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3.3.2 二次根式的混合运算教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.3.2 二次根式的混合运算
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾与引入
回顾旧知：前面我们学习了二次根式的加减、乘法和除法运算。加减运算要先化简再合并同类二次根式；乘法法则为\(\sqrt{a} ·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）；除法法则为\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）。
问题情境：遇到像\((\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-1)\)、\(\sqrt{12} ·\sqrt{3}+(2\sqrt{5})^2\)这样包含多种运算的式子，该如何计算呢？
引入概念：二次根式的混合运算就是同时包含加减、乘除、乘方等多种运算的式子，其运算顺序和整式混合运算相似。本节课我们就来学习二次根式混合运算的方法。
学习意义：掌握二次根式混合运算，能综合运用所学知识解决复杂运算问题，提升数学运算能力和逻辑思维能力。
第 3 页：学习目标
知识目标：清楚二次根式混合运算的顺序；熟练进行二次根式的混合运算；会运用乘法公式简化运算过程。
能力目标：通过类比整式混合运算，培养知识迁移能力；在复杂运算中，提高运算的准确性和灵活性。
情感目标：感受数学运算的严谨性，体会知识间的联系，增强学好数学的信心。
第 4 页：知识点 1—— 混合运算的顺序
运算顺序规定：
先算乘方（包括二次根式的乘方）。
再算乘除（从左到右依次进行）。
最后算加减（从左到右依次进行）。
有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。
核心原则：和整式混合运算顺序一致，遵循 “先高级运算后低级运算，有括号先算括号内” 的规则。
示例说明：计算\(\sqrt{8} ·\sqrt{2}+(3\sqrt{2}-1)^2\)，要先算除法和乘方，再算加法。
第 5 页：例题 1—— 基础混合运算（加减与乘除）
例 1：计算下列各式。
（1）\(\sqrt{18} ·\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\)
解析：
先算除法：\(\sqrt{18} ·\sqrt{2}=\sqrt{9}=3\)。
再算加减：\(3 + 3\sqrt{2}-5=3\sqrt{2}-2\)。
（2）\(2\sqrt{12} \frac{\sqrt{3}}{3} ·\sqrt{2}\)
解析：
从左到右算乘除：\(2\sqrt{12} \frac{\sqrt{3}}{3}=2 \frac{1}{3} \sqrt{12 3}=\frac{2}{3} \sqrt{36}=\frac{2}{3} 6 = 4\)。
继续算除法：\(4 ·\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)。
（3）\((\sqrt{20}+\sqrt{5}) \sqrt{\frac{1}{5}}-2\)
解析：
先化简括号内：\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)，则括号内为\(2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)。
算乘法：\(3\sqrt{5} \sqrt{\frac{1}{5}}=3\sqrt{1}=3\)。
算减法：\(3 - 2 = 1\)。
第 6 页：知识点 2—— 运用乘法公式简化运算
常用乘法公式：
平方差公式：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，这里的\(a\)、\(b\)可以是二次根式。
完全平方公式：\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。
公式应用优势：能减少运算步骤，让计算更简便快捷。
示例分析：
\((\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2=5 - 2 = 3\)（平方差公式）。
\((\sqrt{3}+1)^2=(\sqrt{3})^2+2 \sqrt{3} 1 + 1^2=3 + 2\sqrt{3}+1=4 + 2\sqrt{3}\)（完全平方公式）。
第 7 页：例题 2—— 运用乘法公式的运算
例 2：计算下列各式。
（1）\((\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})\)
解析：用平方差公式，\((\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2=7 - 3 = 4\)。
（2）\((2\sqrt{2}-\sqrt{5})^2\)
解析：用完全平方公式，\((2\sqrt{2})^2-2 2\sqrt{2} \sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=8 - 4\sqrt{10}+5=13 - 4\sqrt{10}\)。
（3）\((\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)-(\sqrt{3}-1)^2\)
解析：
先算平方差：\((\sqrt{6})^2-2^2=6 - 4 = 2\)。
再算完全平方：\((\sqrt{3})^2-2 \sqrt{3} 1 + 1^2=3 - 2\sqrt{3}+1=4 - 2\sqrt{3}\)。
最后算减法：\(2-(4 - 2\sqrt{3})=2 - 4 + 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2\)。
第 8 页：知识点 3—— 含括号的混合运算
运算方法：有括号时，先算括号里面的。括号里同样遵循先乘除后加减的顺序，去括号后再合并同类二次根式。
步骤总结：
第一步：处理内层括号，按顺序运算。
第二步：逐步去掉外层括号，每一步都准确运算。
第三步：合并同类二次根式，得到最简结果。
示例分析：计算\([\sqrt{27}-(\sqrt{3}+1) 2] ·\sqrt{3}\)，先算小括号里的乘法，再算减法，最后算除法。
第 9 页：例题 3—— 含括号的复杂运算
