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4.2.2 证明，举反例教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.2.2 证明，举反例
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了定义和命题，知道命题分为真命题和假命题。真命题是题设成立时结论一定成立的命题，假命题是题设成立时结论不一定成立的命题。
问题提出：如何确定一个命题是真命题呢？仅仅通过观察或经验总结可靠吗？对于假命题，我们又如何明确地说明它是假的呢？这就需要用到今天学习的证明和举反例。
学习意义：证明是数学推理的核心方法，能帮助我们严谨地确认真命题的正确性；举反例则是判断假命题的有效手段，二者是数学逻辑推理的重要工具。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解证明的概念，知道证明的依据和基本步骤；掌握证明的书写格式，能进行简单命题的证明；理解举反例的含义，能熟练运用举反例的方法判断假命题。
能力目标：通过进行简单证明和举反例，培养逻辑推理能力和严谨的思维习惯；提高运用数学语言表达推理过程的能力。
情感目标：体会数学证明的严谨性和逻辑性，感受数学推理的魅力，增强对数学学习的信心。
第 4 页：知识点 1—— 证明的概念
证明的概念：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
证明的依据：证明过程中每一步推理都必须有依据，这些依据可以是已知条件、定义、基本事实（如 “两点确定一条直线”）、已经证明过的定理（如 “对顶角相等”）等。
核心作用：证明可以通过严谨的逻辑推理，确认一个命题的真实性，避免仅凭直觉或经验得出错误结论。
实例说明：要证明 “三角形的内角和是 180°”，不能仅通过测量几个三角形就得出结论，需要通过作辅助线，利用平行线的性质等进行推理证明。
第 5 页：知识点 2—— 证明的步骤与格式
证明的基本步骤：
第一步：明确命题的条件和结论，根据需要画出图形，并在图形上标注相关字母和符号。
第二步：结合图形，写出 “已知”（命题的条件）和 “求证”（命题的结论）。
第三步：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理等，进行逐步推理，直到推出结论为止。
第四步：写出推理的结论，完成证明。
证明的书写格式：证明过程要条理清晰，每一步推理都要写明依据，常用 “∵” 表示 “因为”，“∴” 表示 “所以”。
实例演示：证明 “对顶角相等”，画出对顶角图形，已知：∠1 和∠2 是对顶角，求证：∠1=∠2。证明过程：∵∠1 和∠2 是对顶角（已知），∴∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠1+∠3=∠2+∠3（等量代换），∴∠1=∠2（等式性质）。
第 6 页：例题 1—— 简单命题的证明
例 1：证明 “同角的补角相等”。
步骤 1：明确条件和结论，画出图形。条件：∠1 是∠3 的补角，∠2 是∠3 的补角；结论：∠1=∠2。
步骤 2：写出已知和求证。已知：∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°；求证：∠1 = ∠2。
步骤 3：进行证明。
证明：∵∠1 + ∠3 = 180°（已知），∴∠1 = 180° - ∠3（等式性质）。
∵∠2 + ∠3 = 180°（已知），∴∠2 = 180° - ∠3（等式性质）。
∴∠1 = ∠2（等量代换）。
第 7 页：例题 2—— 结合图形的证明
例 2：如图，已知直线\(a\parallel b\)，直线\(c\)与\(a\)、\(b\)分别交于点\(A\)、\(B\)，求证：∠1 = ∠2。
步骤 1：分析图形，明确已知和求证。已知：\(a\parallel b\)，\(c\)与\(a\)交于\(A\)，与\(b\)交于\(B\)，∠1 和∠2 是同位角；求证：∠1 = ∠2。
步骤 2：证明过程。
证明：∵\(a\parallel b\)（已知），∴∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）。
第 8 页：知识点 3—— 举反例的概念与方法
举反例的概念：要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子，使这个例子满足命题的条件，但不满足命题的结论，这样的例子叫做反例。
举反例的关键：反例必须同时满足两个条件，一是具备命题的条件，二是不具备命题的结论，二者缺一不可。
举反例的步骤：
第一步：分析命题的条件和结论，明确需要满足的条件和需要否定的结论。
第二步：构造一个符合条件但不符合结论的具体例子。
第三步：通过这个例子说明命题是假命题。
实例分析：命题 “相等的角是对顶角” 是假命题，反例：等腰三角形的两个底角相等（满足条件 “相等的角”），但这两个角不是对顶角（不满足结论 “是对顶角”）。
第 9 页：例题 3—— 用反例判断假命题
例 3：判断命题 “若\(a > b\)，则\(ac > bc\)” 是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例。
解析：是假命题。
反例构造：命题条件是 “\(a > b\)”，结论是 “\(ac > bc\)”。当\(c = 0\)时，取\(a = 3\)，\(b = 2\)，满足\(a > b\)，但\(ac = 3 0 = 0\)，\(bc = 2 0 = 0\)，此时\(ac = bc\)，不满足\(ac > bc\)。所以这个命题是假命题。
例 4：判断命题 “所有的整数都是正数” 是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例。
解析：是假命题。
反例：-1 是整数（满足条件），但 - 1 不是正数（不满足结论），所以该命题是假命题。
第 10 页：知识点 4—— 证明与举反例的区别与联系
区别：
作用不同：证明用于确认真命题的正确性，通过一系列逻辑推理得出结论成立；举反例用于判断假命题，通过一个具体例子说明结论不成立。
过程不同：证明需要从条件出发逐步推理，过程较为严谨复杂；举反例只需构造一个符合条件但不符合结论的例子，过程相对简单。
联系：
都是判断命题真假的方法：证明用于真命题，举反例用于假命题，共同构成判断命题真假的逻辑手段。
都依赖命题的条件和结论：无论是证明还是举反例，都需要先明确命题的条件和结论，围绕条件和结论展开。
第 11 页：课堂练习
练习 1：证明 “等角的余角相等”。
练习 2：如图，已知\(AB\perp CD\)，垂足为\(O\)，求证：∠AOC = ∠BOD。
练习 3：判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举出反例。
（1）若\(x^2 = 9\)，则\(x = 3\)。
（2）三角形的一个外角大于任何一个内角。
（3）若两个角互补，则这两个角一个是锐角，一个是钝角。
第 12 页：知识总结
证明：从命题条件出发，依据定义、基本事实、定理等进行推理，得出结论成立的过程，用于确认真命题。
证明步骤：明确条件结论并画图、写已知求证、逐步推理、得出结论，书写需条理清晰并注明依据。
举反例：构造满足命题条件但不满足结论的例子，用于判断假命题，反例需同时满足条件和不满足结论。
关系：证明和举反例分别是判断真、假命题的方法，均围绕命题的条件和结论展开。
第 13 页：课后作业
作业 1：证明 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”（在同一平面内）。
作业 2：判断下列命题的真假，若是真命题请证明，若是假命题请举出反例。
（1）邻补角互补。
（2）若\(a\)是有理数，则\(a^2 > 0\)。
作业 3：自己编写一个真命题和一个假命题，分别进行证明和举反例。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.2.2 证明，举反例
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
下列命题哪些正确？哪些错误？
（1），（2）（3）是错的，
（4）是正确的.
