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5.2.2 勾股定理的应用教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：5.2.2 勾股定理的应用
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了勾股定理的内容，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（\(a^2 + b^2 = c^2\)），还了解了赵爽弦图等证明方法，并通过简单例题掌握了已知两边求第三边的基本计算。
问题提出：勾股定理在我们的生活和几何学习中有着广泛的应用，如何利用勾股定理解决实际测量、图形计算等复杂问题呢？这就是本节课要深入探讨的内容。
学习意义：掌握勾股定理的应用技巧，能将数学知识与实际生活紧密结合，提高分析和解决问题的能力，体会数学的实用价值。
第 3 页：学习目标
知识目标：能运用勾股定理解决实际生活中的测量问题；能结合几何图形（如长方形、正方形、立体图形等）运用勾股定理计算线段长度；掌握构造直角三角形解决问题的方法。
能力目标：通过分析实际问题和复杂图形，培养数学建模能力和空间想象能力；能准确找到直角三角形中的边，灵活运用勾股定理进行计算和推理。
情感目标：在运用勾股定理解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，增强应用数学的意识和信心。
第 4 页：知识点 1—— 实际测量中的应用（距离计算）
问题类型：测量不可直接到达的两点间距离、河流宽度、建筑物高度等，通过构造直角三角形，利用勾股定理计算。
解题步骤：
分析问题：确定需要测量的未知量，寻找可测量的已知量。
构造模型：将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形，明确直角边和斜边。
代入计算：根据勾股定理列出关系式，代入已知数据求解未知量。
示例说明：如图，要测量池塘两端 A、B 的距离，可在池塘外取一点 C，使 AC⊥BC，测得 AC=6m，BC=8m，则 AB=\(\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10\)m。
第 5 页：例题 1—— 测量高度问题
例 1：如图，一架云梯长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，求梯子顶端离地面的高度。
解析：云梯、墙和地面构成直角三角形，云梯为斜边（25 米），梯子底端到墙的距离为一条直角边（7 米），梯子顶端离地面的高度为另一条直角边（设为 h）。由勾股定理得\(h^2 + 7^2 = 25^2\)，\(h^2 = 625 - 49 = 576\)，∴\(h = 24\)米。
例 2：如图，某高楼离地面 30 米处有一个广告牌，为了测量广告牌的宽度，在地面上取一点 C，测得点 C 到广告牌左端 A 的距离为 50 米，到右端 B 的距离为\(\sqrt{1300}\)米，求广告牌 AB 的宽度。
解析：过点 C 作地面的垂线，高楼为另一条直角边，构成 Rt△ACD 和 Rt△BCD（D 为广告牌底部）。AD=30 米，AC=50 米，由勾股定理得 CD=\(\sqrt{50^2 - 30^2}=40\)米。在 Rt△BCD 中，BC=\(\sqrt{1300}\)米，CD=40 米，∴BD=\(\sqrt{(\sqrt{1300})^2 - 40^2}=\sqrt{1300 - 1600}\)（此处数据可能有误，修正示例：若 BC=50 米，则 BD=30 米，AB=|AD - BD|=0，故合理数据应为 BC=√(40 + 10 )=√1700，则 AB=30 - 10=20 米）。
第 6 页：知识点 2—— 几何图形中的应用（平面图形）
长方形与正方形：长方形的对角线将其分为两个直角三角形，对角线长度可由长和宽通过勾股定理计算；正方形对角线长度为边长的√2 倍。
三角形与多边形：在含直角的三角形或多边形中，可通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求边长或高。
网格图形：在正方形网格中，可通过数格子确定直角边长度，再用勾股定理求斜边（如斜线段）长度。
示例说明：在边长为 1 的正方形网格中，点 A (1,2)、B (4,6)，则 AB 的水平距离为 3，垂直距离为 4，AB=\(\sqrt{3^2 + 4^2}=5\)。
第 7 页：例题 2—— 平面图形计算
例 3：如图，在长方形 ABCD 中，AB=8cm，BC=6cm，将长方形沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，求重叠部分△AFC 的面积。
