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4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们认识了全等三角形，知道全等三角形的对应边相等、对应角相等。反过来，如果两个三角形的三条边对应相等、三个角对应相等，那么这两个三角形一定全等。
问题提出：但在实际判断两个三角形是否全等时，是否需要逐一验证所有边和角都对应相等呢？有没有更简便的方法？这就是我们今天要学习的全等三角形的判定方法 —— 边角边定理。
学习意义：掌握全等三角形的判定定理，能帮助我们快速判断两个三角形是否全等，简化推理过程，提高解决几何问题的效率。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解 “边角边” 判定定理的内容；能运用 “边角边” 定理判断两个三角形是否全等；能结合图形写出 “边角边” 定理的推理格式。
能力目标：通过动手操作和探究，培养观察、分析和归纳能力；能运用 “边角边” 定理解决简单的几何证明和计算问题，提高逻辑推理能力。
情感目标：在探究判定定理的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，体会从特殊到一般的探究方法，激发学习几何的兴趣。
第 4 页：知识点 1——“边角边” 定理的探究
操作实验：
步骤 1：画一个△ABC，使 AB=5cm，∠B=60°，BC=3cm。
步骤 2：再画一个△DEF，使 DE=5cm，∠E=60°，EF=3cm。
步骤 3：将画出的两个三角形剪下来，尝试将它们重合。
实验结论：两个三角形能够完全重合，即△ABC≌△DEF。
归纳猜想：当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，这两个三角形全等。
第 5 页：知识点 2——“边角边” 定理的内容
定理表述：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成 “边角边” 或 “SAS”（其中 “S” 表示边，“A” 表示角）。
几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，若 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS）。
关键强调：
“两边”：指两个三角形中的两组对应边。
“夹角”：指两组对应边所夹的角，即两个边的公共角，注意必须是对应边的夹角，而不是其中一边的对角。
图形标注：在图形中用符号标注出相等的边和角，明确 “两边及其夹角” 的位置关系。
第 6 页：例题 1—— 运用 “边角边” 定理判断全等
例 1：如图，已知 AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，求证：△ABC≌△ADE。
解析：
已知条件：AB=AD（一组对应边相等），∠BAC=∠DAE（两组对应边的夹角相等），AC=AE（另一组对应边相等）。
推理过程：在△ABC 和△ADE 中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）。
第 7 页：例题 2—— 结合图形应用 “边角边” 定理
例 2：如图，点 E、F 在 AC 上，AD=BC，∠A=∠C，AE=CF，求证：△ADF≌△CBE。
解析：
步骤 1：由 AE=CF，可得 AE+EF=CF+EF，即 AF=CE（等式性质）。
步骤 2：在△ADF 和△CBE 中，AD=BC（已知），∠A=∠C（已知），AF=CE（已证）。
步骤 3：结论：∴△ADF≌△CBE（SAS）。
第 8 页：知识点 3——“边角边” 定理的注意事项
易错点提醒：
必须是 “夹角”：“边角边” 定理中的角必须是两组对应边的夹角，如果是其中一边的对角，则不能判定两个三角形全等。
反例说明：举一个 “两边及其中一边的对角对应相等” 的例子，如△ABC 中 AB=3cm，BC=2cm，∠A=30°；△DEF 中 DE=3cm，EF=2cm，∠D=30°，但两个三角形不全等，直观展示非夹角的情况不能判定全等。
对应关系：在应用定理时，要注意边和角的对应关系，必须是两个三角形的对应边和对应角相等，不能混淆顺序。
第 9 页：例题 3—— 避免 “边角边” 定理的易错应用
例 3：判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）有两边和一个角对应相等的两个三角形全等。
解析：错误。因为这个角不一定是两边的夹角，如果是其中一边的对角，则不能判定两个三角形全等。
（2）如图，在△ABC 和△ABD 中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC≌△ABD。
解析：错误。虽然 AB 是公共边，AC=AD，∠B 是公共角，但∠B 不是 AC 和 AB 的夹角，也不是 AD 和 AB 的夹角，不符合 “边角边” 定理的条件，所以不能判定全等。
第 10 页：知识点 4——“边角边” 定理的应用步骤
应用步骤：
第一步：明确要判断全等的两个三角形。
第二步：找出两个三角形中可能对应的边和角。
第三步：验证是否存在两组对应边及其夹角对应相等。
第四步：根据 “边角边” 定理得出结论。
推理格式：在△XXX 和△YYY 中，∵XX=YY，∠X=∠Y，XX=YY，∴△XXX≌△YYY（SAS）。
第 11 页：例题 4—— 运用 “边角边” 定理解决实际问题
例 4：如图，要测量池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个点 C，使 AC 和 BC 都可以直接到达 A、B，连接 AC 并延长到 D，使 CD=AC，连接 BC 并延长到 E，使 CE=BC，连接 DE，那么 DE 的长就是 A、B 的距离。请说明理由。
解析：
在△ABC 和△DEC 中，AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE（对顶角相等），BC=EC（已知）。
