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4.5.2 等腰三角形 —— 等腰三角形的判定教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.5.2 等腰三角形 —— 等腰三角形的判定
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了等腰三角形的性质，知道等腰三角形的两底角相等（等边对等角），且顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
问题提出：反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是不是等腰三角形呢？这就是我们今天要探究的等腰三角形的判定方法。
学习意义：掌握等腰三角形的判定定理，能帮助我们准确判断一个三角形是否为等腰三角形，为解决更复杂的几何问题提供依据，同时深化对等腰三角形性质与判定关系的理解。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解等腰三角形的判定定理（等角对等边）；能运用判定定理判断一个三角形是否为等腰三角形；掌握等边三角形的判定方法。
能力目标：通过探究和推理，培养逻辑思维能力和几何证明能力；能运用判定定理解决几何证明和计算问题，提高分析问题的能力。
情感目标：在探究判定定理的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，体会 “性质” 与 “判定” 的辩证关系，激发对几何学习的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 等腰三角形的判定定理：等角对等边
定理表述：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”）。
几何语言：如图，在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（△ABC 是等腰三角形，AB、AC 为腰）。
推理证明：
已知：在△ABC 中，∠B=∠C。
求证：AB=AC。
证明：作△ABC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D。则∠BAD=∠CAD。在△ABD 和△ACD 中，∠B=∠C（已知），∠BAD=∠CAD（已作），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。
图形演示：展示作角平分线辅助线的过程，标注全等三角形的对应元素，直观呈现推理过程。
第 5 页：例题 1—— 应用 “等角对等边” 判断等腰三角形
例 1：在△ABC 中，∠A=40°，∠B=70°，判断△ABC 是不是等腰三角形，并说明理由。
解析：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=40°，∠B=70°，∴∠C=180°-40°-70°=70°。∴∠B=∠C=70°（等量关系）。∴AB=AC（等角对等边），即△ABC 是等腰三角形。
例 2：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC 是等腰三角形。
解析：∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），∴∠ABC=∠1+∠3，∠ACB=∠2+∠4（角的和差）。∴∠ABC=∠ACB（等量代换）。∴AB=AC（等角对等边），即△ABC 是等腰三角形。
第 6 页：知识点 2—— 等腰三角形判定与性质的区别与联系
区别：
性质：已知三角形是等腰三角形（两边相等），推出两底角相等（等边对等角）。
判定：已知三角形有两个角相等，推出两边相等（等角对等边），进而判断是等腰三角形。
简单说：性质是 “由边等得角等”，判定是 “由角等得边等”。
联系：
两者都建立在等腰三角形的边和角的关系上，是互逆的关系。
都可通过全等三角形的判定进行推理证明，逻辑上相互支撑。
表格对比：
名称
条件
结论
核心关系
等腰三角形性质
两边相等（AB=AC）
两角相等（∠B=∠C）
等边对等角
等腰三角形判定
两角相等（∠B=∠C）
两边相等（AB=AC）
等角对等边
第 7 页：例题 2—— 综合应用判定与性质解决问题
例 3：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且∠ADE=∠AED。求证：DB=EC。
解析：∵∠ADE=∠AED（已知），∴AD=AE（等角对等边）。∵AB=AC（已知），∴AB-AD=AC-AE（等式性质），即 DB=EC。
例 4：如图，在△ABC 中，∠B=∠C，点 D 是 BC 的中点，求证：AD 平分∠BAC。
解析：∵∠B=∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边），即△ABC 是等腰三角形。∵点 D 是 BC 的中点，∴AD 是底边上的中线。∴AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
第 8 页：知识点 3—— 等边三角形的判定方法
判定方法 1：三边都相等的三角形是等边三角形。
判定方法 2：三个角都相等的三角形是等边三角形（推理：∵∠A=∠B=∠C，∴AB=BC=AC（等角对等边））。
判定方法 3：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形（分两种情况：顶角为 60° 或底角为 60°，结合等腰三角形性质可推出三边相等）。
几何语言：
若 AB=BC=AC，则△ABC 是等边三角形。
若∠A=∠B=∠C，则△ABC 是等边三角形。
若 AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°），则△ABC 是等边三角形。
图形演示：分别展示三种判定方法对应的等边三角形图形，标注边或角的条件。
第 9 页：例题 3—— 应用等边三角形的判定方法
例 5：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C，AB=5cm，求 BC 和 AC 的长度。
解析：∵∠A=∠B=∠C（已知），∴△ABC 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。∴BC=AC=AB=5cm（等边三角形三边相等）。
例 6：在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，∠B=60°，周长为 18cm，求各边的长度。
解析：∵AB=AC，∠B=60°（已知），∴△ABC 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）。设 AB=AC=BC=x，则 3x=18，解得 x=6。∴AB=AC=BC=6cm。
第 10 页：知识点 4—— 等腰三角形判定的实际应用
测量问题：如图，要测量池塘两岸相对的两点 A、B 的距离，可在池塘外取一点 C，连接 AC、BC，分别取 AC、BC 的中点 D、E，测得 DE 的长度，就能得到 AB 的长度。若测得∠CDE=∠CED，求证：AB=2DE。
解析：∵∠CDE=∠CED（已知），∴CD=CE（等角对等边）。∵D、E 分别是 AC、BC 的中点，∴AC=2CD，BC=2CE（中点定义），∴AC=BC（等量代换）。△ABC 是等腰三角形，可通过后续学习的中位线定理进一步推出 AB=2DE。
设计问题：用尺规作图设计一个等腰三角形零件，要求一个底角为 50°，底边长度为 4cm，说明作图依据（利用 “等角对等边” 判定定理）。
第 11 页：例题 4—— 复杂图形中应用等腰三角形判定
