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4.4.2 已知两边与夹角或两角与夹边作三角形教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.4.2 已知两边与夹角或两角与夹边作三角形
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了尺规作图的基本方法，包括作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角以及作已知角的平分线，这些基本作图是复杂作图的基础。
问题提出：在实际几何问题中，我们常常需要根据给定的条件作出三角形。如果已知三角形的两边及其夹角，或者两角及其夹边，如何用尺规准确作出这个三角形呢？这就是我们今天要学习的内容。
学习意义：掌握已知两边与夹角、两角与夹边作三角形的方法，能进一步提升我们的尺规作图能力，加深对三角形全等判定定理的理解和应用。
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握 “已知两边及其夹角作三角形” 的尺规作图方法；掌握 “已知两角及其夹边作三角形” 的尺规作图方法；理解两种作图方法的依据和原理。
能力目标：通过动手操作，提高规范作图的能力和空间想象能力；能运用所学作图方法解决相关几何问题，培养逻辑推理能力。
情感目标：在作图过程中感受几何的严谨性和逻辑性，体会数学知识的实用性，激发对几何学习的兴趣和探究热情。
第 4 页：知识点 1—— 已知两边及其夹角作三角形
已知：线段\(a\)、\(b\)和\(\angle \alpha\)（给出线段\(a\)、\(b\)和\(\angle \alpha\)的图形）。
求作：\(\triangle ABC\)，使\(AB = a\)，\(\angle BAC=\angle \alpha\)，\(AC = b\)。
作图步骤：
作射线\(AD\)（确定三角形的一个顶点和一条边的方向）。
用圆规在射线\(AD\)上截取\(AB = a\)（确定边\(AB\)）。
以点\(A\)为顶点，以\(AD\)为一边，利用作一个角等于已知角的方法，作\(\angle DAE=\angle \alpha\)（确定角\(\angle BAC\)）。
在射线\(AE\)上，用圆规截取\(AC = b\)（确定边\(AC\)）。
连接\(BC\)（完成三角形的作图）。
\(\triangle ABC\)即为所求作的三角形。
图形演示：分步展示作图过程，标注关键点\(A\)、\(B\)、\(C\)的位置和线段、角的对应关系。
第 5 页：例题 1—— 已知两边及其夹角作三角形
例 1：已知线段\(m = 3cm\)，\(n = 4cm\)，\(\angle \beta=60^{\circ}\)，求作\(\triangle DEF\)，使\(DE = m\)，\(\angle EDF=\angle \beta\)，\(DF = n\)。
解析：
已知：线段\(m = 3cm\)，\(n = 4cm\)，\(\angle \beta=60^{\circ}\)。
求作：\(\triangle DEF\)，其中\(DE = 3cm\)，\(\angle EDF=60^{\circ}\)，\(DF = 4cm\)。
作法：
作射线\(DG\)。
在射线\(DG\)上截取\(DE = 3cm\)。
以点\(D\)为顶点，以\(DG\)为一边，作\(\angle GDH=60^{\circ}\)。
在射线\(DH\)上截取\(DF = 4cm\)。
连接\(EF\)，\(\triangle DEF\)即为所求作的三角形。
依据说明：作图依据是全等三角形的 “边角边”（SAS）判定定理，通过确定两边及其夹角，唯一确定三角形的形状和大小。
第 6 页：知识点 2—— 已知两边及其夹角作图的依据
原理分析：已知两边及其夹角作三角形时，由于两边的长度和夹角的大小是确定的，根据全等三角形的 “边角边”（SAS）判定定理，这样的三角形是唯一确定的，因此按照上述步骤作出的三角形是符合条件的唯一三角形。
验证方法：可以通过测量作出的三角形的第三边长度和另外两个角的度数，与根据已知条件计算出的结果进行对比，验证作图的准确性。也可以用叠合法，将作出的三角形与按照相同条件作出的另一个三角形重叠，观察是否完全重合。
第 7 页：知识点 3—— 已知两角及其夹边作三角形
已知：\(\angle \alpha\)、\(\angle \beta\)和线段\(a\)（给出\(\angle \alpha\)、\(\angle \beta\)和线段\(a\)的图形）。
求作：\(\triangle ABC\)，使\(\angle A=\angle \alpha\)，\(AB = a\)，\(\angle B=\angle \beta\)。
作图步骤：
作线段\(AB = a\)（确定三角形的夹边\(AB\)）。
以点\(A\)为顶点，以\(AB\)为一边，利用作一个角等于已知角的方法，作\(\angle BAD=\angle \alpha\)（确定角\(\angle A\)）。
以点\(B\)为顶点，以\(BA\)为一边，同样利用作等角的方法，作\(\angle ABE=\angle \beta\)（确定角\(\angle B\)），射线\(AD\)和\(BE\)相交于点\(C\)。
\(\triangle ABC\)即为所求作的三角形。
图形演示：分步展示作图过程，标注射线的交点\(C\)和各角、边的对应关系。
第 8 页：例题 2—— 已知两角及其夹边作三角形
