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3.3.1 二次根式的加减运算教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.3.1 二次根式的加减运算
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾同类项：在整式加减中，我们把所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，同类项可以合并，如\(3x + 5x = 8x\)、\(2a^2b - a^2b = a^2b\)。
问题情境：观察二次根式\(2\sqrt{3}\)与\(5\sqrt{3}\)、\(\sqrt{2}\)与\(3\sqrt{2}\)，它们有什么共同特点？类似\(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}\)、\(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\)这样的式子能否像同类项那样进行加减运算？
引入概念：二次根式的加减运算与整式的加减运算类似，关键是先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。本节课我们将学习二次根式的加减运算方法。
学习意义：掌握二次根式的加减运算，能完善二次根式的运算体系，为解决更复杂的二次根式混合运算问题奠定基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解同类二次根式的概念；掌握二次根式加减运算的步骤，能熟练进行二次根式的加减运算；能正确合并同类二次根式。
能力目标：通过类比整式加减中合并同类项的方法，培养类比迁移能力；在进行二次根式加减运算的过程中，提高运算能力和化简能力。
情感目标：感受数学知识之间的联系，体会类比思想的应用，增强学习数学的信心和兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 同类二次根式的概念
概念定义：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
关键词解析：
前提条件：必须先将二次根式化为最简二次根式，否则无法判断是否为同类二次根式。
核心特征：化简后被开方数相同，与根号外的系数无关。
示例辨析：
同类二次根式：\(2\sqrt{3}\)与\(5\sqrt{3}\)（化简后被开方数都是 3）、\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)与\(3\sqrt{2}\)（化简后被开方数都是 2）。
非同类二次根式：\(\sqrt{2}\)与\(\sqrt{3}\)（被开方数不同）、\(\sqrt{5}\)与\(2\sqrt{10}\)（被开方数不同）。
第 5 页：例题 1—— 判断同类二次根式
例 1：下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
\(\sqrt{12}\)、\(\sqrt{27}\)、\(\sqrt{8}\)、\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{\frac{1}{3}}\)
解析：
先将各二次根式化为最简二次根式：
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\)（已是最简）
\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
判断结果：
被开方数是 3 的：\(\sqrt{12}\)、\(\sqrt{27}\)、\(\sqrt{\frac{1}{3}}\)是同类二次根式。
被开方数是 2 的：\(\sqrt{8}\)、\(\sqrt{2}\)是同类二次根式。
第 6 页：知识点 2—— 二次根式的加减法则
法则内容：二次根式相加减，先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
步骤总结：
第一步：化简，将每个二次根式化为最简二次根式。
第二步：识别，找出其中的同类二次根式。
第三步：合并，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变（如同合并同类项）。
注意事项：
非同类二次根式不能合并，如\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)不能进一步运算。
合并同类二次根式时，仅系数相加减，被开方数保持不变。
示例分析：
\(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(2 + 5)\sqrt{3}=7\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3 - 1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)
第 7 页：例题 2—— 仅含同类二次根式的加减
例 2：计算下列各式。
（1）\(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}\)
解析：已是最简二次根式，且是同类二次根式，系数相加：\((3 + 4)\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)。
（2）\(6\sqrt{7}-2\sqrt{7}-\sqrt{7}\)
解析：同类二次根式合并，系数相减：\((6 - 2 - 1)\sqrt{7}=3\sqrt{7}\)。
（3）\(2\sqrt{12}+3\sqrt{18}\)
解析：先化简，\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，则原式\(=2 2\sqrt{3}+3 3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+9\sqrt{2}\)（非同类二次根式，无法进一步合并）。
（4）\(\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{48}\)
解析：化简得\(3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=(3 - 2 + 4)\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)。
第 8 页：例题 3—— 含系数的二次根式加减
例 3：计算下列各式。
（1）\(2\sqrt{8}+3\sqrt{8}-5\sqrt{8}\)
解析：化简\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，但可先合并同类二次根式：\((2 + 3 - 5)\sqrt{8}=0 \sqrt{8}=0\)。
（2）\(5\sqrt{2}-3\sqrt{18}+\sqrt{32}\)
解析：化简各根式，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)，则原式\(=5\sqrt{2}-3 3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=5\sqrt{2}-9\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(5 - 9 + 4)\sqrt{2}=0\)。
（3）\(3\sqrt{45}-\sqrt{125}+\sqrt{20}\)
解析：化简得\(3 3\sqrt{5}-5\sqrt{5}+2\sqrt{5}=9\sqrt{5}-5\sqrt{5}+2\sqrt{5}=(9 - 5 + 2)\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)。
（4）\(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{18}-\sqrt{8}\)
解析：化简得\(\frac{\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(\frac{1}{2}+3 - 2)\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}\)。
