sqrt{18}}{3\sqrt{6}}\)
解析：系数相除\(-12 ·3=-4\)，被开方数相除\(\sqrt{\frac{18}{6}}=\sqrt{3}\)，结果为\(-4\sqrt{3}\)。
（3）\(\frac{\frac{1}{2}\sqrt{20}}{\frac{1}{3}\sqrt{5}}\)
解析：系数相除\(\frac{1}{2} ·\frac{1}{3}=\frac{3}{2}\)，被开方数相除\(\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2\)，结果为\(\frac{3}{2} 2=3\)。
（4）\(\frac{5\sqrt{4x}}{2\sqrt{x}}\)（\(x>0\)）
解析：系数相除\(5 ·2=\frac{5}{2}\)，被开方数相除\(\sqrt{\frac{4x}{x}}=\sqrt{4}=2\)，结果为\(\frac{5}{2} 2=5\)。
第 8 页：知识点 3—— 分母有理化
概念定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
方法原理：利用分式的基本性质，分子分母同乘分母的有理化因式（能与分母相乘后去掉根号的式子），常见的有理化因式：\(\sqrt{a}\)的有理化因式是\(\sqrt{a}\)，\(m\sqrt{a}+n\sqrt{b}\)的有理化因式是\(m\sqrt{a}-n\sqrt{b}\)（本节课主要学习前者）。
步骤总结：
第一步：确定分母的有理化因式。
第二步：分子分母同乘有理化因式。
第三步：化简结果，化为最简二次根式。
示例分析：
化简\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，分子分母同乘\(\sqrt{2}\)得\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
化简\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)，分子分母同乘\(\sqrt{5}\)得\(\frac{\sqrt{15}}{5}\)。
第 9 页：例题 3—— 分母有理化
例 3：化简下列各式（分母有理化）。
（1）\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
解析：分子分母同乘\(\sqrt{3}\)，\(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。
（2）\(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\)
解析：分子分母同乘\(\sqrt{6}\)，\(\frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}\)。
（3）\(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{8}}\)
解析：方法一：先化简分母\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，则原式\(=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\)；方法二：分母有理化，分子分母同乘\(\sqrt{8}\)得\(\frac{3\sqrt{2} \sqrt{8}}{8}=\frac{3\sqrt{16}}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)。
（4）\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）
解析：分子分母同乘\(\sqrt{b}\)，\(\frac{\sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{b} \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}\)。
第 10 页：知识点 4—— 二次根式除法法则的逆用（化简二次根式）
逆用方法：二次根式的除法法则\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)可以逆用，即\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），这一逆用常用于将被开方数是分数或分式的二次根式化为最简二次根式。
示例分析：
化简\(\sqrt{\frac{3}{4}}\)，\(\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
化简\(\sqrt{\frac{5}{9x}}\)（\(x>0\)），\(\sqrt{\frac{5}{9x}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9x}}=\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{5x}}{3x}\)（需进一步分母有理化）。
第 11 页：例题 4—— 逆用法则化简
例 4：利用二次根式除法法则的逆用化简下列二次根式。
（1）\(\sqrt{\frac{7}{16}}\)
解析：\(\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)。
（2）\(\sqrt{\frac{25}{8}}\)
解析：\(\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{8}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\)（分母有理化）。
（3）\(\sqrt{\frac{3a}{4b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）
解析：\(\sqrt{\frac{3a}{4b}}=\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{4b}}=\frac{\sqrt{3a}}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3ab}}{2b}\)。
（4）\(\sqrt{\frac{x^2}{8y}}\)（\(x\geq0\)，\(y>0\)）
解析：\(\sqrt{\frac{x^2}{8y}}=\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{8y}}=\frac{x}{2\sqrt{2y}}=\frac{x\sqrt{2y}}{4y}\)。
第 12 页：知识点 5—— 二次根式除法的实际应用
应用场景：在实际生活中，涉及速度、密度、比例等问题时，可能需要用到二次根式的除法运算。
解题步骤：
第一步：根据实际问题列出二次根式除法的关系式。
第二步：应用二次根式除法法则或分母有理化进行计算。
第三步：将结果化为最简二次根式或根据实际需要取近似值。
示例分析：一辆汽车行驶的路程为\(\sqrt{12}\)千米，行驶时间为\(\sqrt{3}\)小时，求汽车的速度。速度 = 路程 ÷ 时间 =\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\)千米 / 小时。
第 13 页：例题 5—— 实际应用问题
例 5：一个长方形的面积为\(6\sqrt{2}\)平方厘米，长为\(2\sqrt{6}\)厘米，求这个长方形的宽。
解析：
步骤 1：长方形宽 = 面积 ÷ 长，即\(\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}\)。
步骤 2：系数相除\(6 ·2 = 3\)，被开方数相除\(\sqrt{\frac{2}{6}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
步骤 3：结果为\(3 \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\)厘米。
结论：这个长方形的宽是\(\sqrt{3}\)厘米。
例 6：已知一个圆的面积为\(8 \)平方分米，求这个圆的半径（圆的面积公式\(S= r \)）。
解析：
步骤 1：由\(S= r \)得\(r=\sqrt{\frac{S}{ }}\)，代入\(S=8 \)得\(r=\sqrt{\frac{8 }{ }}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)分米。
结论：这个圆的半径是\(2\sqrt{2}\)分米。
第 14 页：易错点总结
法则应用条件错误：忽略\(a\geq0\)，\(b>0\)的条件，对负数或零分母应用除法法则，如\(\frac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-2}}\)（错误，负数无算术平方根）、\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{0}}\)（错误，分母不能为 0）。
系数与被开方数混淆：在含系数的除法中，误将系数与被开方数相除，如\(\frac{4\sqrt{8}}{2\sqrt{2}}=(4 ·2) \sqrt{8 ·2}\)（正确），但易误写为\(\sqrt{(4 ·2) (8 ·2)}\)。
分母未有理化：结果中分母含有根号未处理，如\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)（正确），但易保留\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)的形式。
符号错误：在含负系数的除法中，符号处理错误，如\(\frac{-6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=-3\sqrt{2}\)（正确），但易误写为\(3\sqrt{2}\)。
计算错误：系数相除或被开方数相除时出现计算错误，如\(\frac{9\sqrt{12}}{3\sqrt{3}}=3\sqrt{4}=6\)（正确），但易算为\(3\sqrt{12 ·3}=3\sqrt{3}\)。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.2二次根式的除法
第3章 二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质.掌握最简二次根式的特点.（重点）
2. 合理简洁地进行二次根式的除法运算.（难点）
站在海拔高度为 h 米的地方可以看到的水平距离为 d 米，它们近似地符合公式 .