例 2：已知\(\angle \gamma=30^{\circ}\)，\(\angle \delta=60^{\circ}\)，线段\(c = 5cm\)，求作\(\triangle MNP\)，使\(\angle M=\angle \gamma\)，\(MN = c\)，\(\angle N=\angle \delta\)。
解析：
已知：\(\angle \gamma=30^{\circ}\)，\(\angle \delta=60^{\circ}\)，线段\(c = 5cm\)。
求作：\(\triangle MNP\)，其中\(\angle M=30^{\circ}\)，\(MN = 5cm\)，\(\angle N=60^{\circ}\)。
作法：
作线段\(MN = 5cm\)。
以点\(M\)为顶点，以\(MN\)为一边，作\(\angle NMQ=30^{\circ}\)。
以点\(N\)为顶点，以\(NM\)为一边，作\(\angle MNR=60^{\circ}\)，射线\(MQ\)和\(NR\)相交于点\(P\)。
\(\triangle MNP\)即为所求作的三角形。
依据说明：作图依据是全等三角形的 “角边角”（ASA）判定定理，通过确定两角及其夹边，唯一确定三角形的形状和大小。
第 9 页：知识点 4—— 已知两角及其夹边作图的依据
原理分析：已知两角及其夹边作三角形时，因为两角的大小和夹边的长度是确定的，根据三角形内角和定理，第三个角的大小也随之确定，再结合全等三角形的 “角边角”（ASA）判定定理，这样的三角形是唯一确定的，所以按照上述步骤作出的三角形符合条件。
验证方法：测量作出的三角形的另外两条边的长度和第三个角的度数，与根据已知条件计算出的结果对比；或者将作出的三角形与相同条件下的另一个三角形叠合，观察是否完全重合。
第 10 页：知识点 5—— 两种作图方法的对比
作图类型
已知条件
关键步骤
作图依据
已知两边及其夹角
两边长度、夹角大小
作一边→作夹角→作另一边→连接第三边
SAS 全等判定定理
已知两角及其夹边
两角大小、夹边长度
作夹边→分别作两角→两射线交点为第三顶点
ASA 全等判定定理
相同点：两种作图方法都能唯一确定三角形的形状和大小，作图过程都依赖于基本尺规作图（作等长线段、作等角）。
不同点：已知条件不同，关键步骤中确定元素的顺序不同，依据的全等判定定理不同。
第 11 页：例题 3—— 综合应用作图方法解决问题
例 3：已知线段\(a\)，求作一个等腰直角三角形，使它的一条直角边等于线段\(a\)。
解析：
已知：线段\(a\)。
求作：等腰直角三角形\(\triangle ABC\)，使\(\angle C=90^{\circ}\)，\(AC = BC = a\)。
作法：
作射线\(CD\)。
在射线\(CD\)上截取\(AC = a\)。
以点\(C\)为顶点，以\(CD\)为一边，作\(\angle DCE=90^{\circ}\)。
在射线\(CE\)上截取\(BC = a\)。
连接\(AB\)，\(\triangle ABC\)即为所求作的等腰直角三角形。
分析：本题可看作已知两边（直角边\(AC = BC = a\)）及其夹角（直角\(\angle C=90^{\circ}\)）作三角形，应用 “已知两边及其夹角作三角形” 的方法完成作图。
第 12 页：课堂练习
练习 1：已知线段\(x = 2cm\)，\(y = 3cm\)，\(\angle \theta=45^{\circ}\)，求作\(\triangle ABC\)，使\(AB = x\)，\(\angle BAC=\angle \theta\)，\(AC = y\)。
练习 2：已知\(\angle 1=50^{\circ}\)，\(\angle 2=70^{\circ}\)，线段\(m = 4cm\)，求作\(\triangle DEF\)，使\(\angle D=\angle 1\)，\(DE = m\)，\(\angle E=\angle 2\)。
练习 3：已知一个角和这个角的两边，能否用尺规作出这个角所对的三角形？说明理由。
第 13 页：知识总结
已知两边及其夹角作三角形：按 “作一边→作夹角→作另一边→连接第三边” 的步骤进行，依据 SAS 定理。
已知两角及其夹边作三角形：按 “作夹边→作两角→定第三顶点” 的步骤进行，依据 ASA 定理。
作图关键：准确运用基本尺规作图方法（作等长线段、作等角），规范操作每一步骤，确保图形准确。
原理核心：两种作图方法均基于全等三角形的判定定理，保证作出的三角形唯一且符合条件。
第 14 页：课后作业
作业 1：已知线段\(a = 3cm\)，\(b = 5cm\)，\(\angle \alpha=90^{\circ}\)，求作\(\triangle ABC\)，使\(AB = a\)，\(\angle ABC=\angle \alpha\)，\(BC = b\)。
作业 2：已知\(\angle A=60^{\circ}\)，\(\angle B=60^{\circ}\)，线段\(AB = 4cm\)，求作\(\triangle ABC\)，并判断它是什么三角形。
作业 3：尝试用尺规作图法作一个三角形，使它的两边长分别为\(3cm\)和\(4cm\)，夹角为\(120^{\circ}\)，并测量第三边的长度。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.2已知两边与夹角或两角与夹边作三角形
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握用尺规作一个角等于已知角（基础作图）；
2. 能用尺规作出已知两边夹角、两角夹边的三角形；
3. 体会、思考作图的依据和合理性，能说出作图步骤；
4. 学会交流作图方法和经验，取长补短，增强合作意识.