第 9 页：知识点 3—— 含括号的二次根式加减
运算方法：含括号的二次根式加减运算，与整式加减中去括号的方法类似，先去括号，再合并同类二次根式。
去括号法则：
括号前是 “+” 号，把括号和它前面的 “+” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
括号前是 “-” 号，把括号和它前面的 “-” 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
步骤总结：
第一步：去括号，根据去括号法则处理括号内的各项。
第二步：化简，将每个二次根式化为最简二次根式。
第三步：合并，将同类二次根式合并。
示例分析：
\((\sqrt{12}+\sqrt{27})-\sqrt{3}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{20}-(\sqrt{5}+\sqrt{\frac{1}{5}})=2\sqrt{5}-\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
第 10 页：例题 4—— 含括号的二次根式加减
例 4：计算下列各式。
（1）\((\sqrt{28}+\sqrt{7})-\sqrt{49}\)
解析：去括号得\(\sqrt{28}+\sqrt{7}-\sqrt{49}\)，化简得\(2\sqrt{7}+\sqrt{7}-7=3\sqrt{7}-7\)。
（2）\(\sqrt{32}-(\sqrt{8}-\sqrt{98})\)
解析：去括号得\(\sqrt{32}-\sqrt{8}+\sqrt{98}\)，化简得\(4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+7\sqrt{2}=(4 - 2 + 7)\sqrt{2}=9\sqrt{2}\)。
（3）\((\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{27})-(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{2}})\)
解析：去括号得\(\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)，化简得\(\frac{\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}=(\frac{1}{3}+3 - 2)\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{3}\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
（4）\(2\sqrt{18}-(\sqrt{50}-\sqrt{72})\)
解析：去括号得\(2\sqrt{18}-\sqrt{50}+\sqrt{72}\)，化简得\(2 3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+6\sqrt{2}=6\sqrt{2}-5\sqrt{2}+6\sqrt{2}=7\sqrt{2}\)。
第 11 页：知识点 4—— 二次根式加减的实际应用
应用场景：在实际生活中，涉及长度、距离等问题的求和或差时，可能需要用到二次根式的加减运算。
解题步骤：
第一步：根据实际问题列出二次根式加减的关系式。
第二步：将各二次根式化为最简二次根式。
第三步：合并同类二次根式，得到结果。
示例分析：一个三角形的三边长分别为\(\sqrt{12}\)厘米、\(\sqrt{27}\)厘米、\(\sqrt{48}\)厘米，求这个三角形的周长。周长 =\(\sqrt{12}+\sqrt{27}+\sqrt{48}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=9\sqrt{3}\)厘米。
第 12 页：例题 5—— 实际应用问题
例 5：一个长方形的长为\(3\sqrt{8}\)米，宽为\(2\sqrt{18}\)米，求这个长方形的周长（长方形周长 = 2×（长 + 宽））。
解析：
步骤 1：列出周长关系式，\(2 (3\sqrt{8}+2\sqrt{18})\)。
步骤 2：化简各二次根式，\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，则长 = 3×2\sqrt {2}=6\sqrt {2} 米，宽 = 2×3\sqrt {2}=6\sqrt {2} 米。
步骤 3：计算长 + 宽 = 6\sqrt {2}+6\sqrt {2}=12\sqrt {2} 米，周长 = 2×12\sqrt {2}=24\sqrt {2} 米。
结论：这个长方形的周长是\(24\sqrt{2}\)米。
例 6：一个正方形的边长为\(\sqrt{20}\)分米，另一个正方形的边长为\(\sqrt{45}\)分米，求这两个正方形的边长之和与边长之差。
解析：
步骤 1：化简边长，\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)分米，\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)分米。
步骤 2：边长之和 = 2\sqrt {5}+3\sqrt {5}=5\sqrt {5} 分米。
步骤 3：边长之差 = 3\sqrt {5}-2\sqrt {5}=\sqrt {5} 分米。
结论：这两个正方形的边长之和是\(5\sqrt{5}\)分米，边长之差是\(\sqrt{5}\)分米。
第 13 页：易错点总结
未化简直接合并：忽略先化简的步骤，对非最简二次根式直接合并，如\(\sqrt{12}+\sqrt{27}=\sqrt{39}\)（错误，正确应为\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)）。
混淆同类二次根式：将被开方数不同的二次根式强行合并，如\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}\)（错误，无法合并）。
去括号符号错误：括号前是 “-” 号时，去括号后未改变括号内各项的符号，如\(\sqrt{8}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{8}-\sqrt{2}-\sqrt{3}\)（错误，应为\(\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{3}\)）。
系数运算错误：合并同类二次根式时，系数加减出现计算错误，如\(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\)（错误，应为\(\sqrt{5}\)）。
化简不彻底：二次根式化简未到最简形式，导致无法正确识别同类二次根式，如\(\sqrt{18}\)未化简为\(3\sqrt{2}\)，误认为与\(\sqrt{2}\)不是同类二次根式。
第 14 页：课堂练习
练习 1：计算下列各式。
（1）\(\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{48}\)
（2）\(5\sqrt{8}-2\sqrt{32}+\sqrt{50}\)
（3）\((\sqrt{45}+\sqrt{18})-(\sqrt{8}-\sqrt{125})\)
（4）\(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{\frac{1}{32}}\)
练习 2：一个等腰三角形的腰长为\(\sqrt{75}\)厘米，底边长为\(\sqrt{48}\)厘米，求这个等腰三角形的周长。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3.1 二次根式的加减运算
第3章 二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地对二次根式进行加减运算；（重点、难点）
2. 通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运算的基本步骤．
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式).
