资源简介

(共29张PPT)
5.2.3 勾股定理的逆定理教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：5.2.3 勾股定理的逆定理
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了勾股定理的应用，知道在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方（\(a^2 + b^2 = c^2\)），并能运用该定理解决实际测量、图形计算等问题。
问题提出：反过来，如果一个三角形的三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是不是直角三角形呢？这就是本节课要探究的勾股定理的逆定理。
学习意义：掌握勾股定理的逆定理，能帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形，是几何中判断直角三角形的重要依据，在建筑、测量等领域有广泛应用。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解勾股定理逆定理的内容；掌握勾股定理逆定理的证明方法；能运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
能力目标：通过探究和证明逆定理，培养逻辑推理能力和几何证明能力；能运用逆定理解决与直角三角形判定相关的问题。
情感目标：在探究勾股定理逆定理的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，体会 “原定理” 与 “逆定理” 的辩证关系，激发对数学定理的探究兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 勾股定理逆定理的探究
实验操作：
步骤 1：准备若干组数据，如（3,4,5）、（5,12,13）、（6,8,10）等，分别以每组数据为边长画三角形。
步骤 2：用量角器测量每组三角形中最大边所对的角的度数，发现这些角都是 90°。
步骤 3：计算每组数据中较小两边的平方和与最大边的平方，发现\(3^2 + 4^2 = 5^2\)、\(5^2 + 12^2 = 13^2\)、\(6^2 + 8^2 = 10^2\)。
归纳猜想：如果一个三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，且最大边\(c\)所对的角是直角。
第 5 页：知识点 2—— 勾股定理逆定理的内容
定理表述：如果一个三角形的三边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，其中边长为\(c\)的边所对的角是直角。
几何语言：如图，在△ABC 中，若\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(a = BC\)，\(b = AC\)，\(c = AB\)），则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°。
与原定理关系：勾股定理是直角三角形的性质定理（由形到数），逆定理是直角三角形的判定定理（由数到形），两者互为逆定理。
第 6 页：知识点 3—— 勾股定理逆定理的证明
证明方法：构造法（构造一个直角三角形与已知三角形全等）。
证明过程：
已知：在△ABC 中，AB=\(c\)，BC=\(a\)，AC=\(b\)，且\(a^2 + b^2 = c^2\)。
求证：△ABC 是直角三角形，∠C=90°。
证明：作 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=\(a\)，A'C'=\(b\)。由勾股定理得 A'B' =B'C' + A'C' =\(a^2 + b^2\)。∵\(a^2 + b^2 = c^2\)，∴A'B' =\(c^2\)，即 A'B'=\(c\)。在△ABC 和△A'B'C' 中，BC=B'C'=\(a\)，AC=A'C'=\(b\)，AB=A'B'=\(c\)，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS），∴∠C=∠C'=90°，即△ABC 是直角三角形。
图形演示：展示构造的直角三角形和全等证明过程，标注对应边和角。
第 7 页：例题 1—— 判断三角形是否为直角三角形
例 1：判断由线段\(a\)、\(b\)、\(c\)组成的三角形是不是直角三角形：
（1）\(a = 5\)，\(b = 12\)，\(c = 13\)；
（2）\(a = 4\)，\(b = 5\)，\(c = 6\)。
解析：
（1）∵\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)，即\(a^2 + b^2 = c^2\)，∴由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形。
（2）∵\(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\)，\(6^2 = 36\)，\(41 36\)，即\(a^2 + b^2 c^2\)，∴这个三角形不是直角三角形。
第 8 页：知识点 4—— 勾股数
定义解析：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。
常见勾股数：
基本勾股数：（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）等。
派生勾股数：由基本勾股数扩大相同倍数得到，如（6,8,10）=2×（3,4,5），（9,12,15）=3×（3,4,5）等，也是勾股数。
特征说明：勾股数必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。
第 9 页：例题 2—— 利用勾股数解决问题
例 2：下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5
B. 5，12，13
C. 3，4，7
D. 1，2，3
解析：选项 A 中的数是小数，不是正整数，不符合勾股数定义；选项 B 中\(5^2 + 12^2 = 13^2\)，且都是正整数，是勾股数；选项 C 中\(3^2 + 4^2 7^2\)，不是；选项 D 中\(1^2 + 2^2 3^2\)，不是。故选 B。
例 3：已知一个直角三角形的三边长是三个连续的正整数，求这三条边的长度。
解析：设中间的数为\(x\)，则另外两个数为\(x - 1\)、\(x + 1\)。由勾股定理的逆定理得\((x - 1)^2 + x^2 = (x + 1)^2\)，\(x^2 - 2x + 1 + x^2 = x^2 + 2x + 1\)，\(x^2 - 4x = 0\)，解得\(x = 4\)（\(x = 0\)舍去）。∴三条边的长度分别为 3、4、5。
第 10 页：知识点 5—— 勾股定理逆定理的应用场景
判断三角形形状：已知三角形三边长度，通过逆定理判断是否为直角三角形。
证明角为直角：在几何证明中，若能证明三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则可证明最大边所对的角为直角。
实际问题判定：在建筑施工、场地规划等实际问题中，判断是否构成直角，确保结构垂直或方正。
示例说明：建筑工人在砌墙时，常用一根绳子按 3:4:5 的比例分成三段，检查墙角是否为直角，若三段绳子刚好构成三角形，则墙角为直角。
第 11 页：例题 3—— 综合应用逆定理证明
例 4：如图，在△ABC 中，AB=13，BC=10，BC 边上的中线 AD=12，求证：△ABC 是等腰三角形。
