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4.1.2 三角形的高、角平分线与中线教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.1.2 三角形的高、角平分线与中线
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们认识了三角形的定义、构成要素（顶点、边、内角）以及三角形的稳定性。三角形有三个顶点、三条边和三个内角，它们是三角形的基本组成部分。
情境提问：在三角形中，除了边和角这些基本要素外，还有一些特殊的线段与边和角密切相关。比如如何从三角形的一个顶点向它的对边作垂线？如何将三角形的一个内角平均分成两份？如何连接顶点与对边中点？这些就是我们今天要学习的三角形的高、角平分线和中线。
学习意义：掌握三角形的高、角平分线和中线的概念，是进一步研究三角形性质和解决几何问题的基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解三角形的高、角平分线和中线的定义；能准确画出三角形的高、角平分线和中线；掌握这三种线段的基本特征和性质。
能力目标：通过动手画图和观察分析，培养动手操作能力和空间想象能力；能结合图形识别和运用三角形的高、角平分线和中线。
情感目标：在探究三角形特殊线段的过程中，感受几何图形的严谨性和逻辑性，激发对几何学习的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 三角形的高
定义解析：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，简称三角形的高。
图形演示：在\(\triangle ABC\)中，过顶点\(A\)作边\(BC\)所在直线的垂线，垂足为\(D\)，则线段\(AD\)就是\(\triangle ABC\)的一条高，记作 “\(AD\)是\(\triangle ABC\)的高” 或 “\(AD\perp BC\)于点\(D\)”。
特征说明：
三角形的高是一条线段，端点是三角形的顶点和垂足。
三角形的高与对边所在直线垂直，即高与对边的夹角为\(90^{\circ}\)。
一个三角形有三条高，分别从三个顶点向它们的对边作垂线。
不同类型三角形的高：展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，说明锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条直角边互为高且斜边上的高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
第 5 页：例题 1—— 画三角形的高并识别
例 1：在下图的\(\triangle ABC\)中，画出边\(BC\)上的高，并说明这条高是哪个顶点向对边作的垂线。
解析：
步骤 1：找到边\(BC\)对应的顶点\(A\)。
步骤 2：过点\(A\)作边\(BC\)所在直线的垂线，垂足为\(E\)。
步骤 3：线段\(AE\)就是\(\triangle ABC\)中边\(BC\)上的高，它是从顶点\(A\)向对边\(BC\)作的垂线。
例 2：在直角三角形\(DEF\)中，\(\angle D=90^{\circ}\)，则它的三条高分别是什么？
解析：直角边\(DE\)和\(DF\)互为高（\(DE\)是边\(DF\)上的高，\(DF\)是边\(DE\)上的高），过点\(D\)向斜边\(EF\)作垂线，垂足为\(G\)，线段\(DG\)是斜边\(EF\)上的高。
第 6 页：知识点 2—— 三角形的角平分线
定义解析：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
图形演示：在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A\)的平分线交边\(BC\)于点\(F\)，则线段\(AF\)就是\(\triangle ABC\)的一条角平分线，记作 “\(AF\)是\(\triangle ABC\)的角平分线” 或 “\(\angle BAF=\angle CAF=\frac{1}{2}\angle BAC\)”。
特征说明：
三角形的角平分线是一条线段，端点是三角形的顶点和角平分线与对边的交点。
三角形的角平分线将它所在的内角分成两个相等的角。
一个三角形有三条角平分线，分别平分三个内角，且三条角平分线都在三角形内部。
第 7 页：例题 2—— 画三角形的角平分线并计算角度
例 3：在\(\triangle ABC\)中，\(\angle BAC=80^{\circ}\)，\(AD\)是\(\triangle ABC\)的角平分线，求\(\angle BAD\)和\(\angle CAD\)的度数。
解析：因为\(AD\)是角平分线，所以它平分\(\angle BAC\)，则\(\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\times80^{\circ}=40^{\circ}\)。
例 4：在下图的\(\triangle DEF\)中，画出\(\angle E\)的角平分线，并说明这条角平分线将\(\angle E\)分成了怎样的两个角。
解析：
步骤 1：以顶点\(E\)为圆心，适当长为半径画弧，交\(ED\)、\(EF\)于两点。
步骤 2：分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点。
步骤 3：过点\(E\)和这个交点作射线，交\(DF\)于点\(H\)，线段\(EH\)就是\(\angle E\)的角平分线。
