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4.2.3 定理，推论教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.2.3 定理，推论
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了证明和举反例，知道证明是通过逻辑推理确认真命题正确性的过程，举反例是判断假命题的有效方法。在数学中，有些真命题经过证明后具有重要的应用价值。
问题提出：这些经过证明的真命题在数学中有怎样的称谓？它们之间又存在怎样的联系呢？这就涉及到我们今天要学习的定理和推论。
学习意义：理解定理和推论的概念，掌握它们的特点和关系，有助于我们更好地运用数学知识进行推理和解决问题，构建完整的数学知识体系。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解定理的概念，知道定理的来源和特征；理解推论的概念，明确推论与定理的关系；能举例说明常见的定理和推论，了解它们在数学推理中的作用。
能力目标：通过分析定理和推论的实例，培养归纳总结能力；能运用定理和推论进行简单的推理，提高逻辑推理能力。
情感目标：感受数学知识的严谨性和系统性，体会定理和推论在数学发展中的重要作用，激发对数学学习的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 定理的概念
定理的概念：经过证明的真命题叫做定理。
定理的来源：定理是从基本事实或其他已经证明的定理出发，通过逻辑推理证明得到的真命题。它不是凭空产生的，而是建立在扎实的推理基础之上。
定理的特征：
真实性：定理是经过严格证明的真命题，其结论具有可靠性。
严谨性：定理的证明过程必须逻辑严密，每一步推理都有依据。
应用性：定理在数学推理和解决问题中具有重要的应用价值，是进一步推理的依据。
实例分析：“对顶角相等” 是经过证明的真命题，所以它是定理；“三角形的内角和等于 180°” 经过证明后也成为定理，在解决三角形角度计算问题中经常用到。
第 5 页：例题 1—— 识别定理
例 1：下列命题中，属于定理的是（ ）
A. 两点之间线段最短
B. 若\(a > b\)，则\(a + c > b + c\)
C. 今天是晴天
D. 三角形的任意两边之和大于第三边
解析：
A 选项是基本事实，不需要证明，不是定理。
B 选项是不等式的基本性质，是经过证明的真命题，属于定理。
C 选项是对天气的描述，不是命题，更不是定理。
D 选项是经过证明的真命题，属于定理。
答案：B、D
第 6 页：知识点 2—— 定理的作用
推理依据：定理是数学推理的重要依据，在进行证明时，除了可以依据基本事实、定义外，还可以依据已经证明的定理。
知识构建：定理是数学知识体系的重要组成部分，多个相关定理相互联系，构成了完整的数学分支知识体系。例如，三角形的相关定理（如内角和定理、三边关系定理等）构成了三角形知识体系的核心。
问题解决：定理为解决数学问题提供了方法和思路，利用定理可以简化问题解决过程，提高解题效率。例如，利用 “勾股定理” 可以快速计算直角三角形的边长。
实例说明：在证明 “三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和” 时，可以依据 “三角形的内角和定理” 进行推理，使证明过程更加简洁明了。
第 7 页：知识点 3—— 推论的概念
推论的概念：由定理直接推出的结论，并且不需要再经过证明的真命题叫做推论。
推论与定理的关系：推论是以定理为基础推导出来的，它是定理的延伸和扩展。推论和定理一样，都是经过证明（或由定理直接推出）的真命题，都可以作为推理的依据。
推论的特征：
依附性：推论依赖于定理而存在，不能脱离定理单独成立。
简洁性：推论的推导过程相对简单，通常可以直接由定理得出。
应用性：推论在数学推理中同样具有应用价值，能进一步丰富推理的依据。
实例分析：由 “三角形的内角和等于 180°” 这个定理，可以直接推出 “直角三角形的两个锐角互余” 这个推论；由 “等腰三角形的两底角相等” 定理，可推出 “等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60°” 这个推论。
第 8 页：例题 2—— 理解推论与定理的关系
例 2：下列关于推论与定理关系的说法，正确的是（ ）
A. 推论是定理的一种，二者没有区别
B. 推论不需要证明，定理需要证明
C. 推论是由定理直接推出的真命题
D. 定理是由推论推出的真命题
解析：
A 选项错误，推论和定理虽然都是真命题，但推论是由定理直接推出的，二者有区别。
B 选项错误，推论虽然不需要再经过额外证明，但它的正确性是由定理的正确性保证的，本质上也是经过证明的。
C 选项正确，推论是由定理直接推出的真命题。
D 选项错误，应该是推论由定理推出，而不是定理由推论推出。
答案：C
第 9 页：例题 3—— 举例说明定理和推论
例 3：举出数学中一个定理和由它推出的推论，并说明它们之间的关系。
解析：
定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称 “等腰三角形三线合一”）。
推论：等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都互相重合。
关系：因为等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等），所以由 “等腰三角形三线合一” 定理可以直接推出等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都互相重合这个推论。
第 10 页：知识点 4—— 定理和推论的应用
定理的应用步骤：
第一步：明确问题中涉及的数学知识和需要用到的定理。
第二步：结合问题条件，运用定理进行推理和计算。
第三步：得出问题的结论。
推论的应用步骤：与定理类似，推论的应用也是结合问题条件，将推论作为推理依据，简化推理过程。
实例演示：在等腰三角形\(ABC\)中，\(AB = AC\)，\(AD\)是底边\(BC\)上的中线，求证：\(AD\perp BC\)。
证明：∵\(AB = AC\)，\(AD\)是底边\(BC\)上的中线（已知），∴\(AD\)是底边\(BC\)上的高（等腰三角形三线合一定理），∴\(AD\perp BC\)（高的定义）。
第 11 页：课堂练习
练习 1：判断下列说法是否正确。
（1）定理都是真命题，真命题都是定理。（ ）
（2）推论是由定理直接推出的，所以推论也是定理。（ ）
（3）定理和推论都可以作为证明的依据。（ ）
练习 2：写出一个你学过的定理，并说明它可以用来解决哪些数学问题。
练习 3：写出由 “三角形的外角和等于 360°” 这个定理可能推出的一个推论，并简要说明理由。
第 12 页：知识总结
定理：经过证明的真命题，具有真实性、严谨性和应用性，是数学推理和知识构建的重要依据。
推论：由定理直接推出的不需要再证明的真命题，依附于定理存在，是定理的延伸和扩展。
关系：推论以定理为基础，二者都是真命题，都可作为推理依据，共同丰富数学知识体系。
应用：定理和推论在数学推理、问题解决和知识构建中发挥着重要作用，能简化推理过程，提高解题效率。
第 13 页：课后作业
作业 1：整理本学期学过的 5 个定理和它们对应的推论，记录在笔记本上。
作业 2：运用 “直角三角形两锐角互余” 这个推论，证明 “有两个角互余的三角形是直角三角形”。
