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4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了 “边角边”（SAS）判定定理，知道当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，这两个三角形全等。这是判断全等三角形的一种简便方法。
问题提出：除了 “边角边”，还有没有其他的判定方法呢？如果两个三角形有两个角和一条边对应相等，它们是否全等呢？这就是我们今天要探究的 “角边角” 和 “角角边” 判定定理。
学习意义：掌握这两种判定定理，能进一步丰富我们判断三角形全等的方法，提高解决几何问题的灵活性和效率。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解 “角边角”（ASA）和 “角角边”（AAS）判定定理的内容；能运用这两个定理判断两个三角形是否全等；能区分并正确应用两种定理进行推理证明。
能力目标：通过动手操作和探究，培养观察、分析和归纳能力；能运用定理解决几何证明和计算问题，提高逻辑推理能力。
情感目标：在探究过程中感受数学的严谨性，体会从实验到理论的认知过程，激发对几何推理的兴趣。
第 4 页：知识点 1——“角边角” 定理的探究
操作实验：
步骤 1：画一个△ABC，使∠B=60°，BC=4cm，∠C=45°。
步骤 2：再画一个△DEF，使∠E=60°，EF=4cm，∠F=45°。
步骤 3：将两个三角形剪下来，尝试重合。
实验结论：两个三角形能够完全重合，即△ABC≌△DEF。
归纳猜想：当两个三角形的两角及其夹边对应相等时，这两个三角形全等。
第 5 页：知识点 2——“角边角” 定理的内容
定理表述：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简写成 “角边角” 或 “ASA”（“A” 表示角，“S” 表示边）。
几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，若∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，则△ABC≌△DEF（ASA）。
关键强调：
“两角”：指两个三角形中的两组对应角。
“夹边”：指两组对应角所夹的边，即两个角的公共边，必须是两角之间的边。
图形标注：在图形中用符号标注相等的角和边，明确 “两角及其夹边” 的位置关系。
第 6 页：例题 1—— 运用 “角边角” 定理判断全等
例 1：如图，已知∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，求证：△ABC≌△DCB。
解析：
已知条件：∠ABC=∠DCB（一组对应角相等），BC=CB（公共夹边相等），∠ACB=∠DBC（另一组对应角相等）。
推理过程：在△ABC 和△DCB 中，∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，∴△ABC≌△DCB（ASA）。
第 7 页：知识点 3——“角角边” 定理的探究
逻辑推理：在△ABC 和△DEF 中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，能否判定全等？
由三角形内角和定理可知，∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E，∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F。
此时满足∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，即符合 “角边角” 定理，故△ABC≌△DEF。
归纳结论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
第 8 页：知识点 4——“角角边” 定理的内容
定理表述：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成 “角角边” 或 “AAS”。
几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS）。
关键强调：
“两角”：两组对应角相等。
“对边”：其中一个角所对的边对应相等，注意区分 “夹边” 和 “对边”。
与 ASA 的关系：AAS 可由 ASA 和三角形内角和定理推导得出，二者都是基于两角和一边对应相等的判定方法。
第 9 页：例题 2—— 运用 “角角边” 定理判断全等
例 2：如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：△ABC≌△ABD。
解析：
已知条件：∠1=∠2（一组对应角相等），∠C=∠D（另一组对应角相等），AB=AB（公共边，是∠1 和∠C 的对边，也是∠2 和∠D 的对边）。
推理过程：在△ABC 和△ABD 中，∵∠1=∠2，∠C=∠D，AB=AB，∴△ABC≌△ABD（AAS）。
第 10 页：知识点 5——ASA 与 AAS 的区别与联系
区别：
边的位置不同：ASA 中的边是两角的夹边（两角之间的边）；AAS 中的边是其中一角的对边（两角之外的边）。
表述侧重不同：ASA 强调 “夹边”，AAS 强调 “对边”。
联系：
都涉及两角和一边对应相等的条件。
AAS 可由 ASA 推导得出，本质上是 ASA 的一种延伸。
两者都能独立作为判定三角形全等的依据。
图形对比：展示 ASA 和 AAS 的示意图，直观对比边的位置差异。
第 11 页：例题 3—— 区分应用 ASA 和 AAS
例 3：如图，点 B、F、C、E 在同一直线上，∠A=∠D，∠B=∠E，BF=EC，求证：△ABC≌△DEF。
解析：