结论：这条角平分线将\(\angle E\)分成了两个相等的角，即\(\angle DEH=\angle FEH\)。
第 8 页：知识点 3—— 三角形的中线
定义解析：连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
图形演示：在\(\triangle ABC\)中，点\(M\)是边\(BC\)的中点（即\(BM=MC\)），则线段\(AM\)就是\(\triangle ABC\)的一条中线，记作 “\(AM\)是\(\triangle ABC\)的中线” 或 “\(BM=MC=\frac{1}{2}BC\)”。
特征说明：
三角形的中线是一条线段，端点是三角形的顶点和对边的中点。
三角形的中线将它所在的对边分成两条相等的线段。
一个三角形有三条中线，分别连接三个顶点与对边中点，且三条中线都在三角形内部。
三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。
第 9 页：例题 3—— 利用三角形的中线解决问题
例 5：在\(\triangle ABC\)中，\(BE\)是\(\triangle ABC\)的中线，若\(AC=6cm\)，求\(AE\)和\(EC\)的长度。
解析：因为\(BE\)是中线，所以点\(E\)是\(AC\)的中点，即\(AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times6=3cm\)。
例 6：在下图的\(\triangle DEF\)中，画出边\(DF\)上的中线，并说明这条中线将\(DF\)分成了怎样的两条线段。
解析：
步骤 1：找到边\(DF\)的中点\(N\)（用刻度尺量取\(DF\)的中点）。
步骤 2：连接顶点\(E\)和点\(N\)，线段\(EN\)就是边\(DF\)上的中线。
结论：这条中线将\(DF\)分成了两条相等的线段，即\(DN=NF\)。
第 10 页：知识点 4—— 三种线段的区别与联系
区别：
定义不同：高是从顶点向对边作的垂线，角平分线是平分内角且交对边的线段，中线是连接顶点与对边中点的线段。
作用不同：高与对边垂直，角平分线平分内角，中线平分对边。
位置不同：锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高是直角边，钝角三角形两条高在外部；而角平分线和中线无论三角形类型如何都在内部。
联系：
都是线段：三角形的高、角平分线和中线都是线段，不是直线或射线。
都有三条：一个三角形都有三条高、三条角平分线和三条中线。
都交于一点：三条角平分线交于内心，三条中线交于重心，三条高（或其延长线）交于垂心。
第 11 页：课堂练习
练习 1：判断下列说法是否正确。
（1）三角形的高一定在三角形内部。（ ）
（2）三角形的角平分线平分三角形的一边。（ ）
（3）三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。（ ）
练习 2：在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是高，\(AE\)是角平分线，\(AF\)是中线。
（1）若\(\angle BAC=70^{\circ}\)，则\(\angle BAE=\)______。
（2）若\(BC=8cm\)，则\(BF=\)______。
（3）\(AD\)与\(BC\)的位置关系是______。
练习 3：画出一个钝角三角形，并分别画出它的三条高、三条角平分线和三条中线，观察它们的位置特点。
第 12 页：知识总结
三角形的高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段，与对边垂直。
三角形的角平分线：内角平分线与对边交点和顶点间的线段，平分内角。
三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段，平分对边。
共性：都是线段，一个三角形各有三条，分别交于一点（垂心、内心、重心）。
区别：定义、作用和位置特点不同，高可能在三角形外部，角平分线和中线均在内部。
第 13 页：课后作业
作业 1：在一个锐角三角形中，画出所有的高、角平分线和中线，并标注出来。
作业 2：在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC=5cm\)，\(BC=6cm\)，画出\(BC\)边上的高、角平分线和中线，测量它们的长度并比较。
作业 3：已知\(\triangle ABC\)的周长为\(18cm\)，\(AD\)是中线，若\(AB=5cm\)，\(AC=7cm\)，求\(\triangle ABD\)和\(\triangle ACD\)的周长差。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1.2三角形的高、角平分线与中线
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念；
2. 能画出任意三角形的高线、角平分线和中线；
3. 能用三角形的高、角平分线、中线解决有关问题；
4. 培养认识图形、抽象图形概念的能力，激发学习兴趣.
1. 三角形的三边有什么关系？
A
B
C
三角形的任意两边长度的和大于第三边。
2. 在右边的三角形中找出：
（1）AB，CA边的对角；
（2）∠A， ∠B的对边.
三角形的角与对边的字母有什么规律吗？
一个角的对边是没有角的顶点字母的一边，反之也是.
A
B
C
a
b
c
3. 在右边的三角形中找出：
（1）a，b边的对角；
（2）∠A， ∠B的对边.
△ABC的角与有用小写字母表示的对边有什么规律吗？
△ABC中，角的顶点是大写字母，对边是它的小写字母.