上节课用尺规作图：已知三边作三角形、已知底边及底边上的高作等腰三角形、作一个角的平分线，其中用到了哪些基础作图的方法？
作一条线段等于已知线段
作一条线段的垂直平分线
你能说出这两种基础作图的作图步骤吗？
已知两边夹角、两角夹边、两角及其中一角的对边作三角形，除了要作出三角形的边，还要作出三角形的角，怎样用尺规作出这些三角形呢？
如何作一个角等于已知角？
因为全等三角形的对应角相等，所以作一个角等于已知角，就要作出两个三角形全等.
如图，已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB.
作一个角等于已知角
B
O
A
①作射线O′A′；
②以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA，OB于点C，D；
③以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′ 于点C′；
作 法：
④以C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
⑤过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′为所求作的角.
B
O
A
D
C
B′
O′
A′
D′
C′
B
O
A
D
C
B′
O′
A′
D′
C′
运用所学知识，请说一说：为什么∠A′O′B′为所求作的角.
B
O
A
D
C
B′
O′
A′
D′
C′
B
O
A
D
C
B′
O′
A′
D′
C′
由作法可知，O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，
∴ △COD≌△C′O′D′，从而∠AOB=∠A′O′B′.
如图，已知∠α和线段a， c.求作△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=c.
已知两边及其夹角作三角形
α
c
a
作 法 图 示
①作∠MBN=∠α；
②在射线BM，BN上分别取BC=a, BA=c； ③连接AC，则△ABC为所求作的三角形.
N
M
B
C
A
α
c
a
已知∠α，∠β和线段a.
求作△ABC，使∠ABC=∠α， ∠ACB=∠β， BC=a.
已知两边及其夹角作三角形
α
β
a
作 法 图 示
①作线段BC=a；
②在BC的同旁，作∠DBC=∠α， ∠EBC=∠β ，BD与CE相交于点 A，则△ABC为所作的三角形.
α
β
a
B
C
D
E
A
1. 如图，作∠A′O′B′等于∠A′O′B′，其中一步以为C′圆心画弧，其半径长应截取线段 的长。
CD
B
O
A
D
C
B′
O′
A′
D′
C′
1. ［2025永州期末］如图①，已知线
段，，求作，使 ，
，张丽的作法如图
②，则下列说法中一定正确的是( )
A
A. 作 的依据为“角边角”
B. 弧是以 的长为半径画的
C. 弧是以点为圆心， 的长为半径画的
D. 弧是以 的长为半径画的
返回
2. 数学课上，李老师给出这样一道题：
如图①，已知直线及外一点 ，作直线
某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图.如图②，过
点作直线交直线于点，作 .作法步骤如下：
①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点 ，交
直线于点 ；
，使得，且经过点 （不写作法，保留作图痕迹）.
②以点为圆心，以 长为半径作弧，交于点 ；
③以点为圆心，以 长为半径作弧，
交前面的弧于点 ；
④过点，作直线，则直线 即为所求.
则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
B
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3.如图所示的是 .
（1）过点作直线，使得 （用尺规作图，保留作
图痕迹，不写作法）；
【解】如图，直线 即为所求.
（2）在（1）的图形中，取的中点，连接.若 的
面积为4,，则直线与 间的距离为___.
【点拨】如图,因为为的中点， 的面积为4,所以
.设直线与间的距离为 ，则
.因为，所以 .
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4.［2025三明期末］如果两点到一条直线的距离相等，则称
该直线为“两点的等距线”.
（1）已知线段及点，如图①.过点作点， 的一条等
距线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
【解】如图所示，等距线, 即为所求.若等距线经过线
段 的中点，如图①.
若等距线 ，如图②.
（2）如图②，已知，，， 是正方形网格中的三个
格点.
①在该网格中，过点用无刻度的直尺画出点， 的所有等
距线.
如图③，等距线， 即为所求.
②在该网格中，是否存在异于点的格点，使得 与
的面积相等？若存在，在图③中依次用，， ，
标识这些格点；若不存在，请说明理由.
如图④，，，，， 为所求.
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1.在2.6节我们用到的基本作图有哪些？
作一条线段等于已知线段。
作已知线段的垂直平分线。
作已一个角等于已知角。
2.你能说出作一个角等于已知角、已知两边夹角、两角夹边作三角形的作图步骤吗？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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