资源简介

(共27张PPT)
4.6.2 线段垂直平分线的作法教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.6.2 线段垂直平分线的作法
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了线段垂直平分线的性质和判定定理，知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
问题提出：根据这些性质和判定，我们如何用尺规准确作出一条线段的垂直平分线呢？这就是本节课要学习的内容。
学习意义：掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，是解决几何作图问题的重要基础，能帮助我们更直观地理解线段垂直平分线的本质，为后续复杂图形的作图和证明提供支持。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解线段垂直平分线尺规作图的依据；掌握用尺规作线段垂直平分线的具体步骤；能运用线段垂直平分线的作法解决相关几何作图问题。
能力目标：通过动手操作，提高尺规作图的技能和规范作图的能力；培养运用数学知识解决实际作图问题的能力。
情感目标：在作图过程中感受数学的严谨性和逻辑性，体会理论知识与实践操作的结合，激发对几何作图的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 线段垂直平分线作图的依据
依据原理：根据线段垂直平分线的判定定理 —— 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
推理说明：如果我们能找到两个到线段两端点距离相等的点，那么过这两点的直线就是该线段的垂直平分线（因为两点确定一条直线）。
操作思路：利用圆规以线段两端点为圆心，以大于线段一半的长度为半径画弧，两弧会产生两个交点，这两个交点到线段两端点的距离相等，因此过这两个交点的直线就是线段的垂直平分线。
第 5 页：知识点 2—— 线段垂直平分线的尺规作图步骤
已知：线段\(AB\)（给出线段\(AB\)的图形）。
求作：线段\(AB\)的垂直平分线。
作图步骤：
以点\(A\)为圆心，以大于\(\frac{1}{2}AB\)的长为半径画弧（确保两弧能相交于两点，半径不能小于或等于线段一半，否则弧可能不相交或仅交于一点）。
以点\(B\)为圆心，以同样的长（与步骤 1 相同的半径）为半径画弧，与步骤 1 中所画的弧分别交于点\(C\)和点\(D\)。
过点\(C\)和点\(D\)作直线\(CD\)。
直线\(CD\)即为所求作的线段\(AB\)的垂直平分线。
图形演示：分步展示作图过程，标注弧的交点\(C\)、\(D\)和直线\(CD\)，明确每一步的操作要点。
第 6 页：例题 1—— 作已知线段的垂直平分线
例 1：已知线段\(MN = 4cm\)，用尺规作出它的垂直平分线。
解析：
已知：线段\(MN = 4cm\)。
求作：线段\(MN\)的垂直平分线。
作法：
以点\(M\)为圆心，以大于\(2cm\)（\(\frac{1}{2}MN\)）的长为半径画弧。
以点\(N\)为圆心，以同样的长为半径画弧，与步骤 1 中的弧交于点\(P\)和点\(Q\)。
过点\(P\)、\(Q\)作直线\(PQ\)。
直线\(PQ\)就是线段\(MN\)的垂直平分线。
验证：在直线\(PQ\)上任取一点\(R\)，连接\(RM\)、\(RN\)，测量\(RM\)和\(RN\)的长度，发现\(RM = RN\)，验证直线\(PQ\)是线段\(MN\)的垂直平分线。
第 7 页：知识点 3—— 作图中的注意事项
半径要求：画弧时，半径必须大于线段长度的一半，否则两弧无法相交于两点，不能确定直线。
半径统一：以线段两端点为圆心画弧时，必须使用相同的半径，这样才能保证两个交点到两端点的距离相等。
直线规范：过两弧交点作直线时，要用直尺确保直线画得笔直，且经过两个交点。
标注清晰：作图完成后，要标注出弧的交点和所作的垂直平分线，必要时可标注垂直符号和中点符号。
第 8 页：例题 2—— 利用线段垂直平分线作图解决问题
例 2：如图，已知△\(ABC\)，用尺规作出边\(BC\)的垂直平分线，并说明该垂直平分线与边\(AB\)、\(AC\)的交点到点\(B\)、\(C\)的距离关系。
解析：
作法：
以点\(B\)为圆心，以大于\(\frac{1}{2}BC\)的长为半径画弧。
以点\(C\)为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧交于点\(D\)、\(E\)。
过点\(D\)、\(E\)作直线\(DE\)，直线\(DE\)即为边\(BC\)的垂直平分线。
距离关系：设直线\(DE\)与\(AB\)交于点\(F\)，与\(AC\)交于点\(G\)。根据线段垂直平分线的性质定理，可得\(FB = FC\)，\(GB = GC\)。
第 9 页：知识点 4—— 线段垂直平分线作图的应用
应用 1：找线段中点。因为线段的垂直平分线经过线段的中点，所以作出线段的垂直平分线后，垂直平分线与线段的交点就是该线段的中点。
应用 2：构造等腰三角形。在线段的垂直平分线上任取一点，连接该点与线段两端点，可得到等腰三角形（因为该点到两端点距离相等）。
应用 3：解决实际选址问题。如在公路旁建一个设施，使它到两个村庄的距离相等，可通过作两村庄连线的垂直平分线与公路的交点确定选址。
第 10 页：例题 3—— 综合应用线段垂直平分线作图
例 3：已知线段\(AB\)，用尺规作出一点\(P\)，使\(PA = PB\)，且点\(P\)到直线\(l\)的距离为\(2cm\)（保留作图痕迹，不写作法）。
解析：
第一步：作线段\(AB\)的垂直平分线\(m\)（确保点\(P\)在\(m\)上时\(PA = PB\)）。
第二步：在直线\(l\)的两侧，分别作与直线\(l\)平行且距离为\(2cm\)的直线\(n_1\)和\(n_2\)。
第三步：直线\(m\)与\(n_1\)、\(n_2\)的交点即为所求的点\(P\)（可能有两个交点）。
图形展示：展示作图后的图形，标注出点\(P\)的位置和相关线段、直线。
第 11 页：课堂练习
练习 1：已知线段\(a\)，用尺规作出它的垂直平分线，并标出线段的中点。
练习 2：如图，已知△\(ABC\)，用尺规作出边\(AB\)和边\(AC\)的垂直平分线，观察两条垂直平分线的交点到三个顶点的距离有什么关系。
练习 3：用尺规作图，在直线\(l\)上找一点\(Q\)，使点\(Q\)到点\(A\)和点\(B\)的距离相等（点\(A\)、\(B\)在直线\(l\)两侧）。
第 12 页：知识总结