步骤 1：由 BF=EC，得 BF+FC=EC+FC，即 BC=EF（等式性质）。
步骤 2：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，符合 AAS 条件。
结论：∴△ABC≌△DEF（AAS）。
例 4：如图，∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF。
解析：条件中∠B 和∠E 的夹边是 BC 和 EF，符合 ASA 条件，∴△ABC≌△DEF（ASA）。
第 12 页：知识点 6—— 判定定理的应用技巧
找对应关系：根据图形特征（如公共角、对顶角）和已知条件，准确确定对应角和对应边。
选合适定理：若已知两角及夹边，用 ASA；若已知两角及一角对边，用 AAS。
辅助线辅助：复杂图形中可通过作辅助线（如连接线段）构造全等三角形的条件。
注意事项：避免无依据的 “角角角” 或 “边边角” 判定，确保满足定理的条件。
第 13 页：课堂练习
练习 1：判断下列说法是否正确。
（1）两角和一边对应相等的两个三角形全等。（ ）
（2）用 ASA 判定全等时，边必须是两角的夹边。（ ）
（3）AAS 和 ASA 的判定条件完全相同。（ ）
练习 2：如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=AD，求证：△ABC≌△ADE。
练习 3：下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF
B. ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E
C. ∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F
D. ∠A=∠D，AC=DF，BC=EF
第 14 页：知识总结
“角边角”（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
区别联系：ASA 的边是夹边，AAS 的边是对边，AAS 由 ASA 推导而来。
应用要点：准确找对应角和边，根据边的位置选择合适定理，严格遵循推理格式。
第 15 页：课后作业
作业 1：如图，已知∠A=∠C，AB=CD，∠B=∠D，求证：△ABO≌△CDO。
作业 2：在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD=BE，求证：△ABD≌△BAE。
作业 3：已知△ABC 中，∠B=∠C，D、E 分别在 AB、AC 上，且∠ADE=∠AED，求证：△ABD≌△ACE。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能利用“角边角”判定两个三角形全等；（重点）
2.通过证三角形全等来证明线段相等或角相等.（难点）
3.会用“角角边” 判定定理去证明三角形全等；（重点、难点）
4.会寻找已知条件，并准确运用相关定理去解决实际问题.
探 究
如图，在△ABC和 △A′B′C′中，如果BC =B′C′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合吗？那么△ABC与△A′B′C′全等吗？
C'
A'
B'
B
A
C
一、用“ASA”判定两个三角形全等
类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合，因此△ABC ≌△A′B′C′.
在△ABC 和△ DEF中，
∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）．
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
(简写成“角边角”或“ASA”）.
“角边角”判定方法
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
A
B
C
A ′
B ′
C ′
知识要点
例3 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明： ∵ AB∥DC，
∴ ∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF （ASA）.
∠A=∠C，
AB = CD，
∠B=∠D，
变式： 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，
对应角相等，否则不能判定.
议 一 议
例3 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使D，E，B恰好在一条直线上. 于是小军说：“CD的长就是河的宽度.”你能说出这个道理吗？
A
B
E
C
D
解：
在△AEB和△CED中，
∠A =∠C = 90°，
AE = CE，
∠AEB =∠CED (对顶角相等)，
∴ △AEB≌△CED（ASA）.
∴ AB=CD (全等三角形的对应边相等).
因此，CD的长就是河的宽度.
练 习
1.如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片去，请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？
1
2
3
①中一个角确定，但是边不确定，不能保证与原来的三角形一样，
③中确定两角及夹边，即两角及其夹边相等的两个三角形全等，故应该带③去，
②中边角都不确定，不能保证与原来三角形一样，
2. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线.
求证：CF=C′F′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∠A =∠A′ ,
∠ACB =∠A′C′B′.