解：
问题1 某一登山者爬到海拔 100 米处，即 时，他看到的水平距离 d1 的值是多少？
问题2 该登山者接着爬到海拔 200 米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离 d2 的值是多少？
问题3 他从海拔 100 米处登上海拔 200 米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
二次根式相除该怎样算呢？
解：
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
1.计算下列各式：
___÷___=____;
(1) = _____;
___÷___=____;
___÷___=____.
(2) = _____;
(3) = _____;
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
二次根式的除法
1
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法的运算法则，你能说出 的结果吗？
特殊
一般
一般地，如果 a > 0，则
＝＝＝1，
因此， (a > 0).
＝
设 a > 0，b≥0，则
＝＝＝＝ .
探究证明
与 互为倒数.
二次根式的除法法则:
文字叙述：
商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除式的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为 1 时，可类比单项式除以单项式法则，易得
知识要点
例1 化简下列二次根式．
解：
从 变形到
是为了去掉分母中的根号.
化简二次根式时，最后结果要求分母中不含有二次根式.
典例精析
例2 化简：
解:
还有其他解法吗
补充解法：
解：
先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质
1.能使等式 成立的 x 的取值范围是（　 ）
A. x≠2 B. x≥0 C. x＞2 D. x≥2
C
2.化简：
解：
练一练
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：各因式的算术平方根的商，等于商的算术平方根.
我们知道，把积的算术平方根的性质反过来就得到二次根式的乘法法则.
类似的，把二次根式的商的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的除法法则:
例3 计算：
典例精析
3. 计算：
解：
除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算
练一练
解：
类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
归纳
例7 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知电视塔高 h (km)与电视节目信号的传播半径 r (km)之间满足
(其中 R 是地球半径). 现有两座塔高分别为
h1 = 600 m， h2 = 450 m 的电视塔，
问它们的传播半径之比等于多少？
二次根式除法的应用
2
因为
解：设两座电视塔的传播半径分别为 r1，r2，
所以
4. 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”.
据报道：一个 30 g 的鸡蛋从 18 楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从 25 楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间 t 和高度 h 近似的满足公式 . 从 100 米高空抛物到落地所需时间 t2 大约是从 50 米高空抛物到落地所需时间 t1 的多少倍？
解：由题意得
答： t2 大约是t1 的 倍.
练一练
1.化简 的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
B
2.下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
C
3.若使等式 成立，则实数 k 的取值范围是 （ ）
B
A. k≥1 B. k≥2
C. 1＜k≤2 D. 1≤k≤2
4.下列各式计算的结果为 的是 （　　）
A. B.
C. D.
C
5. 化简：
解:
1. 下列各式计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
2. 计算，则 中的数为( )
B
A. B. C. 3 D. 6
返回
3. ［2025周口期末］若成立，则 的值可以是
( )
A. B. 0 C. 2 D. 3
B
4. 对于任意两个不相等的数， ，
定义一种新运算，如 ，那么
____.
返回
5. 电流通过导线时会产生热量，电流
（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间
（单位：）与产生的热量（单位：）满足 .已知
导线的电阻为 ，内导线产生的热量，则电流 为
( )
B
A. B. C. D.
返回
6.［2025邵阳月考］ 的小数部分为_______.
【点拨】.因为，即 ，所以
的整数部分为2.所以的小数部分为，即 的小数
部分为 .
7. 已知不等式 ，则这个不等
式的解集为_______.
返回
8.计算：
（1） ______;
【点拨】原式 .
（2） _____.
【点拨】 原式 .
返回
10. 如果， ，那么下面各式：
；； ，其中正确的
是( )
B
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
【点拨】因为，，所以， .所以
，， .
返回
商的算术平方根
→
计算与化简
→
↓
最简二次根式
→
↓
（逆用）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