资源简介

(共34张PPT)
5.2.1 勾股定理教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：5.2.1 勾股定理
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：情境引入
生活实例：展示古代建筑中的直角三角形结构（如埃及金字塔、中国古代城墙拐角），提问：工匠们如何确保墙角是直角？据说古埃及人用 12 段等长的绳子围成一个三角形，其中三边分别为 3 段、4 段、5 段，就能得到一个直角三角形。
图形观察：给出直角三角形，标注两条直角边和斜边，引导学生思考：直角三角形的三条边之间是否存在固定的数量关系？
引入课题：今天我们就来探究直角三角形三边之间的重要关系 —— 勾股定理，它是几何中最基本、最重要的定理之一。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）；掌握勾股定理的几何表述和简单应用；了解勾股定理的常见证明方法。
能力目标：通过动手拼图和推理证明，培养观察、分析和逻辑推理能力；能运用勾股定理解决直角三角形的边长计算问题。
情感目标：感受勾股定理的历史文化价值和数学的严谨性，激发对数学定理探究的兴趣，体会数学在实际生活中的应用。
第 4 页：知识点 1—— 勾股定理的探究
拼图实验：
步骤 1：准备若干个全等的直角三角形（两直角边分别为\(a\)、\(b\)，斜边为\(c\)）和边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)的正方形。
步骤 2：用 4 个直角三角形和 1 个小正方形拼成一个大正方形（边长为\(a + b\)），大正方形面积可表示为\((a + b)^2\)，也可表示为 4 个直角三角形面积加小正方形面积：\(4\times\frac{1}{2}ab + (b - a)^2\)。
步骤 3：化简得\(a^2 + b^2 = c^2\)，初步验证直角三角形三边关系。
数据验证：给出多个直角三角形的边长数据（如 3,4,5；5,12,13 等），计算两直角边平方和与斜边平方，发现两者相等。
归纳猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
第 5 页：知识点 2—— 勾股定理的内容
定理表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为\(a\)、\(b\)，斜边长为\(c\)，那么\(a^2 + b^2 = c^2\)。
几何语言：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=\(a\)，AC=\(b\)，AB=\(c\)，∴\(a^2 + b^2 = c^2\)。
名称由来：在中国古代，直角三角形中较短的直角边叫 “勾”，较长的直角边叫 “股”，斜边叫 “弦”，因此该定理称为勾股定理。
图形标注：在直角三角形图形中标注勾、股、弦对应的边，明确\(a\)、\(b\)、\(c\)的含义。
第 6 页：知识点 3—— 勾股定理的证明（赵爽弦图）
证明方法：我国古代数学家赵爽的 “弦图” 证明法。
证明过程：
图形构造：用 4 个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形，大正方形边长为斜边\(c\)，小正方形边长为\(b - a\)（\(b > a\)）。
面积计算：大正方形面积为\(c^2\)，同时大正方形面积也等于 4 个直角三角形面积加小正方形面积：\(4\times\frac{1}{2}ab + (b - a)^2\)。
化简推导：\(c^2 = 2ab + (b^2 - 2ab + a^2) = a^2 + b^2\)，即\(a^2 + b^2 = c^2\)，定理得证。
图形演示：展示赵爽弦图的构造过程，标注各部分面积关系。
第 7 页：例题 1—— 已知两边求第三边
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若\(a = 3\)，\(b = 4\)，求斜边\(c\)的长度。
解析：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由勾股定理得\(a^2 + b^2 = c^2\)。∵\(a = 3\)，\(b = 4\)，∴\(c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)，∴\(c = 5\)（边长为正数）。
例 2：在 Rt△DEF 中，∠D=90°，斜边\(EF = 13\)，一条直角边\(DE = 5\)，求另一条直角边\(DF\)的长度。
解析：∵在 Rt△DEF 中，∠D=90°，由勾股定理得\(DE^2 + DF^2 = EF^2\)。设\(DF = x\)，则\(5^2 + x^2 = 13^2\)，\(25 + x^2 = 169\)，\(x^2 = 144\)，∴\(x = 12\)（边长为正数）。