例 3：计算下列各式。
（1）\([\sqrt{48} ·\sqrt{3}+(2 - \sqrt{2})] \sqrt{2}\)
解析：
小括号内先算除法：\(\sqrt{48} ·\sqrt{3}=\sqrt{16}=4\)。
小括号内再算加法：\(4 + 2 - \sqrt{2}=6 - \sqrt{2}\)。
最后算乘法：\((6 - \sqrt{2}) \sqrt{2}=6\sqrt{2}-2\)。
（2）\((\sqrt{18}-\sqrt{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)^2\)
解析：
先算乘法：\(\sqrt{18} \sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{2}=\sqrt{36}-\sqrt{1}=6 - 1 = 5\)。
再算平方：\((\sqrt{2})^2-2 \sqrt{2} 1 + 1^2=2 - 2\sqrt{2}+1=3 - 2\sqrt{2}\)。
最后算减法：\(5-(3 - 2\sqrt{2})=5 - 3 + 2\sqrt{2}=2 + 2\sqrt{2}\)。
第 10 页：知识点 4—— 运算技巧与注意事项
运算技巧：
先化简再运算：把所有二次根式化为最简形式，能降低运算难度。
灵活用公式：观察式子结构，符合公式特征就用公式，避免繁琐计算。
分步计算：复杂式子分步算，每步检查，减少错误。
分母有理化：遇到分母含根号，及时有理化。
注意事项：
运算顺序不能乱，乘方、乘除、加减依次进行。
符号要注意，尤其是去括号和平方运算时。
结果要最简，合并同类二次根式，分母不含根号。
第 11 页：例题 4—— 运用技巧简化运算
例 4：计算下列各式。
（1）\(\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}}{\sqrt{6}}-(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\)
解析：
先化简分子：\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)。
算除法：\(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}+\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)。
算乘法：\((\sqrt{3})^2-1^2=3 - 1 = 2\)。
最后算减法：\(\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\)。
（2）\((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
解析：用平方差公式\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)，原式\(=[(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})][(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})]=(2\sqrt{a})(2\sqrt{b})=4\sqrt{ab}\)。
第 12 页：知识点 5—— 实际应用中的混合运算
应用场景：在几何图形面积、体积计算，以及物理等学科的问题中，常需要进行二次根式混合运算。
解题步骤：
第一步：根据实际问题列出混合运算式子。
第二步：按运算顺序逐步计算。
第三步：化简结果，根据需求保留形式。
示例分析：一个直角三角形的两条直角边分别是\((\sqrt{3}+1)\)和\((\sqrt{3}-1)\)，面积为\(\frac{1}{2} (\sqrt{3}+1) (\sqrt{3}-1)=\frac{1}{2} (3 - 1)=1\)。
第 13 页：例题 5—— 实际应用问题
例 5：一个长方体的长是\(\sqrt{18}\)米，宽是\(\sqrt{6}\)米，高是\((\sqrt{2}+1)\)米，求它的体积（体积 = 长 × 宽 × 高）。
解析：
步骤 1：列体积式子：\(\sqrt{18} \sqrt{6} (\sqrt{2}+1)\)。
步骤 2：先算前两项乘法：\(\sqrt{18} \sqrt{6}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\)。
步骤 3：再乘高：\(6\sqrt{3} (\sqrt{2}+1)=6\sqrt{6}+6\sqrt{3}\)立方米。
结论：长方体体积是\((6\sqrt{6}+6\sqrt{3})\)立方米。
例 6：一个正方形边长为\((\sqrt{2}+3)\)分米，另一个正方形边长为\((\sqrt{2}-1)\)分米，求它们的面积差。
解析：
步骤 1：大正方形面积\(=(\sqrt{2}+3)^2=2 + 6\sqrt{2}+9=11 + 6\sqrt{2}\)。
步骤 2：小正方形面积\(=(\sqrt{2}-1)^2=2 - 2\sqrt{2}+1=3 - 2\sqrt{2}\)。
步骤 3：面积差\(=(11 + 6\sqrt{2})-(3 - 2\sqrt{2})=8 + 8\sqrt{2}\)平方分米。
结论：面积差是\((8 + 8\sqrt{2})\)平方分米。
第 14 页：易错点总结
运算顺序错误：比如先算加减后算乘除，如\(\sqrt{2} \sqrt{3}+\sqrt{6}\)先加后乘，导致结果错误。
公式运用错误：用完全平方公式时漏项或符号错，如\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a - 2\sqrt{ab}-b\)，正确应为\(a - 2\sqrt{ab}+b\)。
化简不及时：没先化简二次根式就运算，增加计算量易出错。
去括号符号错：括号前是负号，去括号后未变号，如\(-(\sqrt{5}-\sqrt{3})=-\sqrt{5}-\sqrt{3}\)，正确应为\(-\sqrt{5}+\sqrt{3}\)。
分母有理化错误：除法运算后分母仍有根号，或有理化时分子分母乘错式子。
第 15 页：课堂练习
练习 1：计算下列各式。
（1）\(\sqrt{24} ·\sqrt{3}+(\sqrt{3}-1)^2\)
（2）\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)-\sqrt{18} \sqrt{\frac{1}{2}}\)
