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5.1.2 含 30° 角的直角三角形的性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：5.1.2 含 30° 角的直角三角形的性质
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：前面我们学习了直角三角形的基本概念，知道直角三角形有一个角是 90°，另外两个锐角互余（和为 90°）。还学习了等腰直角三角形的性质，即两条直角边相等，两个锐角都是 45°。
问题提出：如果直角三角形中有一个锐角是 30°，那么这个特殊的直角三角形会具有怎样独特的性质呢？它的边之间存在什么特殊的数量关系？这就是我们今天要探究的内容。
学习意义：掌握含 30° 角的直角三角形的性质，能帮助我们快速解决相关的几何计算和证明问题，在实际生活中如测量、建筑等领域也有广泛应用。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解并掌握含 30° 角的直角三角形的性质（30° 角所对的直角边等于斜边的一半）；能运用该性质解决直角三角形中的计算和证明问题。
能力目标：通过动手操作、观察和推理，培养探究能力和逻辑推理能力；能将性质灵活应用于实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
情感目标：在探究特殊直角三角形性质的过程中，感受数学的严谨性和特殊性，体会数学知识的实用价值，激发学习数学的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 含 30° 角的直角三角形的性质探究
操作实验：
步骤 1：用直尺和圆规作一个等边三角形 ABC（三边相等，三角都是 60°）。
步骤 2：作出等边三角形 ABC 的高 AD，交 BC 于点 D（AD 也是 BC 边上的中线和∠BAC 的平分线）。
步骤 3：观察图形，△ABD 是直角三角形，其中∠BAD=30°，∠ADB=90°，BC=AB，BD=BC÷2=AB÷2。
实验结论：在 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，它所对的直角边 BD 等于斜边 AB 的一半。
归纳猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
第 5 页：知识点 2—— 含 30° 角的直角三角形的性质定理
性质表述：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB÷2（或 BC= AB）。
推理证明：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。
求证：BC= AB。
证明：延长 BC 至点 D，使 CD=BC，连接 AD。∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°。在△ABC 和△ADC 中，AC=AC（公共边），∠ACB=∠ACD（已证），BC=DC（已作），∴△ABC≌△ADC（SAS）。∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=30°（全等三角形对应边、对应角相等），∴∠BAD=60°，∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形），∴AB=BD。∵BD=BC+CD=2BC，∴AB=2BC，即 BC= AB。
图形演示：展示辅助线作法和全等三角形、等边三角形的关系，标注推理过程中的关键元素。
第 6 页：例题 1—— 应用性质求边长
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边 AB=8cm，求 BC 和 AC 的长度。
解析：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°（已知），∴BC= AB（含 30° 角的直角三角形的性质）。∵AB=8cm，∴BC= ×8=4cm。由勾股定理得 AC=√(AB BC )=√(8 4 )=√(64 16)=√48=4√3 cm。
例 2：在 Rt△DEF 中，∠E=90°，∠F=30°，EF=6cm，求斜边 DF 的长度。
解析：∵在 Rt△DEF 中，∠E=90°，∠F=30°，∴∠D=60°。∠F=30° 所对的直角边是 DE，∴DE= DF。由勾股定理得 DE +EF =DF ，设 DE=x，则 DF=2x，∴x +6 =(2x) ，x +36=4x ，3x =36，x =12，x=2√3，∴DF=2x=4√3 cm。（或直接识别∠D=60°，∠D 所对的直角边是 EF，虽不是 30° 角对边，但可通过性质间接计算）
第 7 页：知识点 3—— 性质的逆应用
逆命题探究：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°。
几何语言：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC= AB，∴∠A=30°。
推理证明：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC= AB。
求证：∠A=30°。
证明：取 AB 的中点 D，连接 CD。∵在 Rt△ABC 中，D 是 AB 中点，∴CD= AB=AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。∵BC= AB，∴BC=CD=BD，∴△BCD 是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠A=90° ∠B=30°。
应用说明：该逆命题成立，可作为判定直角三角形中是否存在 30° 角的依据。
第 8 页：例题 2—— 逆应用判断角度
例 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5cm，AB=10cm，判断∠A 的度数。
解析：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5cm，AB=10cm（已知），∴BC= AB（5= ×10）。∴由逆命题可知，∠A=30°（在直角三角形中，一条直角边等于斜边一半，则该边所对锐角为 30°）。
例 4：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，CD=5cm，BC=5cm，求∠A 的度数。
解析：∵在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，∴CD= AB（直角三角形斜边中线性质）。∵CD=5cm，∴AB=10cm。∵BC=5cm，∴BC= AB，∴∠A=30°（逆应用性质）。
第 9 页：知识点 4—— 性质的实际应用
测量问题：如图，要测量一座小山的高度，已知山坡与地面的夹角为 30°，从山脚到山顶的坡面距离（斜边）为 200 米，求小山的高度（即 30° 角所对的直角边）。
解析：设小山高度为 h 米，根据含 30° 角的直角三角形的性质，h= ×200=100 米，即小山高度为 100 米。
建筑问题：某建筑工人要搭建一个直角三角形支架，其中一个锐角为 30°，斜边长度为 4 米，求较短的直角边长度（30° 角所对的边）。
解析：较短的直角边长度 = ×4=2 米。
第 10 页：例题 3—— 综合应用性质解决复杂问题
例 5：如图，在△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且 BD=1cm，求 AC 的长度。
解析：∵在△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB（30° 角所对直角边 AB 等于斜边 AC 的一半）。∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=30°。在 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，∴BD= AD（30° 角所对直角边 BD 等于斜边 AD 的一半），但更直接：设 AB=x，则 AC=2x。由勾股定理得 BC=√(AC AB )=√(4x x )=√3 x。∵AD 平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，在 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，∴AD=2BD=2×1=2cm（BD=1cm），AB=√(AD BD )=√(4 1)=√3 cm，∴AC=2AB=2√3 cm。
