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4.5 等腰三角形 - 等腰三角形的性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.5 等腰三角形 —— 等腰三角形的性质
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：情境引入
生活中的等腰三角形：展示生活中具有等腰三角形形状的物体图片，如等腰三角尺、屋顶的等腰三角形结构、等腰三角形风筝等，引导学生观察这些图形的共同特征。
图形特征分析：这些图形都有两条边长度相等，通过测量发现它们的两个底角也相等，这就是等腰三角形的特殊性质。
引入课题：今天我们就来深入学习等腰三角形的定义和性质，探索等腰三角形的边、角以及特殊线段之间的关系。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解等腰三角形的定义；掌握等腰三角形的性质，包括 “等边对等角” 和 “三线合一”；能运用等腰三角形的性质解决简单的几何证明和计算问题。
能力目标：通过动手操作、观察和推理，培养探究能力和逻辑推理能力；能运用性质解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
情感目标：在探究等腰三角形性质的过程中，感受几何图形的对称美和严谨性，激发对几何学习的兴趣和求知欲。
第 4 页：知识点 1—— 等腰三角形的定义
定义解析：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
图形标注：在等腰三角形图形中，标注腰、底边、顶角和底角。例如，在△ABC 中，AB=AC，则 AB、AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B、∠C 是底角。
特殊情况：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形，它是特殊的等腰三角形（腰和底边都相等）。
第 5 页：知识点 2—— 等腰三角形的性质 1：等边对等角
性质表述：等腰三角形的两底角相等（简写成 “等边对等角”）。
几何语言：如图，在△ABC 中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。
推理证明：
已知：在△ABC 中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
证明：作△ABC 的顶角平分线 AD，交 BC 于点 D。则∠BAD=∠CAD。在△ABD 和△ACD 中，AB=AC（已知），∠BAD=∠CAD（已作），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
图形演示：展示作顶角平分线辅助线的过程，标注全等三角形的对应元素。
第 6 页：例题 1—— 应用 “等边对等角” 求角度
例 1：在△ABC 中，AB=AC，∠A=80°，求∠B 和∠C 的度数。
解析：∵AB=AC（已知），∴△ABC 是等腰三角形，∠B=∠C（等边对等角）。∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=80°，∴∠B+∠C=100°。又∵∠B=∠C，∴∠B=∠C=50°。
例 2：在等腰三角形 DEF 中，DE=DF，∠D=100°，求∠E 和∠F 的度数。
解析：∵DE=DF，∴∠E=∠F。∵∠D+∠E+∠F=180°，∠D=100°，∴∠E+∠F=80°，∴∠E=∠F=40°。
第 7 页：知识点 3—— 等腰三角形的性质 2：三线合一
性质表述：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成 “三线合一”）。
几何语言：如图，在△ABC 中，AB=AC，
若 AD 是顶角平分线，则 AD⊥BC，BD=CD；
若 AD 是底边上的中线，则 AD⊥BC，∠BAD=∠CAD；
若 AD 是底边上的高，则 AD 平分∠BAC，BD=CD。
推理证明：以 “若 AD 是顶角平分线，则 AD⊥BC，BD=CD” 为例。∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD（对应边相等），∠ADB=∠ADC（对应角相等）。又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC。
图形演示：分别展示顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合的三种情况。
第 8 页：例题 2—— 应用 “三线合一” 解决问题
例 3：在△ABC 中，AB=AC，AD 是底边 BC 上的中线，若 BC=6cm，求 BD 的长度，以及 AD 与 BC 的位置关系。
解析：∵AB=AC，AD 是底边 BC 上的中线（已知），∴由 “三线合一” 可知，BD=CD=BC÷2=6÷2=3cm，且 AD⊥BC。
例 4：在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，AD 是顶角平分线，求∠BAD 和∠ADB 的度数。
解析：∵AD 是顶角平分线，∴∠BAD=∠BAC÷2=100°÷2=50°。由 “三线合一” 可知 AD⊥BC，∴∠ADB=90°。
第 9 页：知识点 4—— 等腰三角形的对称性
对称性说明：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在的直线、底边上的高所在的直线）。
对称特征：对称轴两侧的部分能够完全重合，即等腰三角形的两个底角关于对称轴对称，两腰关于对称轴对称。
图形演示：通过折叠等腰三角形的动画，展示对称轴两侧部分重合的过程，直观体现其对称性。
第 10 页：例题 3—— 综合应用等腰三角形的性质
例 5：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求△ABC 各角的度数。
解析：设∠A=x。∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x（等边对等角）。∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x（三角形外角性质）。∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x（等边对等角）。∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x（等边对等角）。∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°，解得 x=36°。∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。
第 11 页：知识点 5—— 等边三角形的性质
性质表述：等边三角形的三边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于 60°；等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（每一条边上的中线、高和所对角的平分线都互相重合）。
推理依据：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此具备等腰三角形的所有性质，同时由于三边相等，三个角也相等，结合三角形内角和定理可推出每个角都是 60°。
图形演示：在等边三角形图形中标注各边相等、各角为 60°，展示 “三线合一” 的特征。
第 12 页：课堂练习
练习 1：在等腰三角形 ABC 中，AB=BC，∠B=50°，求∠A 和∠C 的度数。
练习 2：在△ABC 中，AB=AC，AD 是底边 BC 上的高，若∠B=65°，求∠BAD 的度数。
练习 3：如图，在等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求∠BAD 的度数和 AD 与 BC 的位置关系。
第 13 页：知识总结
等腰三角形定义：有两边相等的三角形，相等的边为腰，另一边为底边，两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。
核心性质：
等边对等角：等腰三角形的两底角相等。
三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
对称性：是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线。
