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5.3 直角三角形全等的判定教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：5.3 直角三角形全等的判定
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：前面我们学习了一般三角形全等的判定方法，包括 “边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和 “角角边”（AAS）。这些方法适用于所有三角形，但直角三角形是特殊的三角形，它的全等判定是否有更简便的方法呢？
问题提出：直角三角形有一个角是直角（90°），如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形是否全等？这就是本节课要探究的直角三角形特有的全等判定方法。
学习意义：掌握直角三角形全等的判定方法，尤其是 “斜边、直角边” 定理，能简化直角三角形全等的证明过程，提高几何证明的效率，深化对全等三角形判定的理解。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解并掌握直角三角形全等的特殊判定方法 ——“斜边、直角边”（HL）定理；能运用 HL 定理和一般三角形全等判定方法证明两个直角三角形全等。
能力目标：通过动手操作和推理证明，培养观察、分析和逻辑推理能力；能根据具体条件选择合适的方法判定直角三角形全等。
情感目标：在探究直角三角形全等判定的过程中，感受数学的严谨性和特殊性，体会特殊与一般的辩证关系，激发对几何学习的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 直角三角形全等的判定思路
一般方法适用性：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）同样适用于直角三角形。例如，若两个直角三角形的两条直角边分别相等（SAS），或一条直角边和一个锐角分别相等（ASA 或 AAS），则这两个直角三角形全等。
特殊条件探究：直角三角形有一个隐含条件 —— 直角相等（∠C=∠C'=90°），如果已知斜边和一条直角边分别相等，能否判定全等？这需要进一步验证。
实验操作：准备两个直角三角形纸片，使它们的斜边相等，一条直角边相等，观察能否通过叠合使它们完全重合（初步感知全等）。
第 5 页：知识点 2——“斜边、直角边”（HL）定理
定理表述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成 “斜边、直角边” 或 “HL”）。
几何语言：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，若 AB=A'B'，AC=A'C'（或 BC=B'C'），则 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）。
定理说明：HL 定理是直角三角形特有的全等判定方法，其中 “斜边” 是直角所对的边，“直角边” 是构成直角的两条边中的任意一条。该定理不需要再验证第三个条件，因为直角是隐含的相等条件。
第 6 页：知识点 3——HL 定理的证明
证明方法：构造法（将两个直角三角形拼接成一个等腰三角形）。
证明过程：
已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'。
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。
证明：把 Rt△A'B'C' 拼接到 Rt△ABC 的右侧，使 A'C' 与 AC 重合，且点 B' 与点 B 在 AC 的两侧。∵∠ACB=∠ACB'=90°，∴∠BCB'=180°，即点 B、C、B' 在同一条直线上。∵AB=A'B=AB'，∴△ABB' 是等腰三角形。∴∠B=∠B'（等边对等角）。在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠B=∠B'，∠ACB=∠A'C'B'，AB=A'B'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（AAS）。
图形演示：展示拼接过程和等腰三角形的形成，标注对应角和边的关系。
第 7 页：例题 1—— 应用 HL 定理判定全等
例 1：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为 C、D，AC=BD，求证：BC=AD。
解析：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°（垂直的定义），即△ABC 和△BAD 都是直角三角形。在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，AB=BA（公共斜边），AC=BD（已知直角边），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）。
例 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是高，求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD。
解析：∵AD 是高，∴∠ADB=∠ADC=90°（高的定义），即△ABD 和△ACD 都是直角三角形。在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，AB=AC（已知斜边），AD=AD（公共直角边），∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。∴BD=CD，∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应边、对应角相等）。
第 8 页：知识点 4—— 直角三角形全等判定方法的选择
已知条件与方法对应：
已知斜边和一条直角边对应相等→选用 HL 定理。
已知两条直角边对应相等→选用 SAS 定理。
已知一条直角边和一个锐角对应相等→选用 ASA 或 AAS 定理（根据锐角与直角边的位置关系）。
已知三条边对应相等→选用 SSS 定理（适用于所有三角形）。
注意事项：
应用 HL 定理时，必须先明确两个三角形是直角三角形（标注直角符号或说明垂直关系）。