4. 下列线段能否首尾相接构成三角形？
（1）10，8，6 （2）2.4，6，3.6
解：（1）∵8+6＞10 ，∴能构成三角形。
（2）∵2.4+3.6=6 ，∴不能构成三角形。
你能说说判断的方法吗？
算两短边之和，与最长边相比.
为了研究三角形和解决三角形的有关问题，我们可以在三角形中做出一些线段。例如，三角形的高线、中线、角平分线就是三角形中的重要线段。今天我们就一起来认识这些线段吧。
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图，AH⊥BC，垂足为H，则线段AH是△ABC的BC边上的高。
什么是三角形的高线？
如图，试画出△ABC的边BC上的高.
A
B
C
H
作法：1. 延长BC；
2. 作AH⊥直线BC；
则AH为所求作的钝角△ABC的边BC上的高.
由作图可知，钝角边上的高在三角形是外部，垂足在这个角的一边的延长线上.
如图，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.
A
B
C
D
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
什么是三角形的角平分线？
如图，BE=EC，则线段AE是△ABC的边BC上的中线。
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.
什么是三角形的中线？
任意画一个三角形，画出三边上的中线，你发现了什么？
三角形的三条中线相交于一点.
如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的重心。
A
C
D
E
F
B
G
我们把三角形的三条中线的交点叫作三角形的重心.
例2 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高. （1）图中有几个三角形？请分别列举出来.
（2）其中哪些三角形的面积相等？
解：（1） 6个三角形。分别是：
△ABD
△ADE
△AEC
△ABE
△ADC
△ABC
A
B
C
D
E
（2）△ABD和△ADC的面积相等。理由：
又因为 AE是△ABD的边BD上的高，也是△ADC的的边上DC的高。
因为等底同高的三角形的面积相等。
所以，△ABD和△ADC的面积相等。
A
B
C
D
E
因为 AD是△ABC的中线，
所以 BD=DC。
1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°， CD是AB边上的
高，AC=6，CB=8，AB=10。 则高CD等于（ ）
A. 2.4
B. 3.6
C. 4.8
D. 6
C
A
B
C
D
提示：∵△ABC的面积= ，
∴ AC·CB=AB·CD，即6×8=10CD，∴ CD=4.8.
1. 下列图形中，的边 上的高线画法正确的是( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2. 如图，将三角形纸片折叠，使点， 重
合，折痕与，分别交于点、点 ，
连接，下列是 的中线的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. ［2025德州月考］如图，在三角形
中，，为的中点，延长 交
于为上的一点，于 .下
列判断正确的有( )
A
是 的角平分线;
是的边 上的中线;
为的边 上的高.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
（第3题）
【点拨】①根据三角形的角平分线的概念，
知是的角平分线，是
的角平分线，故此判断错误；②根据三角
形的中线的概念，知是的边
上的中线，故此判断错误；③根据三角形
的高的概念，此判断正确.故选A.
返回
（第4题）
4.如图，在中，是 的平
分线，是的平分线，若
的度数为 ，则 的度数为
____.
【点拨】因为是 的平分线，
是的平分线，所以, 所以
.
返回
5.［2025柳州开学考试］如图，在中，已知点， ，
分别是边，，上的中点，且，则
的面积是___.
1
（第5题）
（第5题）
【点拨】因为 ，所以
.因为是边 上
的中点，所以 ，
因为是边上的中点，所以 .
所以 .
返回
6.已知点是的重心，连接，并延长交于点 ，
，的周长比的周长大，则 ____.
2.2
【点拨】因为点是的重心，且的延长线交 于点
,所以是的中点，即.因为 的周长比
的周长大 ,所以
,即 .又
因为,所以 .
返回
7.如图，在中，是高， 平分
， ， ，求
的度数.
【解】因为是高，所以 .所以
.
因为 ，所以 .
因为平分， ，所以
，
所以 .
返回
（第8题）
8. ［2025株洲期末］如图，在 中，
，，， ，
是高，是中线，是角平分线，交
于点，交于点 ，下面结论正确的是 ( )
B
的周长的周长 ；
； ；
； .
A. ①③⑤ B. ①②④
C. ①③④⑤ D. ②③④
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（第9题）
9. 如图，在直角三角形 中，
,点沿自点向点 运动
（点与点,不重合）,作 于点
,的延长线于点,在点 的运动
过程中， 的值逐渐( )
B
A. 变小 B. 变大 C. 不变 D. 无法确定
1. 什么叫做三角形的高？什么叫做三角形的角平分线？什么叫做三角形的中线？
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.
2. 三角形的三边的中线相交于一点，这一点叫做三角形的 。三角形的 把一个三角形分成面积相等的两个三角形.
重心
中线
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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