解析：∵折叠后 AE=AB=8cm，∠E=∠B=90°，设 FC=x，则 BF=EF=6 - x。在 Rt△AEF 和 Rt△CDF 中，∠AFE=∠CFD，∠E=∠D=90°，AE=CD=8cm，∴△AEF≌△CDF（AAS），EF=DF=6 - x，AF=FC=x。在 Rt△CDF 中，\(CD^2 + DF^2 = FC^2\)，即\(8^2 + (6 - x)^2 = x^2\)，64 + 36 - 12x + x = x ，100 - 12x = 0，x=\(\frac{25}{3}\)。∴△AFC 的面积 =\(\frac{1}{2}\times FC\times AB=\frac{1}{2}\times\frac{25}{3}\times8=\frac{100}{3}\)cm 。
第 8 页：知识点 3—— 立体图形中的应用（最短路径问题）
问题类型：在正方体、长方体、圆柱等立体图形表面，求两点间的最短路径，需将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形后用勾股定理计算。
解题步骤：
展开立体：将包含两点的两个面展开在同一平面上，得到平面展开图。
确定路径：在展开图中连接两点，该线段为最短路径，且通常构成直角三角形的斜边。
计算长度：根据展开图中直角边的长度（对应立体图形的棱长），用勾股定理计算最短路径。
示例说明：棱长为 1 的正方体，点 A 在一个顶点，点 B 在相对面的对角顶点，展开后直角边分别为 1 和 2，最短路径为\(\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}\)。
第 9 页：例题 3—— 立体图形最短路径
例 4：如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为 8cm、6cm、10cm，点 A 在盒子底面的一个顶点，点 B 在盒子顶面的对角顶点，求从点 A 沿盒子表面到点 B 的最短路径长度。
解析：分三种展开方式：
展开前面和右面：直角边为 8 + 6=14cm 和 10cm，路径 =\(\sqrt{14^2 + 10^2}=\sqrt{396}\approx19.9\)cm。
展开前面和上面：直角边为 8 + 10=18cm 和 6cm，路径 =\(\sqrt{18^2 + 6^2}=\sqrt{360}\approx18.97\)cm。
展开左面和上面：直角边为 6 + 10=16cm 和 8cm，路径 =\(\sqrt{16^2 + 8^2}=\sqrt{320}\approx17.89\)cm。
结论：最短路径为\(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\)cm。
第 10 页：知识点 4—— 勾股定理与方程思想
思想应用：当问题中未知量较多时，可设未知数，根据勾股定理列出方程，通过解方程求出未知量。
关键步骤：
设元：设出关键未知量（如某条边的长度）。
表示：用含未知数的代数式表示其他相关边的长度。
列方程：根据勾股定理建立方程。
求解：解方程并检验结果的合理性。
示例说明：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，斜边 AB=25，一条直角边比另一条直角边长 5，设较短直角边为 x，则较长直角边为 x + 5，列方程\(x^2 + (x + 5)^2 = 25^2\)求解。
第 11 页：例题 4—— 方程思想应用
例 5：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，两点同时出发，几秒后 PQ 的长度为 10cm？
解析：设 t 秒后 PQ=10cm，此时 AP=t cm，PC=(9 - t) cm，CQ=2t cm。在 Rt△PCQ 中，由勾股定理得\((9 - t)^2 + (2t)^2 = 10^2\)，81 - 18t + t + 4t = 100，5t - 18t - 19 = 0，解得 t =\(\frac{19}{5}=3.8\)，t =-1（舍去）。∴3.8 秒后 PQ 的长度为 10cm。
第 12 页：课堂练习
练习 1：如图，在离旗杆底部 12 米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为直角（测角仪高度忽略），测角仪到旗杆顶端的距离为 13 米，求旗杆的高度。
练习 2：在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，求 AE 的长度。
练习 3：一个圆柱的底面周长为 12cm，高为 8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点 A 爬到上底面圆周上与 A 相对的点 B，求蚂蚁爬行的最短路径。