∴△ABC≌△DEC（SAS）。
∴AB=DE（全等三角形的对应边相等），即 DE 的长就是 A、B 的距离。
第 12 页：课堂练习
练习 1：如图，已知 AB=CD，∠ABC=∠DCB，求证：△ABC≌△DCB。
练习 2：下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B. ∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE
C. AB=DE，AC=DF，∠B=∠E
D. AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
练习 3：如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF，求证：AC=DF。
第 13 页：知识总结
“边角边” 定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。
关键要素：两边对应相等、夹角对应相等，必须强调 “夹角”。
推理格式：明确两个三角形，列出对应边和夹角相等的条件，得出全等结论。
注意事项：避免将 “夹角” 误认为 “一边的对角”，注意边和角的对应关系。
第 14 页：课后作业
作业 1：如图，已知 AD=BC，∠ADC=∠BCD，求证：△ADC≌△BCD。
作业 2：在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 AD=AE，求证：△ABE≌△ACD。
作业 3：自己设计一个利用 “边角边” 定理解决的实际测量问题，并说明测量方法和理由。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生识
图、分析图形的能力；
2.能运用“SAS” 证明简单的三角形全等问题.
（重点、难点）
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C=∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识回顾
两个三角形满足什么条件就能全等呢？下面我们就来探讨这个问题.
想一想：
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
探 究
每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？
我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
探 究
每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？
我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
一、利用“SAS”判定三角形全等
A
B
C
设在△ABC和△A'B'C'中，∠ABC=∠A'B'C，AB=A'B'，BC=B′C′.
下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真。
（1）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作平移，使BC的像B′′C′′ 与B′C′ 重合，△ABC在平移下的像为△A′′B′′C′′ .
由于平移不改变图形的形状和大小，因此△ABC ≌ △A′′B′′C′′.
A
B
C
所以△A′′B′′C′′与△A′B′C′重合，
因为 ∠ABC=∠A′′B′′C′′=∠A′B′C′ ，AB=A′B′=A′′B′′.
所以线段A″B″与A′B′重合，
因此点A′′与点A′重合，
那么A′′C′′与A′C′重合，
因此△A′′B′′C′′ ≌△A′B′C′，
从而△ABC ≌△A′B′C′.
A
B
C
（2）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图（顶点B 与顶点B′重合）.
因为BC=B′C′，
将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等∠C′BC，
所以线段BC的像与线段B′C′重合.
因为∠ABC=∠A′B′C′，
所以∠C′BC=∠A′BA.
(A)
B
(C)
由于旋转不改变图形的形状和大小，
又因为BA = B′A′，
所以在上述旋转下，BA的像与B′A重合，
从而AC的像就与A′C′ 重合，
于是△ABC的像就是△A′B′C′ .
因此△ABC ≌△A′B′C′.
(A)
B
(C)
（3）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.
根据情形(1)(2)的结论得△A′′B′′C′′ ≌△A′B′C′.
将△ABC作平移，使顶点B的像B′′和顶点B′重合，
因此△ABC ≌△A′B′C′.
（4）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作关于直线BC的轴反射，
△ABC在轴反射下的像为△A′′BC.
由于轴反射不改变图形的形状和大小，
得△ABC≌△A′′BC.
根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′.
因此△ABC ≌△A′B′C′.
在△ABC 和△ DEF中，
∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）．
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
知识要点
例1 如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.
求证：△ ACO ≌△ BDO .
分析:
△ ACO ≌ △ BDO.
边:
角:
边:
AO=BO(已知)，
∠AOC= ∠BOD(对顶角)，
(SAS)
CO=DO(已知).
？
证明：
在△ACO和△BDO中，
∴ △ACO≌△BDO（SAS）.