（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数， 那么a是整数.
（3）同位角相等； （4）同角的补角相等.
我们把正确的命题称为真命题
把错误的命题称为假命题
判断下列命题是真命题还是假命题
(1)相等的角是对顶角
(2)内错角相等
(3)大于90度的角是平角
(4)如果a>b，b>c，那么a>c
真命题
假命题
假命题
假命题
例题讲解
1、同旁内角互补，两直线平行.
2、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
假
3、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
假
说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.
像此例那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
解 如果a是整数，根据有理数的定义：
“整数和分数统称为有理数”，得出a是实数.
因此命题(1)为真．
像此例那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.
（2）如果a是有理数，那么a是整数
解 0.5是有理数，
因此命题(2)为假．
但是0.5不是整数.
判断下列命题为真命题是根据什么呢？
说一说
是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断．
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
（2）如果三角形ABCD是等边三角形，那么它是等腰三角形．
从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.
对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。
有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
欧几里得
结论
小知识
欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系．
（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.)
举例： 本书中常用的基本事实：
过两点有且只有一条直线.
（2）
两点之间，线段最短.
（1）
（3）
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
举例： 定理：
同角或等角的补角相等.
（2）余角的性质：
同角或等角的余角相等.
（4）垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（1）补角的性质：
（3）对顶角的性质：
对顶角相等
②垂线段最短.
内错角相等，两直线平行.
（5）平行线的判定定理：
定理也可以作为判断其他命题真假的依据,由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
在图2-15 中， 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？
根据三角形内角和定理：
∠ACD +∠ACB = 180°，∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量减等量， 差相等）.
于是∠ACD =∠A +∠B.
平行线的性质定理Ｉ
两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线 平行，那么同位角相等．
平行线的基本事实Ｉ
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
上述这两个定理是不是互逆的命题？
1
2
1
2
结论
如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.
例如：
平行线的基本事实Ｉ是平行线的性质定理Ⅰ的逆定理．
下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来．
两条直线被第三条直线所截，如果这两直线平行，那么内错角相等；
答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行；
1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ 请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0；
答：真命题
（2）相等的角是对顶角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，
那么a∥b.
答：假命题
答：假命题
答：真命题
1. 下列说法错误的是( )
B
A. 命题是叙述一件事情的句子（陈述句）
B. 基本事实的正确性必须得到证明
C. 证明假命题举一个反例即可
D. 演绎推理的过程叫作证明
2. 能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”
时，下列假设正确的是( )
D
A. 三角形中最少有一个角是直角或钝角
B. 三角形中没有一个角是直角或钝角
C. 三个角全是直角或钝角
D. 三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角
返回
4. 如图，,, ,求证：
.现有下列步骤：①因为 ;②所以
;③所以 ;④因为
,;⑤所以 .那么正
确的证明顺序是( )
C
A. ①②③④⑤ B. ③④⑤②①
C. ④②①⑤③ D. ⑤②③①④
返回
5.母题 教材P98做一做 判断下列各命题是真命
题还是假命题，若是假命题，请举一个反例.
（1）若,则 ；
【解】假命题.当时，满足，但
（举反例不唯一）.
（2）锐角小于它的余角；
假命题. 的余角为 ，但 （举反例不唯一）.
（3）如图，如果，，那么 .
真命题.
返回
6. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正
确的反例是( )
C
A. ， 的补角 ，
B. ， 的补角 ，
C. ， 的补角 ，
D. 两个角互为邻补角
返回
7.
（1）完成下面的推理证明：
已知：如图，，， 分别平分
和.求证： .
证明：因为，分别平分和
（已知），
所以 _____，
_____（________________）.
因为 （已知），
所以 （________________________）.
所以 （__________）.
所以 （等式的性质）.
所以 （________________________）.
角平分线的定义
两直线平行，内错角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
证明
1. 说明一个命题是真命题的方法：
举反例
2. 说明一个命题是假命题的方法：
3. 基本事实、定理、互逆定理.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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