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4.6.1 线段垂直平分线的性质和判定教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.6.1 线段垂直平分线的性质和判定
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：前面我们学习了等腰三角形的性质和判定，知道等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在的直线，也是底边的垂直平分线。那么，线段的垂直平分线具有怎样的特殊性质呢？
概念回顾：如果一条直线既垂直于一条线段，又经过这条线段的中点，那么这条直线叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。
引入课题：今天我们就来深入探究线段垂直平分线的性质和判定方法，了解它在几何中的重要应用。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解线段垂直平分线的定义；掌握线段垂直平分线的性质定理（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）；掌握线段垂直平分线的判定定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。
能力目标：通过动手操作和推理证明，培养逻辑思维能力和几何证明能力；能运用线段垂直平分线的性质和判定解决简单的几何问题。
情感目标：在探究线段垂直平分线性质和判定的过程中，感受几何图形的对称性和严谨性，激发对几何学习的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 线段垂直平分线的定义
定义解析：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
图形标注：如图，直线\(l\)经过线段\(AB\)的中点\(O\)，且\(l\perp AB\)，则直线\(l\)是线段\(AB\)的垂直平分线，可记作 “直线\(l\)垂直平分线段\(AB\)”。
对称性：线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的对称轴，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离具有特殊关系。
第 5 页：知识点 2—— 线段垂直平分线的性质定理
性质表述：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
几何语言：如图，∵直线\(l\)垂直平分线段\(AB\)，点\(P\)在直线\(l\)上，∴\(PA = PB\)。
推理证明：
已知：直线\(l\)垂直平分线段\(AB\)，垂足为\(O\)，点\(P\)在直线\(l\)上。
求证：\(PA = PB\)。
证明：∵直线\(l\)垂直平分线段\(AB\)，∴\(AO = BO\)，\(\angle POA=\angle POB = 90^{\circ}\)。在\(\triangle POA\)和\(\triangle POB\)中，\(AO = BO\)，\(\angle POA=\angle POB\)，\(PO = PO\)，∴\(\triangle POA\cong\triangle POB\)（SAS），∴\(PA = PB\)（全等三角形的对应边相等）。
图形演示：展示线段垂直平分线和其上一点到两端点的距离，标注全等三角形的对应元素。
第 6 页：例题 1—— 应用线段垂直平分线的性质
例 1：如图，直线\(MN\)是线段\(AB\)的垂直平分线，点\(C\)在\(MN\)上，且\(AC = 5cm\)，求\(BC\)的长度。
解析：∵直线\(MN\)是线段\(AB\)的垂直平分线（已知），点\(C\)在\(MN\)上，∴由线段垂直平分线的性质定理可知，\(BC = AC\)（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。∵\(AC = 5cm\)，∴\(BC = 5cm\)。
例 2：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，\(BC\)的垂直平分线交\(AB\)于点\(D\)，交\(BC\)于点\(E\)，求证：\(AD = CD\)。
解析：∵\(DE\)是\(BC\)的垂直平分线（已知），∴\(DB = DC\)（线段垂直平分线的性质）。∵\(AB = AC\)（已知），∴\(\angle B=\angle ACB\)（等边对等角）。又∵\(DB = DC\)，∴\(\angle B=\angle DCB\)（等边对等角），∴\(\angle ACB=\angle DCB\)，即\(CD\)平分\(\angle ACB\)。（本题重点应用垂直平分线性质得\(DB = DC\)，后续可进一步推导\(AD = CD\)）
第 7 页：知识点 3—— 线段垂直平分线的判定定理
判定表述：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言：如图，∵\(PA = PB\)，∴点\(P\)在线段\(AB\)的垂直平分线上。
推理证明：
已知：点\(P\)是线段\(AB\)外一点，且\(PA = PB\)。
求证：点\(P\)在线段\(AB\)的垂直平分线上。
证明：过点\(P\)作\(PO\perp AB\)，垂足为\(O\)，则\(\angle POA=\angle POB = 90^{\circ}\)。在\(Rt\triangle POA\)和\(Rt\triangle POB\)中，\(PA = PB\)，\(PO = PO\)，∴\(Rt\triangle POA\cong Rt\triangle POB\)（HL），∴\(AO = BO\)（全等三角形的对应边相等）。∴\(PO\)是线段\(AB\)的垂直平分线，即点\(P\)在线段\(AB\)的垂直平分线上。
图形演示：展示到线段两端距离相等的点，作垂线后证明该垂线是垂直平分线，标注推理过程中的关键元素。
第 8 页：例题 2—— 应用线段垂直平分线的判定