第 11 页：课堂练习
练习 1：在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠B=30°，AC=3cm，求 BC 的长度。
练习 2：在 Rt△DEF 中，∠D=90°，EF=8cm，∠F=30°，求 DE 的长度。
练习 3：在△ABC 中，∠C=90°，点 D 是 AB 的中点，且 CD=4cm，∠B=60°，求 BC 的长度。
第 12 页：知识总结
核心性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半（几何语言：Rt△中，∠A=30° BC= AB）。
推理依据：通过构造等边三角形或全等三角形证明性质成立。
逆应用：直角三角形中，若一直角边等于斜边一半，则该边所对锐角为 30°，可用于角度判定。
应用要点：明确 30° 角所对的直角边，结合勾股定理解决边长计算问题，在实际测量和建筑中灵活应用。
第 13 页：课后作业
作业 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2cm，求 AB 和 AC 的长度。
作业 2：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB 于点 D，AB=12cm，求 CD 的长度。
作业 3：一个直角三角形的斜边为 10cm，且有一条直角边为 5cm，求这个直角三角形的两个锐角的度数。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1.2含30 角的直角三角形的性质
第5章 直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
想一想:
如下图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
含30°角的直角三角形的性质
知识点
问题1：
学生活动 【一起探究】
分离
拼接
A
C
B
将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，
如图所示，你有什么发现？
问题2：
A
B
C
D
如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他
方法证明吗？
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．
∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
方法一：
方法点拨
倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
倍长法
E
A
B
C
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．　　
证明方法：截半法
方法二：
方法点拨
在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
截半法
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半.
∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
归纳总结
应用格式：
∴　BC = AB．　　
A
B
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
D
利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值
素养考点 1
A
B
C
D
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°.
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2 C.1.5 D．1
C
归纳总结
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
归纳总结
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
例4　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC,DE 有多长？
A
B
C
D
E
利用直角三角形的性质解决实际问题
素养考点 2
图中BC,DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= AB, DE= AD.
∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).
又AD= AB,
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
（第1题）
1. 如图，一棵树在一
次强台风中于离地面3米处折断倒下，
倒下的部分与地面成 角，这棵树在
折断前的高度为( )
B
A. 6米 B. 9米 C. 12米 D. 15米
2. 在中，若，且，则 等
于( )
D
A. 2 B. 3 C. 9 D. 12
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3. ［2025长沙明德教育集团期末］若等腰三角形的顶角为
，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为( )
B
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
【点拨】
如图，在中，, ，过 作
于点，因为 ， ，所以
，所以 .
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（第4题）
4. ［2025北京丰台区期末］如图，在
中， ， ，
垂直平分，连接.如果 ，那
么 的长为( )
C
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
（第4题）
【点拨】因为垂直平分 ，所以
， ,所以
,所以 ,
所以.因为 ，
，所以
，所以
，所以 ，所以
.故选C.
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5.［2025北师大附中月考］某市在旧城改造中，计划在一块如
图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知
，， ，这种草皮每平方米
售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数
式表示）
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6.如图，在中， , ,将 绕
点按顺时针方向旋转一定角度得到,点恰好在 上.
（1）若,求 的长度；
【解】因为 ,
, ,所以
.
因为是由 旋转得到的，
所以 .
（2）确定 的形状，并说明理由.
为等边三角形.理由如下：
因为 , ,所以 .
由旋转的性质，得,所以 为等边三角形.
（第7题）
7. ［2025洛阳月考］如图，在 中，
,，是内两点， 平分
, .若 ,
，则 的长度是( )
C
A. B.
C. D.
（第8题）
8. 如图，在中， ,
,以点为圆心， 长为半径
画弧，交边于点,再分别以点, 为
圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
C
A. B.
C. D.
交于点,作射线交边于点,点为边 上的动点，连接
,若,则 的取值范围是( )
（第11题）
11.［2025长沙开福区开学考试］如图，点
在等边三角形的边上， ，射线
，垂足为，点是射线 上一动
点，点是线段上一动点，当 取
最小值时，若，则此时 的长为___.
10
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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