第 13 页：知识总结
实际应用：解决测量距离、高度等问题，关键是构造直角三角形，明确已知边和未知边。
平面图形：在长方形、网格等图形中，利用图形中的直角关系求对角线或线段长度。
立体图形：求最短路径需将立体图形展开为平面，转化为平面上的直角三角形问题。
方程思想：设未知数，根据勾股定理列方程，解决含动态或多未知量的问题。
核心方法：将实际问题或复杂图形转化为直角三角形模型，运用\(a^2 + b^2 = c^2\)计算。
第 14 页：课后作业
作业 1：如图，一艘轮船从港口 A 出发向正东方向行驶了 30 海里，然后向正北方向行驶了 40 海里到达港口 B，求港口 A 到港口 B 的直线距离。
作业 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，周长为 60，斜边与一条直角边的比为 13:5，求这个三角形的三边长。
作业 3：如图，长方体木箱的长、宽、高分别为 5dm、4dm、3dm，一只虫子从木箱的一个顶点出发沿表面爬行到相对的顶点，求虫子爬行的最短距离。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.2 勾股定理的应用
第5章 直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的4种证明方法：
赵爽弦图
刘徽“青朱出入图”
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
知识回顾
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？
课堂导入
例1 一个门框的尺寸如图所示.
（1）一块长3m，宽1.5m的薄木板，能否从门框中通过？若能应该如何通过？
（2）一块长3m，宽2.2m的薄木板呢？
（3）一块长3m，宽2.7m的薄木板呢？heit
D
A
C
B
1m
2m
知识点：勾股定理的应用
新知探究
如何判断呢？
解：（1）在Rt△中，由勾股定理得，
=5，
解得
因为AC ＞1.5m，所以木板可以从门框中通过.
D
A
C
B
1m
2m
聪明的你，想到了吗？
解：（2）在Rt△中，由勾股定理得，
=5，
解得
因为AC ＞1.5m，所以木板可以从门框中通过.
D
A
C
B
1m
2m
解：（3）在Rt△中，由勾股定理得，
=5，
解得
因为AC ＜2.7m，所以木板不可以从门框中通过.
D
A
C
B
1m
2m
分析：①梯子下滑前和下滑后的长度不变;②梯子下滑前和下滑后均与墙AO和地面构成直角三角形.
例2 如图，一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？
A
C
O
B
D
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△中，由勾股定理得，
,
所以
A
C
O
B
D
在Rt△中，由勾股定理得，
所以.
A
C
O
B
D
所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
1.在一次台风中，小红家的树在离地面 3 米的地方被拦腰截断，树的顶部落在离根部 4 米的地方，你能计算出这棵树没截断前的高度吗？
跟踪训练
新知探究
分析：根据题意，可以将地面、截断倒地的树的部分、剩余未截断的树的部分构建成一个直角三角形.
解：在Rt△ABC中，AC=3m，BC=4m.
由勾股定理得.
则.
所以这棵树没截断前的高度是
AC+AB=3+5=8m.
不要忘记这一步哦！
A
C
B
1.复习回顾
（1）在中， ，，， 的对边的长分别为
，， .
①已知，，则 __________；
②已知，，则 _________；
③已知，，则 _________.
（2）下面四种现象：①小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物；②
打开手电筒后射出的光线；③扔一个小石子，石子在空中飞行的路线；
④将弯曲的河道改直，可以缩短航程.其中可以用“两点之间，线段最短”
来解释的现象有______.（填序号）
①④
2.问题提出
如图①，一圆柱体的底面周长为 ，
高为， 是下底面的直径，一只
蚂蚁从点 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点
，试求出爬行的最短路程.
【思考】此问题可转化为平面图形，
利用勾股定理进行求解.
（1）如图②，将圆柱的侧面展开，得到一
40
20
个长方形， 圆柱体的底面周长为， ________ .
（2）连接,利用两点之间，______最短，用勾股定理求 中
的长.
在中，，____ ，
_____ .
故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是_____ .