AO = BO，
∠AOC =∠BOD (对顶角相等)，
CO = DO，
方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐藏的条件.如对顶角相等、公共角（边）相等等.
变式1: 已知：如图，AB = CB，∠1 = ∠2.
求证:(1) AD = CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD与△CBD中
证明:
∴△ABD ≌ △CBD（SAS）
AB = CB (已知）
∠1=∠2 （已知）
BD = BD （公共边）
∴AD = CD，∠3 =∠4
∴DB 平分∠ ADC.
A
B
C
D
变式2: 已知:AD = CD，DB平分∠ADC ，求证:∠A =∠C.
1
2
在△ABD与△CBD中
证明:
∴△ABD ≌ △CBD（SAS）
AD = CD (已知）
∠1=∠2 （已证）
BD = BD （公共边）
∴∠A =∠C.
∵DB 平分∠ ADC.
∴∠1=∠2
练 习
1.如图，将两根钢条AA'和BB′的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具(卡钳).只要量出A'B'的长，就得出工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢？
此工具是根据三角形全等制作而成的.
∵O是AA'，BB'的中点，
∴AO = A′O， BO = B′O，
又∵∠AOB与∠A'OB'是对顶角，
∴∠AOB =∠A′OB’，
在△AOB和△A'OB′中，
证明：
AO = A′O（已证）
∠AOB=∠A′OB′ （已证）
BO=OB ′ （已证）
∴△AOB≌△A′OB′ (SAS)，
∴A′B'= AB，
∴只要量出A'B'的长度，就可以得到工件
的内径AB的长度.
2.如图，AD//BC，AD = BC.问：△ADC 和 CBA 是全等三角形吗？为什么？
△ADC≌△CBA，
理由如下：∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
∵在△ADC和△CBA中
AD=BC（已知）
∠DAC=∠BCA（已证）
AC=CA（公共边）
∴△ADC≌△CBA(SAS)
证明：
3.已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点.
求证：BE=CF.
∵AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点，
∴AE=AF，
在△ABE和△ACF中
AE=AF（已证）
∠A=∠A（公共角）
AB=AC（已知）
∴△ABE≌ △ACF(SAS)
∴BE=CF
证明：
4.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD ≌ △CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵AD//BC，
∴ ∠A=∠C，
∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，
即 AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），
5.如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD，
∠CAB=∠DBA，
AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
(已知)
(已知)
(公共边)
∴BC=AD
（全等三角形的对应边相等）.
5.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH， ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流.
E
F
D
H
解：能.在△EDH和△FDH中 ，　　
ED=FD，（已知）
　 ∠EDH=∠FDH，（已知）
　 DH＝DH，（公共边）
∴△EDH≌△FDH（SAS），
∴EH=FH.(全等三角形对应边相等）
1. 如图，已知 ，能直接用“边角边”证明
的条件是( )
A
（第1题）
A.
B.
C.
D.
返回
（第2题）
2. 如图，已知 ，下面甲、乙、丙、丁
四个三角形中，与 全等的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图是某纸伞截面示意图，伞柄
平分两条伞骨所成的 ，且
.若支杆 需要更换，则所换
长度应与哪一段长度相等( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 小明用同种材料制
成的金属框架如图所示，已知
，， ，其中
框架的质量为， 的质量
为 ，则整个金属框架的质量为
( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第5题）
5. 在测量一个小口圆形容
器的壁厚时，小明用“ 型转动钳”按如图方法
进行测量，其中， ，测得
，，用和 表示圆形容器的壁
厚是_________.
（第5题）
【点拨】在和 中，
所以
（边角边）.所以 .所以圆形容器的
壁厚为 .
返回
（第6题）
6.如图，在 的方格中，每个小方格的边长
均为1，则与 的数量关系是 ____________
____.
【点拨】如图，
在与 中，
所以
（边角边）.所以 .
又因为 ，所以 .
返回
7.［2025怀化月考］如图，是线段的中点， 平分
，平分， .
（1）求证： ；
【证明】因为是线段 的中点，所以
.
因为平分，平分 ，
所以 .
在与中，
所以 （边角边）.
（2）若 ，求 的度数.
【解】由（1）得 ，
因为 ，
所以 .
又因为 ，所以 .
又因为，所以 .
（第8题）
8. ［2025武汉汉阳区月考］如图,
中，，平分，点为 上
一点.则图中全等三角形有( )
C
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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