等边三角形性质：三边相等，三角都是 60°，具备等腰三角形的所有性质。
第 14 页：课后作业
作业 1：在△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，点 D 是 BC 的中点，求∠ADB 和∠BAD 的度数。
作业 2：等腰三角形的一个底角是 70°，求它的顶角的度数。
作业 3：如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6cm，求 BC 边上的高的长度（提示：可利用勾股定理）。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.5 等腰三角形-等腰三角形的性质
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解、掌握等腰（边）三角形的性质；
2. 能利用等腰（边）三角形的性质解答问题；
3. 进一步掌握证明的一般步骤和方法；
4. 经历探索、发现、证明的过程，发展逻辑推理能力；
5. 感受数学来源于生活，又能解决现实中的问题。
我们已经学习了 三角形的哪些性质？
1.三角形的任意两边长度的和大于第三边；
2.三角形的内角和等于180°；
3.三角形的外角和等于360°；
4.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些性质呢？
什么叫作轴对称图形？
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形。
那么，等腰三角形是轴对称图形吗？
如图，任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC.作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，你发现了什么？
发现了沿顶角平分线AD所在直线作轴反射，直线AD两侧的部分能够完全重合。所以△ABC是轴对称图形。
A
B
C
D
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC，射线AC的像是线段 ；
点B的像是点C，点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线 对称.
AB
AB
B
AD
A
B
C
D
我们可以这样推理：由于∠1=∠2，AB=AC，因此，
由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段 ，从而AD是底边BC上的 .
由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线 ，因此∠BDA ∠CDA=
°，从而AD是底边BC上的 .
DC
DA
高
=
90
中线
A
B
C
D
继续探究，我们还会推导出什么？
即 等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线和高.
由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线 ，因此∠B ∠C .
CB
=
A
B
C
D
即 等腰三角形的两底角相等。
归纳起来，得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
探究：如图，△ABC是等边三角形，那么∠A、∠B、∠C的大小之间有什么关系？
A
B
C
等边三角形有什么性质呢？
A
B
C
如图，因为△ABC是等边三角形，
所以 AB=BC=AC，
从而 ∠C=∠A=∠B.
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C=60°.
由此得到等边三角形的如下性质：
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°
等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线(如图).
A
B
C
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.
A
B
C
E
D
F
分析：AB=AC，AD=AE的意思就是△ABC，△ABC是等腰三角形。如果作AF⊥BC，那么根据等腰三角形的性质，就可证明BD=CE。
证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.
∴ BF=CF，
∴ BF－DF=CF－EF,
即 BD=CE.
DF=EF，
如图所示的三角测平架中，AB=AC，
在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂。
调整架身，使点A恰好在铅垂线上.
(1)AD与BC是否垂直，试说明理由；
(2)这时BC处于水平位置，为什么？
议一议
A
B
C
D
解： (1)垂直.因为AB=AC，点D是BC的中点，当点A恰好在铅垂线上时，则AD是等腰△ABC底边BC上的中线，因此也是底边BC上的高。
(2)因为铅垂线AD始终垂直地平面，而AD又垂直BC，垂直于同一直线的两直线平行，所以BC此时处于水平位置
A
B
C
D
1. 等腰三角形的两边长分别为5cm，11cm，它的周长
是（ ）
A. 21cm B. 22cm
C. 27cm D. 21cm或27cm
C
解析：如果6cm的边是腰，则5+5＜12，不符合三角形的三边关系，不能构成三角形；如果11cm的边是腰，则11+11＞5，可构成三角形。因此，这个等腰三角形的周长为11+11+5=25cm。故选C.
1. 在中，已知 ，若
是等腰三角形，则 为( )
D
A. B.
C. 或 D. 或 或
【点拨】分三种情况：当 是等腰三角形的顶角时，
；当， 是等腰三角形的底角
时， ；当， 是等腰三角
形的底角时， .综上所述,的度数是 或
或 .
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2. 如图，在中，， ， ，
则 ( )
B
（第2题）
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3. “一亭幽绝费平章，峡
口清风赠晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶
染丹黄.饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳.
此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔？”其中
“一亭”指的是一座具有悠久历史的古典园林建筑——“爱晚
亭”.如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形 ，
，是边上的一点.下列条件不能说明 是
的角平分线的是( )
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
（第3题）
√
（第3题）
【点拨】A.因为,所以 是
的角平分线，故A选项不符合题意；B.因
为是等腰三角形,， ,所
以是 的角平分线，故B选项不符合题
意；C.若，不能说明是 的角平分线，故C
选项符合题意；D.因为与 的周长相等，
，,所以.因为 是等腰三角形，
所以是 的角平分线，故D选项不符合题意.
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4. 某平板电脑支架如图所示，其中
，使用时为了舒适，可调整的大小.若 增
大 ，则 的变化情况是( )
D
A. 增大 B. 减小
C. 增大 D. 减小
5. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的
比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形 的
两边长分别是3和9，则它的“优美比” 为 __.
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等边三角形有哪些性质？
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
具有等腰三角形的所有性质.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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