例 7：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE∥AC 交 AB 于点 E，求证：△ADE 是等腰三角形。
解析：∵AD 平分∠BAC（已知），∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）。∵DE∥AC（已知），∴∠ADE=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。∴∠BAD=∠ADE（等量代换）。∴AE=DE（等角对等边），即△ADE 是等腰三角形。
第 12 页：课堂练习
练习 1：在△ABC 中，∠A=50°，∠B=50°，判断△ABC 的形状，并说明理由。
练习 2：如图，∠A=∠B，CE∥DA 交 AB 于点 E，求证：CE=CB。
练习 3：下列条件中，能判定△ABC 是等边三角形的是（ ）
A. AB=AC，∠B=60°
B. ∠A=∠B，AB=BC
C. ∠A=60°，∠B=50°
D. AB=AC，∠A=50°
第 13 页：知识总结
等腰三角形判定定理：等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形）。
与性质的关系：性质是 “等边对等角”，判定是 “等角对等边”，二者互逆。
等边三角形判定：三边相等；三角相等；等腰三角形且有一个角为 60°。
应用要点：准确识别等角关系，结合三角形内角和定理、平行线性质等推导角相等，进而判断边相等。
第 14 页：课后作业
作业 1：在△ABC 中，∠C=80°，∠A=40°，求证：△ABC 是等腰三角形。
作业 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，求证：AD=BD。
作业 3：已知△ABC 中，∠A=∠B=60°，BC=3cm，求△ABC 的周长。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.5.2等腰三角形-等腰三角形的判定
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解并记住等腰三角形、等边三角形的判定定理；
2. 能运用定理判断一个三角形是等腰（等边）三角形；
3. 在探索、证明的过程中锤炼严谨的思维习惯；
4. 经历证明的困难，体验成功，增强自信。
等腰三角形的性质定理有哪些？
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
记忆关键词：轴对称图形、三线合一、等边对等角
等边三角形除具有等腰三角形的性质外，还有哪些性质？
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
等边三角形有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
你能说出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题吗？
这个逆命题是真命题吗？如何判定一个三角形是等腰三角形？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，
那么AB与AC之间有什么关系？
A
B
C
探究
我们仍然用轴反射的方法进行证明：
如图，在△ABC中，∠B=∠C，沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2，又∠B=∠C，由三角形内角和定理得∠ADB=∠ADC.
沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC， ∠1=∠ 2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而，点B与点C重合，于是AB=AC.
A
B
C
由此得到等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形
(简称“等角对等边”).
如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=60°，△ABC
是等边三角形吗？
A
B
C
探究
证明：∵ ∠B=60°=∠C，
∴ AC=AB.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠A=180°－∠B－∠C=60°。
∴ ∠A=∠B，
∴ BC=AC.
从而 AB=AC=BC，∴ △ABC是等边三角形.
A
B
C
由此可得到等边三角形的判定定理：
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证： △ADE为等腰三角形.
A
B
C
D
E
思路：根据条件和图形，
由AB=AC推出 ，
由DE∥BC推出 ，
进一步可以推出 ，
从而得出△ADE为等腰三角形.
∠B=∠C
∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∠ADE=∠AED
A
B
C
D
E
证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠AED.
于是 △ADE为等腰三角形.
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
A
B
C
分析：如图，△ABC是等腰三角形，就是△ABC中有两边相等，如AB=AC。而有一个角是60°，则可以是顶角或底角等于60°，因此需分两种情况证明。要证△ABC是等边三角形，就要先证它的三个内角都是60°.
A
B
C
证明：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°.
如果顶角∠A =60°，则∠B+∠C=180°－60°=120°，
∴ ∠ B=∠C.
又∵ AB=AC，
∴ ∠ B=∠C= ∠A=60°.
∴ △ABC是等边三角形.
如果底角∠B=60°(或∠C=60°)，同样可以证明△ABC是等边三角形。请同学们自己完成证明。
A
B
C
根据上面推导，得到等边三角形的另一条判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例2 已知：△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证： △ADE是等边三角形
A
B
C
D
E
思路： 由△ABC是等边三角形推出∠BAC=60°，进而推出∠DAE=60°.
然后结合 即可得出△ADE是等边三角形。
AD=AE
证明：∵ △ABC是等边三角形，
A
B
C
D
E
∴ ∠BAC=∠B=∠C=60°.
∵ ∠EAD=∠BAC=60°,
又 AD=AE,
∴ △ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)。
1. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=8，则AC的长（ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
C
解析：根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，∠B的对边AC等于∠C的对边AB，即AC=AB=8。故选C。
1.等腰三角形的判定定理是什么？
有两个角相等的三角形是等腰三角形
(简称“等角对等边”).
等边三角形的判定定理有哪些？
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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