∴ AC=A′C′，
∴ CF=C′F′.
又∵CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，
∴ ∠ACF=∠A′C′F′.
∴ △ACF≌△A′C′F′
3.如图，已知AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E， 求证：BC=ED.
证明：∵∠1=∠2，
∴ ∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC.
在△AED和△ABC中，
∠E=∠B，
AE=AB，
∠EAD=∠BAC，
∴△AED≌△ABC(ASA)，
∴BC=ED.
∵
A
B
E
C
D
1
2
二、用“AAS” 判定两个三角形全等
动 脑 筋
如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'，那么△ABC和△A'B'C'全等吗？
根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足“ASA”的条件，从而可以证明△ABC≌△A'B'C'.
在△ABC 和 △A′B′C′ 中，
∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，
∴ ∠C =∠C′.
又∵ BC = B′C′ ，∠B=∠B′，
∴ ∠ABC ≌∠A′B′C′ (ASA).
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）.
“角角边”判定方法
几何语言：
∠A =∠A′（已知），
∠B =∠B′ （已知），
AC = A′C ′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
知识要点
例5 已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC.
证明 ∵∠1 =∠2，
∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）.
在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC （AAS）.
∠B =∠D，
∠ACB =∠ACD，
AC = AC，
例6 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC∥FD，∠A=∠D，BF=EC.
求证：△ABC≌△DEF.
证明： ∵ AC∥FD，
∴∠ACB =∠DFE.
∵ BF= EC，
∴ BF+FC=EC+FC，
即 BC=EF .
在△ABC 和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF（AAS）.
∠A =∠D，
∠ACB =∠DFE，
BC = EF，
变1 如图，点B、F、C、D在同一条直线上，AB=ED，AB∥ED，AC∥EF.
求证：△ABC≌△EDF；BF=CD.
B
F
C
D
E
A
证明:∵ AB∥ED，AC∥EF(已知)，
∴∠B=∠D，∠ACB＝∠EFD．
(两直线平行，内错角相等)
在△ABC和△EDF中，
　 ∠B＝∠D（已证），
∠ACB＝∠EFD（已证），
AB＝ED（已知），
∴ △ABC≌△EDF（AAS）
∴BC=DF，∴BF=CD.
变2 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.
求证：(1)△BDA≌△AEC；
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE，
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
证明：∵△BDA≌△AEC，
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
如图，已知△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
知识拓展
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'，∠ABD=∠A'B'D'.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=A'B'（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
全等三角形对应边上的高也相等.
1. 已知：如图，∠1=∠2，AD=AE. 求证：△ADC≌△AEB.
∴ △ADC≌△AEB（AAS）.
∠1 =∠2，
∠A =∠ A，
AD = AE，
证明
∵ 在△ADC 和△AEB中，
练 习
2. 已知：在△ABC中，∠ABC =∠ACB， BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.
求证：BD=CE.
证明： ∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∵ 在△CDB和△BEC中，
∠ACB=∠ABC，
BC = BC ，
∴ △CDB≌△BEC（AAS）.
∠CDB=∠BEC =90°，
∴ BD = CE.
∴ ∠CDB=∠BEC =90°.
3.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2， 求证：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
1. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现
在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是
( )
A
（第1题）
A. 带①④去 B. 带②③去
C. 带③④去 D. 带②④去
返回
（第2题）
2. ［2025邵阳模拟］如图，在
和中，点，， 在同一直线上，
已知， ，添加以下
条件后，仍不能判定 的
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3. ［2025衡阳月考］如图，在 中，
，，于点 ，
于点，， ，则
( )
A
A. B.
C. D.
（第3题）
【点拨】因为， ,所以
.因为 ,
，所以 ，
.所以 .
在和中，
所以（角角边）.所以 ，
.所以 .
返回
4.如图，已知，由尺规作图痕迹可知 ，
全等的理由为________.
角边角
（第4题）
返回
5.如图，点，，，在同一条直线上， ，
，.若 ， ，则
的度数为 _____ .
110
（第5题）
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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