线段
20
[答案] 25; 25
（第1题）
1. 如图，圆柱形玻璃杯的底面半径为 ，高
为，有一只长为 的吸管任意斜放于杯
中，则吸管露出杯口外的长度至少为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. ［2025郑州上街区期末］
如图①是一块长方形草坪，
是一条被踩踏的小路，已
知米， 米.为了
避免行人继续踩踏草坪
D
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（走线段），小梅分别在， 处各挂了一块如图②所示
的牌子，则牌子上“？”处是 ( )
返回
（第3题）
3. 2024年10月30日，神舟十
九号载人飞船成功发射.为此，某校组织了一
次以“指尖上的航模·蓝天下的梦想”为主题的
航模飞行表演.如图，小烨控制的无人机在距
离地面18米高的点处米，空中点
10米
处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点 与点
之间的水平距离米，已知于点 ，
，则风筝离地面的高度 是______.
返回
（第4题）
4. 如图是某滑雪场 型池的
示意图，该 型池可以看作是一个长方体去
掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的
截面是半径为3的半圆，其边缘
，点在上， .一名
15
滑雪爱好者从点滑到 点时，他滑行的最短路程约为____
取3 .
返回
5.［2025衡阳期末］走廊上有一梯子以 的倾斜角斜靠在
墙上，墙与地面垂直，梯子影响了路人的行走，工人将梯子
挪动位置，使其倾斜角变为 ，如果梯子的长为4米，那
么行走的通道拓宽了__________米.（结果保留根号）
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6. 爱护森林人人有责，
如图（单位： ）是某森林小队为该地
区森林鸟类安装的木屋示意图，它为轴
对称图形，求屋顶到地面 的距离.
【解】由题意得 .
因为木屋为轴对称图形，所以 是
等腰三角形.过点作 ，垂足为
，所以 因
为 ，所以
所以屋顶到地面 的距离为
返回
（第7题）
7. 在我国古代数学
著作《九章算术》“勾股”中有一题：
“今有开门去阃 一尺，不合二
寸，问门广几何？”大意是说：如图，
B
A. 100寸 B. 101寸
C. 102寸 D. 103寸
推开两扇门和，且，门边缘， 两点到门
槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门的间隙 为2寸，
那么门的宽度 为 ( )
【点拨】
由题意得.如图,过点作于点 ，则
寸，寸.设 寸，则
寸.在中， ，即
，解得,所以 寸.
返回
（第8题）
8.如图，嘉琪一家自驾到风景区 游玩，到达
地后，导航显示车辆应沿北偏西 方向行
驶4千米至地，再沿北偏东 方向行驶一
段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在
地的北偏东 方向，那么， 两地之间的
距离为_____千米.
【点拨】如图所示，过点作于点 .
由题意得千米, ，
，所以
.因为
，所以 .所以
，.所以 千
米，.所以 千米.所以
千米.
返回
9. 如图①，跷跷板是一种常见的儿童玩具.跷
跷板一端着地时如图②，支柱 地面， ，
为握把，且于点，， .
跷跷板可以绕点转动，如图③是跷跷板水平，即
时，此时点，，，的对应点分别为点，，， ，恰
有，则跷跷板的长为_____ .
265
【点拨】由题意得 ，
.如图，过点作于点 .因
为 ，所以
所以，所以 .又因为
,所以 .
，因为 ，所以
.在中， ，
返回
10.［2025深圳龙岗区月考］如图是静静荡
秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂
线上的处，转轴 到地面的距离
（1）求到 的距离.
.静静在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点 时，
测得点到的距离，点到地面的距离 ，
当她从处摆动到处时，有 .
【解】过点作，垂足为 ,所
以 .由题意可得 ,
.因为 ，所以
.因为， ，所以易得
.在与 中，
所以，所以 ，即到的距
离为 .
（2）当静静坐的秋千摆动到 处时，她
忽然发现一只小狗趴到了 点的位置，小
狗高度为 ，假设小狗不动，请问静
由题知.在 中，
,所以 .因
为,所以.因为 ，
即，所以 ，所以秋千不会碰到小狗.
静在荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？
返回
勾股定理的应用
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
构建
运用
解决
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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