第 8 页：知识点 4—— 勾股定理的应用场景
已知直角三角形两边求第三边：直接代入公式计算，注意斜边为最长边。
判断三角形是否为直角三角形：若三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形为直角三角形（后续会详细学习）。
实际测量问题：如测量两点间的距离、建筑物高度、河流宽度等，构造直角三角形后应用定理计算。
图形计算：结合几何图形中的直角关系，计算线段长度或面积。
第 9 页：例题 2—— 实际应用问题
例 3：如图，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树干底部 4 米处，求这棵大树折断前的高度。
解析：折断的大树形成直角三角形，其中直角边分别为 3 米（树干剩余部分）和 4 米（顶端到树干底部距离），斜边为折断部分长度。由勾股定理得折断部分长度\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)米，∴大树折断前高度为 3 + 5 = 8 米。
例 4：如图，长方形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，求对角线 AC 的长度。
解析：长方形的对角线将长方形分成两个直角三角形，在 Rt△ABC 中，AB=3cm，BC=4cm，由勾股定理得 AC=\(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)cm。
第 10 页：知识点 5—— 勾股定理的注意事项
适用范围：仅适用于直角三角形，锐角三角形和钝角三角形不满足该关系。
边的区分：应用时需明确哪条边是斜边（直角所对的边），避免将直角边当作斜边计算。
单位统一：计算时确保各边长度单位一致，结果的单位为长度单位的平方开方后对应单位。
结果处理：边长为正数，计算平方根时取算术平方根。
第 11 页：例题 3—— 复杂图形中的应用
例 5：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，CD 是斜边 AB 上的高，求 CD 的长度。
解析：第一步，由勾股定理得 AB=\(\sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\)cm。第二步，Rt△ABC 的面积 =\(\frac{1}{2}\times AC\times BC = \frac{1}{2}\times 6\times 8 = 24\)cm 。第三步，也可表示为\(\frac{1}{2}\times AB\times CD\)，即\(\frac{1}{2}\times 10\times CD = 24\)，解得 CD=4.8cm。
第 12 页：课堂练习
练习 1：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，求 AC 的长度。
练习 2：一个直角三角形的斜边为 25cm，一条直角边为 7cm，求另一条直角边的长度。
练习 3：如图，正方形网格中，每个小正方形边长为 1，求△ABC 的周长（△ABC 的顶点在网格交点上）。
第 13 页：知识总结
勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（\(a^2 + b^2 = c^2\)）。
几何语言：Rt△中，∠C=90° \(a^2 + b^2 = c^2\)（\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）。
证明方法：赵爽弦图等多种拼图证明法，核心是面积相等原理。
应用要点：明确适用直角三角形，区分直角边和斜边，结合实际问题构造直角三角形计算。
第 14 页：课后作业
作业 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若\(a = 5\)，\(c = 13\)，求\(b\)的长度。
作业 2：如图，梯子 AB 长 10 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，梯子底端 B 到墙的距离 BC 为 6 米，求梯子顶端 A 到地面的高度 AC。
作业 3：查阅资料，了解勾股定理的其他证明方法（如欧几里得证明法），并与同学交流。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.1勾股定理
第5章 直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
一般三角形
1.三角形内角和为180 .
2.两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边.
直角三角形
1. 三角形内角和为180 .
2.两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边.
3.斜边中线等于斜边一半.
4.两锐角互余.