例 3：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，求证：点\(A\)在线段\(BC\)的垂直平分线上。
解析：∵\(AB = AC\)（已知），∴由线段垂直平分线的判定定理可知，点\(A\)在线段\(BC\)的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。
例 4：如图，\(PA = PB\)，\(QA = QB\)，求证：直线\(PQ\)是线段\(AB\)的垂直平分线。
解析：∵\(PA = PB\)（已知），∴点\(P\)在线段\(AB\)的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）。∵\(QA = QB\)（已知），∴点\(Q\)在线段\(AB\)的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）。∴直线\(PQ\)是线段\(AB\)的垂直平分线（两点确定一条直线）。
第 9 页：知识点 4—— 性质与判定的区别与联系
区别：
性质定理：已知点在线段垂直平分线上，推出该点到线段两端的距离相等（“点在线上→距离相等”）。
判定定理：已知点到线段两端的距离相等，推出该点在线段的垂直平分线上（“距离相等→点在线上”）。
联系：
两者互为逆定理，共同刻画了线段垂直平分线的本质特征。
性质定理用于证明线段相等，判定定理用于证明点在直线上或某条直线是垂直平分线。
表格对比：
定理类型
条件
结论
应用场景
性质定理
点在线段垂直平分线上
点到线段两端距离相等
证明线段相等
判定定理
点到线段两端距离相等
点在线段垂直平分线上
证明点在直线上或直线是垂直平分线
第 10 页：例题 3—— 综合应用性质与判定解决问题
例 5：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，\(D\)是\(BC\)的中点，\(E\)是\(AD\)上一点，求证：\(EB = EC\)。
解析：∵\(AB = AC\)，\(D\)是\(BC\)的中点，∴\(AD\)是\(BC\)的垂直平分线（等腰三角形三线合一）。∵点\(E\)在\(AD\)上，∴由线段垂直平分线的性质定理可知，\(EB = EC\)（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
例 6：如图，在四边形\(ABCD\)中，\(AB = AD\)，\(CB = CD\)，求证：\(AC\)垂直平分\(BD\)。
解析：∵\(AB = AD\)（已知），∴点\(A\)在线段\(BD\)的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）。∵\(CB = CD\)（已知），∴点\(C\)在线段\(BD\)的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）。∴直线\(AC\)是线段\(BD\)的垂直平分线（两点确定一条直线），即\(AC\)垂直平分\(BD\)。
第 11 页：知识点 5—— 线段垂直平分线的实际应用
选址问题：如图，要在公路旁建一个货物中转站，使它到\(A\)、\(B\)两个村庄的距离相等，中转站应建在何处？
解析：连接\(AB\)，作线段\(AB\)的垂直平分线，与公路的交点即为中转站的位置（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
作图问题：用尺规作图作出线段\(AB\)的垂直平分线，并说明作图依据（依据：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上）。
第 12 页：课堂练习
练习 1：如图，直线\(l\)是线段\(AB\)的垂直平分线，点\(P\)在\(l\)上，若\(PA = 4cm\)，则\(PB = \)___cm。
练习 2：在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，\(AB\)的垂直平分线交\(AC\)于点\(D\)，交\(AB\)于点\(E\)，求证：\(AD = BD\)。
练习 3：如图，\(AB = AC\)，\(DB = DC\)，求证：\(AD\)垂直平分\(BC\)。
第 13 页：知识总结
线段垂直平分线定义：经过线段中点且垂直于线段的直线。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（点在线上→距离相等）。
判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（距离相等→点在线上）。
关系：性质与判定互为逆定理，性质用于证线段相等，判定用于证点在直线上或直线是垂直平分线。
第 14 页：课后作业
作业 1：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(BC\)的垂直平分线交\(AC\)于点\(D\)，交\(BC\)于点\(E\)，若\(AB = 6cm\)，\(AC = 8cm\)，求\(\triangle ABD\)的周长。
作业 2：在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，\(O\)是\(\triangle ABC\)内一点，且\(OB = OC\)，求证：\(AO\)垂直平分\(BC\)。
作业 3：用尺规作图作出三角形三条边的垂直平分线，观察它们的交点有什么特点（提示：交点到三个顶点的距离相等）。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.6.1线段垂直平分线的性质和判定
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 认识线段的垂直平分线，理解其概念；
2. 能推导出线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
3. 能运用线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
4. 通过活动，学会交流思维过程和结果，增强合作意识.