（3）\([\sqrt{12}-(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \sqrt{3}] ·\sqrt{2}\)
（4）\((\sqrt{a}+2\sqrt{b})^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
练习 2：一个梯形上底为\((\sqrt{8}+\sqrt{2})\)厘米，下底为\((\sqrt{18}-\sqrt{2})\)厘米，高为\(\sqrt{5}\)厘米，求梯形面积（面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷2）。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3.2二次根式的混合运算
第3章 二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握二次根式的混合运算及其应用；
（重点、难点）
2. 掌握乘法公式在二次根式混合运算中的作用．
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么
m(a + b + c) = ma + mb + mc；
(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb
(ma + mb + mc)÷m = a + b + c (m≠0)
分配律
单（多）×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考 若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
引例：甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (路基的土石方即路基的体积)为多少立方米呢？
二次根式的混合运算
1
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为
从上面的解答过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
例1 计算：
典例精析
例2 计算：
(1)
(2)
解：(1) 由平方差公式得
＝9×2－5＝13.
(2) 由完全平方公式得
=
=
=.
可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
1. 已知 试求 x2 + 2xy + y2 的值.
解：x2 + 2xy + y2 = (x + y)2.
把 代入上式得
原式=
练一练
用整体代入法求代数式值的方法：求关于x，y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x－y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成只含x+y,xy,x－y, 等式子，再代入求值.
归纳
解：因为 ，
所以
所以 x3y + xy3 = xy(x2 + y2) = xy[(x + y)2 - 2xy]
【变式题】 已知 ，求 x3y + xy3.
2.已知 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2 - b2 的值.
解：
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
总结归纳
例3 计算：
.
解：
＝
＝
＝
例4 计算：
(1) ；
＝
＝
＝
＝
解：(1) 原式
分子与分母同乘
，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉.
(2)
=
=
(2) 原式
=
= .
解法一：
你还有其他解法吗？
2.计算：
练一练
解法二： 原式 =
3. 计算:
解:
分母形如 的式子，将分子、分母同乘
，构造平方差公式，可使分母不含根号.
归纳
1.下列计算中正确的是（ ）
B
2. 计算：
5
3. 计算.
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
解：(3)
＝10 .
＝12 - 2
4.在一个边长为 cm 的正方形内部，挖去一个边长为 cm 的正方形，求剩余部分的面积.
解：由题意得剩余部分面积为
即剩余部分的面积是
1. ［2025邵阳期末］已知， 均为有理数，且
，则， 的值为( )
B
A. , B. ,
C. , D. ,
2. 从“，， ， ”中选择一种运算符号，填入算式“
”中的“ ”内，使其运算结果为有理数，则应选
择的运算符号是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 已知，，则与 ( )
A
A. 互为相反数 B. 相等
C. 互为倒数 D. 互为负倒数
【点拨】因为
， ,
所以与 互为相反数.
返回
4.［2025张家界月考］如图，矩形内有两个
相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中
阴影部分的面积为___.
2
5.计算： _______.
【点拨】 .
返回
6.计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
7.先化简，再求值：
，其中
， .
【解】原式 .
因为， ，
所以原式 .
返回
8. 如图，点，，， 在数轴上，则可近似表示
的结果的点是( )
C
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
【点拨】.因为 ，所以
，所以可近似表示 的结果
的点是点 .
返回
9. ［2025杭州西湖区月考］已知 ，
，，那么，，
的大小关系是( )
A
A. B.
C. D.
返回
10. 小康和小英玩摸卡片游戏：如图，有三
张大小、形状、纸质完全相同的卡片，， ，卡片正面分
别写有一个算式，现将背面朝上，小康随机抽取两张，若小
康所抽取的两张卡片上式子的结果都是无理数，则它们的和
为( )
A
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
11.已知，则 化简
的结果为_________.
【点拨】由题意得，，所以 ，所以
.所以， .所以
.
返回
二次根式的混合运算
乘除法则
加减法则
乘除公式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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