知识回顾
相传 2500 多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
课堂导入
请你观察一下地面的图案，从中发现了什么？
思考1 图中三个正方形的面积有什么关系？
知识点：勾股定理的认识与证明
新知探究
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.S1=S2+S3
你是如何得到呢？
思考2 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
斜边的平方等于两直角边的平方和.
c2=a2+b2
a
b
c
你能说一下思路吗？
探究 等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C， A' ， B' ， C' 的面积，看看能得出什么结论？
A B C A' B' C'
面积/格
4
34
25
9
13
9
你发现了什么规律吗？
我发现 SA+SB=SC，SA'+SB'=SC'
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
通过上面的思考和探究，我们可以猜想：
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．
有哪些证明方法呢？
证法一：赵爽弦图
b
b
a
a
c
c
a
b
边长分别为a，b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形.
四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形.
b
b
a
a
c
a
c
b
如图，左边图形的面积= a2+b2，右边图形的面积=c2.
∵右边图形由左边图形拼接而成，
∴得到a2+b2=c2 .
证法二：加菲尔德总统拼图
b
b
a
a
c
c
┐
┌
┌
（1）
+
（2）
∴ a2+b2=c2.
证法三：毕达哥拉斯拼图
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
分别计算左右两个正方形的面积，你能得出什么结论？
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
4
4
证法四：刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为S，则S=
根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S=.
∴ =.
a
b
c
青出
青出
青入
青入
朱入
朱出
青方
朱方
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
注意：1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
跟踪训练
新知探究
与正方形A，B，C，D有何关系？
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，
得，
而
1. 如图所示，灰色部分（长方形）的面积为( )
B
（第1题）
A. 24 B. 30 C. 48 D. 18
返回
（第2题）
2. ［2025郴州开学考试］如图，在
中， ，分别以， 为圆心，大于
长为半径作弧，两弧相交于点， ，作
直线，与，分别交于点， ，连接
，若，，则 的周长
为( )
B
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
（第2题）
【点拨】由作法得垂直平分 ，所以
.在 中，
，所以
的周长
返回
（第3题）
3. 课堂上，王老师给出如图所示的甲、
乙两个图形，能利用面积验证勾股定理
的是( )
C
A. 甲行、乙不行 B. 甲不行、乙行
C. 甲、乙都行 D. 甲、乙都不行
（第3题）
【点拨】题图甲中大正方形的面积为
，四个直角三角
形的面积和为 ，则中间小
正方形的面积为 .因为中间小正
方形的边长为，所以其面积为.所以 .所以题图
甲能利用面积验证勾股定理；题图乙中直角梯形的面积为
，两个较小直
角三角形的面积和为 ，则中
间等腰直角三角形的面积为
.因为中
间等腰直角三角形的面积为 ，所以
，即 .所以题
图乙能利用面积验证勾股定理.综上分析可
知，甲、乙都行，故选C.
（第3题）
返回
（第4题）
4. 象棋是中国的传统棋种，
如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的
边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照
“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”
的最大距离是( )
A
A. 5 B. C. D.
返回
5. 若直角三角形中，有两边长是3和4，则
第三边长为_______.
5或
【点拨】在直角三角形中，①当第三边为斜边时，第三边长
为 ；②当斜边长为4时，第三边长为
.综上，第三边长为5或 .
返回
6. 如图，将腰
长为2的等腰直角三角形
放置于数轴上，直角边 与数
轴重合，直角顶点与重合，为的中点，以点 为圆
心，长为半径画弧，交数轴于点（在点右侧），则 点
表示的数为_______.
返回
7.如图，在四边形中， ，
，，， ，求
四边形 的面积.
【解】因为，，所以 .
因为,，所以根据勾股定理得 .
又因为，所以根据勾股定理得 ，
所以
.
返回
（第8题）
8. 如图，在 中，
，分别以各边为直径作半圆，
图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底
月牙”，当， 时，则阴影部
分的面积为( )
C
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
（第9题）
9.如图，四边形中， ,连接
，将沿着折叠，点 恰好落
在上的点处，若 ，
，,则 _________.
（第10题）
10.［2024陕西］如图，在 中，
，是边上一点，连接 ，
在的右侧作，且 ，连
接.若， ，则四边形
的面积为____.
60
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