化简后被开方数相同
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.
观察下图并思考.
由上图，易得 2a + 3a = 5a.
当 a = 时，分别代入左右得 ;
当 a = 时，分别代入左右得 ;
......
你发现了什么？
在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式
1
a
2a + 3b
b
=
+
b
b
a
这两个二次根式可以合并吗？
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
因为 ，由前面知两者可以合并.
你又有什么发现吗
当 a = ， b = 时，得 2a + 3b = .
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变. 如：
归纳总结
例1 若最简二次根式 与 可以合并，求
的值.
解：由题意得 解得
即
确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为 2，列关于待定字母的方程或方程组求解即可.
归纳
典例精析
1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
D
2. 与最简二次根式 能合并，则 m =____.
1
3.下列二次根式，不能与 合并的是_______(填
序号）.
②⑤
练一练
想一想： 计算：
二次根式的加减及其应用
(1)
2
解：
＝
＝
＝ .
······加法结合律
(2) 2
＝ 2
＝ 2
＝
＝ .
······乘法对加法的分配律
······加法交换律和结合律，
乘法对加法的分配律
(2) 2
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
思考
(1) 等于多少？
(2) 等于多少？
分析：对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算.
(1) ＝
＝
＝
＝ .
(2) 等于多少？
(2) ＝
＝
＝.
例2 计算:
.
解
＝
＝
＝.
与 能合并吗？
二次根式的加减法法则：
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
(1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简；
加减法的运算步骤：
(2) 找——找出同类二次根式；
(3) 并——把同类二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
归纳总结
做一做
先计算 ，再将你的结果与同学比较.
2. 计算：
解：
练一练
例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14).
d
解：
设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，
S2 = πr2，可得
则
答：圆环的宽度d 为
d
则
3.有一个等腰三角形的两边长分别为 求其周长.
解：① 当腰长为 时，因为
所以此时能构成三角形，周长为
② 当腰长为 时，因为
所以此时能构成三角形，周长为
综上所述，该等腰三角形周长为 或
二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.
归纳
1.二次根式 中，能与 合并的是
（ ）
A.
B .
C .
D .
2.下列运算中错误的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
A
C
3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为__________.
4. 计算：
解：
5. 计算：
1. ［2025张家界期末］下列各式化简后，不能与 合并的
是( )
C
A. B. C. D.
2. 如果与的和等于，那么 的值是( )
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
返回
3. ［2025衡阳期末］下列运算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 若，则 ( )
A
A. B. 5 C. D. 15
【点拨】因为 ，
，所以 .
5. 若 的值为有理数，请写出一
个符合条件的实数 的值:____________________.
（答案不唯一）
返回
6.如图，将一根铁丝首尾相接可以围成
一个长为 ，宽为 的矩形，若
将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个
圆形，则该圆的面积是_____.
【点拨】这根铁丝的周长为 ,所以将
这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为
,所以该圆的面积是 .
返回
7.计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8. 若最简二次根式与 可以合并，
求 的值.
【解】因为最简二次根式与 可以合并，
所以解得则 .
返回
9. 若，则表示实数 的点会落在如图所示的数
轴的( )
B
A. 段①上 B. 段②上
C. 段③上 D. 段④上
【点拨】因为 ，所以
.因为 ，所
以，即，所以实数 的点会落在数轴的
段②上，故选B.
返回
10. 我们规定运算符号“ ”的意义是：当
时，；当时， ，其他运
算符号的意义不变，计算：
___________.
【点拨】因为当时，；当 时，
，，，所以 .
返回
11.［2025怀化期末］在,,, , 这1 999个式子
中，与 可以合并的共有____个.
19
【点拨】因为,所以在,,, , 这
1 999个式子中，与可以合并的有,,, ,
, ,共19个.
返回
二次根式的加减
法则
注意
运算顺序
运算原理
一般地，计算二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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