作业 3：结合生活实际，举例说明定理或推论在生活中的应用（至少举一个例子）。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.2.3 定理，推论
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
a
b
a
b
下面的线段一样长吗？.
下面的两个正方形一样吗？.
直观是重要的,但它有时也会骗人.
a
b
a
b
采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和” 等于多少度.
做一做
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；
分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得360°．
另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°．
此时猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.
第一步：
根据题意，画出图形；
证明命题“三角形的外角和为360°” 是真命题.
第二步：
结合图形，写出已知求证；
已知： ∠BAF， ∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.
求证： ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°.
证明命题“三角形的外角和为360°” 是真命题.
第三步：
写出证明过程，并且步步有依据。
证明：
∵∠BAF =∠2 +∠3，
∠CBD =∠1 +∠3，
∠ACE =∠1 +∠2
（三角形外角定理），
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE
= 2 （∠1+∠2+∠3） （等式的性质）.
∵ ∠1 +∠2 +∠3 = 180° （三角形内角和定理），
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 2 × 180° = 360°.
（1）根据题意，画出图形。
（2）结合图形，写出已知求证
（3）写出证明过程，并且步步有依据。
经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？
从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明 。
证明的定义
概念的理解
推理
依据
（ 定义）（定理）（基本事实）
真命题
结论
例１．已知：在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证： AE∥BC.
证明： ∵ ∠DAC =∠B +∠C
（三角形外角定理），
∠B ＝∠C （已知），
∴ ∠DAC = 2∠B （等式的性质）.
∴ ∠DAE =
∠B
（等量代换），
∴ AE∥BC （同位角相等， 两直线平行）.
又∵ AE平分∠DAC（已知），
∴ ∠DAＣ = 2∠DAE （角平分线的定义）.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：
假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，
即∠A ＜ 60°，∠B ＜ 60°，∠C ＜ 60°，
则∠A +∠B +∠C ＜ 180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
例2．
先假设命题的结论不成立，
反证法的步骤：
然后经过推理，得出了矛盾的结果，
从而证明命题的结论一定成立，
这种证明方法称为反证法.
假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
否定结论
导出矛盾
肯定结论
1. 在括号内填上理由.
已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥BC（ ）.
∴ ∠C+∠D= 180°
（ ）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
1. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同
旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是
定理的有( )
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 下列定理中没有逆定理的是( )
D
A. 同位角相等，两直线平行
B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 互为相反数的两数之和为0
D. 对顶角相等
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3. ［2025遂宁开学考试］下列说法中，正确的是( )
C
A. 三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点
B. 三角形的一个外角大于任何一个内角
C. 任意三角形的外角和都是
D. 在中，当， 时，这个三角形是
直角三角形
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4. 如图，某镇计划把河中的水引
到水池中，可以先过点作，垂足为 ，然后沿
开渠，则能使所开的渠最短，这种设计方案的根据是
___________________________________________________.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
返回
5.定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，
那么同位角相等”有逆定理吗 如果有，请将其逆定理写出.
【解】有.逆定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角
相等，那么这两条直线平行.
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6.［2025北京大兴区期末］我们已经在小学通过剪拼的方法，
知道“三角形的内角和等于 ”这一结论，但这种实验得到
的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相
关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选
择其中一种方法完成证明.
续表
【证明】（任选其一即可）方法一：如图①，
过点作，所以 ，
.
又因为 ，所
以 .
方法二：如图②，过点作 ，
延长到点 ，
所以， .
又因为 ，
所以 .
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1.证明一个命题是真命题的基本步骤是什么
2.用反证法证明应分几步
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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