作图依据：线段垂直平分线的判定定理（到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上）。
作图步骤：以线段两端点为圆心画弧（半径大于线段一半且相等）→得两交点→过交点作直线，该直线即为垂直平分线。
注意事项：半径需大于线段一半且保持一致，直线要过两交点，作图要规范。
主要应用：找线段中点、构造等腰三角形、解决实际选址等问题。
第 13 页：课后作业
作业 1：已知线段\(AB = 5cm\)，用尺规作出它的垂直平分线，并测量垂直平分线上任意一点到\(A\)、\(B\)两点的距离，验证是否相等。
作业 2：如图，在△\(ABC\)中，\(AB = AC = 6cm\)，用尺规作出底边\(BC\)的垂直平分线，交\(AC\)于点\(D\)，连接\(BD\)，测量\(BD\)的长度。
作业 3：用尺规作图，作出一个三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的交点位置有什么特点，并说明理由。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.6.2线段垂直平分线的作法
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解线段的垂直平分线的作法，能正确作图；
2. 理解过一点作已知直线的垂线的方法，能正确作图；
3. 能运用作线段的垂直平分线的方法解决实际问题；
4. 学会交流学习过程和结果，取长补短，增强合作意识.
1. 什么叫作线段的垂直平分线？
2. 说出线段垂直平分线的性质定理和逆定理。
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
如图，点A，点B是公路一旁的两个村庄。村委会计划选定公路边的某地点C作为开挖点向两个村庄各修建一条笔直的车道，请你画出点C的位置，使点C到两个村庄的距离相等.
A
B
公路
因为到线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此，只要连接AB，作出线段AB的垂直平分线，找出其与公路边的交点，就是所画的点C的位置。
A
B
公路
那么，怎样作出一条已知线段的垂直平分线呢？
如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线。线.
A
B
要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点。
A
B
如何作线段AB的垂直平分线呢？
如何找出这样的两个点？我们可以利用圆规来作图.
线段AB的垂直平分线的作法:
A
B
C
D
以点A为圆心，以大于的长为半径，在线段AB的两侧画弧；
1、
2、以点B为圆心，以第一步的同样长为半径，在线段AB的两侧画弧，交第一步所画的弧于点C和点D；
3、过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.如图点O为AB的中点.
A
B
C
D
O
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
因为点P与已知直线的位置关系有两种：点P在直线l上或点P在直线l外，因此，我们需要分两种情况作图。
(1)当点P在直线l上
①在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使PA=PB.
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
A
B
C
P
l
●
②分别以A，B为圆心，以大于AP的长为半径画弧，两弧相交于点C.
①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段为半径画弧，交直线l于点A，B；
③过点C,P作直线CP,则直线CP为所求作的直线.
P
l
●
A
B
C
分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C.
②
(2)当点P在直线l外
1. 如图，已知 ，用尺规在
上确定一点，使 ，则下列
四种不同的作图方法中正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 如图，下列是四种用无刻度直尺和圆规
作角平分线的方法，其中不正确的个数是( )
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
返回
（第3题）
3. ［2025湘潭月考］如图，在 中，按
以下步骤作图：①分别以， 为圆心，以大
于 的长为半径作弧，两弧相交于两点
，；②作直线交于点，连接 .
若， ，则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，在四边形中， ,
,.按下列步骤作图：①以点 为
圆心，适当长度为半径画弧，分别交,
于,两点；②分别以点, 为圆心，以大于
A
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
的长为半径画弧，两弧交于点;③连接并延长交 于
点 .
则 的长是( )
返回
5.［2025北京西城区月考］已知：如图， .
求作：线段,使得 .
作法：①分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧分别交于点和点 ;
②作直线,交于点 ;
③连接，线段 即为所求作的线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）.
【解】如图.
（2）求证： .
【证明】因为是线段 的垂直平分线，
所以 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 .
返回
6. 如图，已知线段和线段 ,某个等腰三角形底边
长为,底边上的高为 .
（1）请用直尺、圆规作出等腰三角形，不写作法，保留作
图痕迹；
【解】如图, 即为所求.
（2）当与 满足什么数量关系时，这个等腰三角形的底角
是 .
当与满足 时，这个等腰三
角形的底角是 .因为 垂直平分
,所以 ,
.
因为 ,所以 ,
所以,即 .
返回
1.作线段的垂直平分线运用的定理是什么？思路是什么？
运用的定理是线段垂直平分线的性质定理的逆定理。
思路是用尺规作出到线段两端距离相等的两点，经过这两点画出直线，就是线段的垂直平分线。
2.“过一点作直线的垂线”尺规作图的思路是什么？
先在直线上作一条线段，使已知点在这条线段的平分线上。再作出这条线段垂直平分线上的另一点，经过这两点的直线就是已知直线的垂线。
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