等腰三角形是以 所在的直线为对称轴的轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线与底边上的 、 重合(简称“ ”).
高线
中线
顶角平分线
三线合一
如右图，如果直线l是等腰△ABC的对称轴，那么直线l与线段BC有什么关系呢？对于线段来说，直线l这样的直线有什么性质呢？
如右图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？
AD= A′D，l⊥ AA′.
A
A′
D
l
1
2
我们可以把人字形屋顶进行简化得到下面右边的图.已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
我们把：
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
A
A′
D
l
1
2
如右图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA,PB，线段PA,PB之间有什么关系？
P
A
B
l
P
A
B
l
作关于直线l的轴反射(即沿直线l对折),由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合，从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.
由此得到线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
因为点P可能在线段AB上，也可能在线段AB外，所以探讨上述问题，要分两种情况讨论当PA=PB时，点P是否都在线段AB的垂直平分线上。
A
B
P
(1)当点P在线段AB时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB是垂直平分线上。
P
A
B
C
(2)当点P在线段AB外时(如图)：
因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边上的中线.即PC⊥AB，且AC=CB。
因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
例 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
思路：要证点O在AC的垂直平分线上，
只需证明 ，
而由AB，BC的垂直平分线相交于点O， 可证 ，
从而得 ，于是点O在AC的垂直平分线上.
OA=OC
OA=OB，OB=OC
OA=OC
A
B
C
O
A
B
C
O
证明：∵点O在AC的垂直平分线上，
∴ .
OA=OB
同理 .
OB=OC
∴ .
OA=OC
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
（三角形三边的垂直垂直平分线相交于一点）
1. 如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AB于点E，连接CE，则下列结论中不正确的是（ ）
A. ED⊥BC
B. ∠B=∠ECB
C. AE+EC=AB
D. ∠AEC=∠DEC
D
解析：根据线段的垂直平分线的性质定理和等腰三角形的性质定理可知A，B，C正确。故选D。
A
B
C
E
D
（第1题）
1. 如图，等腰三角形中， ，
.线段的垂直平分线交于 ，交
于，连接，则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，的边 的垂直平分线分
别交,于点,,连接, ,
的周长为,则 的周长是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 如图是一块三角形的草坪，点 ，
， 处各种一棵树，现要建一灌溉出水口，要使出水口到三
棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( )
A
A. 三边的垂直平分线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点
D. 三条中线的交点
返回
（第4题）
4.如图，在中，， 是
上的一点，是 上一点，且
，若，则 的长是___.
2
【点拨】 因为， ，
所以直线是线段的垂直平分线，所以是 的中点，
所以 .
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（第5题）
5. 风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”
等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000
多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，
已知，， ，
，制作这个风筝需要的布料至少为
_______ .
2 700
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6.［2025长沙华益中学期末］如图，在 中，
,的垂直平分线分别交,于点,, 的垂
直平分线分别交,于点,,直线,交于点 .
（1）求证：点在线段 的垂直平分线上；
【证明】
如图所示，连接,, ,
因为垂直平分,垂直平分 ,
所以, ,
所以 ,
所以点在线段 的垂直平分线上.
（2）已知 ,求 的度数.
【解】因为垂直平分, 垂直
平分 ,
所以, ,
,,所以 ,
, , ,
,所以 .设
所以 ,
.因为
,
,
所以 ,即
.
因为,
所以 ,
所以 .
返回
1.线段的垂直平分线的性质定理是什么？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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