解析：∵AD 是 BC 边上的中线，BC=10，∴BD=DC=5。在△ABD 中，AB=13，AD=12，BD=5，∵\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)，即\(BD^2 + AD^2 = AB^2\)，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB=90°（勾股定理的逆定理）。∴∠ADC=180° ∠ADB=90°。在 Rt△ADC 中，AC=\(\sqrt{AD^2 + DC^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=13\)，∴AB=AC，即△ABC 是等腰三角形。
第 12 页：课堂练习
练习 1：判断由线段\(a = 7\)，\(b = 24\)，\(c = 25\)组成的三角形是不是直角三角形。
练习 2：下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A. 8，15，17
B. 9，12，15
C. 12，18，22
D. 5，12，13
练习 3：如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，求四边形 ABCD 的面积。
第 13 页：知识总结
勾股定理逆定理：若三角形三边\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形是直角三角形，\(c\)所对的角为直角。
勾股数：三个正整数\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，称为勾股数，基本勾股数扩大倍数后仍为勾股数。
应用方法：通过计算三边平方关系判断三角形是否为直角三角形，或证明角为直角。
与原定理关系：互为逆定理，原定理是性质（由直角得边关系），逆定理是判定（由边关系得直角）。
第 14 页：课后作业
作业 1：已知△ABC 的三边长分别为\(a = 10\)，\(b = 24\)，\(c = 26\)，判断△ABC 是不是直角三角形。
作业 2：一个三角形的三边长之比为 5:12:13，且周长为 60，求这个三角形的面积（提示：先判断是否为直角三角形）。
作业 3：如图，在△ABC 中，AC=8，BC=6，AB=10，AD 是∠BAC 的平分线，求 CD 的长度。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.3勾股定理的逆定理
第5章 直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
思考 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
船只在航行的时候需要确定方向和位置.
课堂导入
如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16n mile，“海天”号每小时航行 12n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距
30n mile.如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道
“海天”号沿哪个方向航行吗？
知识点1：勾股定理逆定理的应用
新知探究
通过题目已知条件可以得出：
1.PR 的长度 2. PQ 的长度
3.∠1 的度数 4. RQ 的长度
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了.
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， RQ=30.
因为，即
所以∠RPQ=90 .
由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠1=45 .因此∠2=45 ，即“海天”号沿西北方向航行.
为何是45°呢？
1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？
跟踪训练
新知探究
分析：根据图示的距离，可以判断出以 A，B，C 三地位置构成的三角形是直角三角形.
解：设A，B，C三地对应点A，B，C，则在△ABC中，
因为
.
所以 .
所以△ABC是直角三角形，且∠B=90 ，
所以 C 地在 B 地的正北方向 .
2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， ∠B=90 .求四边形ABCD的面积.
C
B
A
D
分析：△ABC是直角三角形，所以可以求出斜边 AC. 根据 AC，CD，AD 的长度及勾股定理的逆定理可以判定△ACD也是直角三角形.
解：因为∠B90 ，所以△ABC是直角三角形.
在△ACD中，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90 .
根据勾股定理,得 所以AC=5.
所以S四边形ABCD S ABC +S ACD =
+30=36.
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
知识点2：勾股数
新知探究
勾股数必须是正整数，例如0.3，0.4，0.5和1虽然满足， 但它们都不是勾股数.
（1）常见的勾股数有：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25； ④6,8,10； ⑤8,15,17； ⑥9,12,15.
（2）勾股数有无数组.
（3）一组勾股数中的各数都乘以相同的正整数可以得到一组新的勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k为正整数）也是一组勾股数.
1. 下列四组数中，是勾股数的是( )
C
A. 1，2，3 B. 4，5，6
C. 9，12，15 D. 1，，
2. 当满足下列条件时， 不是直角三角形的是( )
C
A.
B.
C.
D. ,,
返回
3. 若三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则此三角形中最大的角是( )
B
A. 锐角 B. 直角
C. 钝角 D. 无法确定
返回
（第4题）
4. ［2025西安雁塔区月考］如图，在由
小正方形组成的 网格中，每个小正
方形的顶点称为格点.点，，， ，
，均在格点上，其中点，，，
能与点， 构成一个直角三角形的是
( )
D
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
返回
5.如图，在中，，，， 为直
线上一动点，连接，则线段 的最小值是___.
（第5题）
（第5题）
【点拨】由题意知当时,线段 的长最
小.因为，， ，所以
，所以 ，所以
，即
，解得 .
返回
6.如图，在四边形中， ，
，，,则 的
度数为______.
【点拨】如图，连接 ，因为
， ，所以 是
所以 .
等边三角形，所以， . 因为 ，
，所以 ，所以
，
返回
7.［2025徐州模拟］如图，把一块 土地划出一个
后，测得米，米， 米，
米，其中 .
（1）判断 的形状，并说明理由；
【解】 是直角三角形.理由：因为
，米， 米，
所以 （米）.因为
米，米，所以 ，所以
， 是直角三角形.
（2）求图中阴影部分土地的面积.
图中阴影部分土地的面积
（平方米）.
将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面
积和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，
如角度，三边长度等.
返回
8. 的三边长，， 满足
，则 是( )
D
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
【点拨】由题意得解得 所以
，且.所以 是等腰直角三角形，故选D.
9. ［2025长沙开福区期末］如图，在 的网
格中，每个小正方形的边长为1，点,,, 均在
格点上，是与网格线的交点，则 的长是
( )
B
A. B. C. D.
，解得
，所以 .
返回
勾股定理逆定理的应用
实际应用
勾股数
实际问题构建成数学模型，利用逆定理去求解.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