不能将 HL 定理误用为一般三角形的全等判定方法，HL 定理仅适用于直角三角形。
第 9 页：例题 2—— 综合应用判定方法
例 3：如图，∠ACB=∠ADB=90°，E 是 AB 的中点，连接 CE、DE，求证：CE=DE。
解析：∵∠ACB=∠ADB=90°，∴△ABC 和△ABD 都是直角三角形。∵E 是 AB 的中点，∴CE= AB，DE= AB（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。∴CE=DE（等量代换）。（本题可结合直角三角形性质，也可通过全等证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，若添加条件 AC=AD，可证全等后得 CE=DE）
例 4：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为 E、F，DE=BF，求证：AF=CE。
解析：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°（垂直定义）。在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，AB=CD（已知斜边），BF=DE（已知直角边），∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。∴AF=CE（全等三角形的对应边相等）。
第 10 页：知识点 5——HL 定理与其他判定方法的区别
适用范围：HL 定理仅适用于直角三角形，而 SSS、SAS、ASA、AAS 适用于所有三角形。
条件数量：HL 定理只需两个条件（斜边和一条直角边对应相等），而一般方法中 SSS 需要三个边的条件，SAS、ASA、AAS 需要边和角的组合条件。
隐含条件：HL 定理利用了直角三角形的隐含条件（直角相等），因此不需要额外说明角相等；其他方法需要明确给出或证明角相等的条件。
表格对比：
判定方法
适用三角形类型
所需条件
核心依据
HL
直角三角形
斜边和一条直角边对应相等
直角隐含相等
SSS
所有三角形
三条边对应相等
边边边全等
SAS
所有三角形
两边及其夹角对应相等
边角边全等
ASA
所有三角形
两角及其夹边对应相等
角边角全等
AAS
所有三角形
两角及其中一角的对边对应相等
角角边全等
第 11 页：例题 3—— 复杂图形中的全等判定
例 5：如图，在△ABC 中，∠B=90°，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F，E 为 AB 上一点，且 DE=DC。求证：BE=CF。
解析：∵AD 为∠BAC 的平分线，∠B=90°，DF⊥AC，∴DB=DF（角平分线的性质）。在 Rt△BDE 和 Rt△FDC 中，DE=DC（已知斜边），DB=DF（已证直角边），∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）。∴BE=CF（全等三角形的对应边相等）。
第 12 页：课堂练习
练习 1：如图，AC⊥BD，垂足为 O，且 OA=OC，AB=CD，求证：△AOB≌△COD。
练习 2：下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A. 两条直角边对应相等
B. 斜边和一条直角边对应相等
C. 一条直角边和一个锐角对应相等
D. 两个锐角对应相等
练习 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一点，DE⊥AB 于 E，且 DE=DC，求证：BD 平分∠ABC。
第 13 页：知识总结
直角三角形全等判定方法：
一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS（适用于所有三角形）。
特殊方法：HL 定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。
HL 定理几何语言：Rt△中，斜边和直角边对应相等 全等（HL）。
方法选择：根据已知条件灵活选用，斜边和直角边对应相等时优先用 HL 定理。
注意事项：应用 HL 定理需先明确直角三角形，区分直角边和斜边。
第 14 页：课后作业
作业 1：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，求证：∠A=∠D。
作业 2：如图，AB=AC，AD⊥BC 于 D，E、F 分别为 DB、DC 的中点，求证：AE=AF。
作业 3：已知，如图，AE⊥BD，CF⊥BD，AD=BC，BE=DF，求证：AD∥BC。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3 直角三角形全等的判定
第5章 直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但是每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？
（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？
思考：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等吗？
左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的长度BC与EF相等，想测量右边滑梯的高DE，但是没办法直接测量它的高度，你有什么办法？
如图，具有下列条件的Rt△ABC和Rt△DEF（其中∠C=∠F=90°）是否全等？若全等，请说明理由；若不全等，打“×”
①AC=DF，∠A= ∠D; ( )
②AC=DF，BC=EF; ( )
③AB=DE， ∠B=∠E; ( )
④ ∠A= ∠D， ∠B=∠E; ( )
⑤AC=DF，AB=DE. ( )
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
1.文字语言：
知识点．两个直角三角形全等的判定方法——HL（重难点）
2.几何语言：
注：“HL”是直角三角形独有的判定三角形全等的方法．
【题型一】用HL判定两个直角三角形全等
例1：下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
B
变式：如图，已知AB＝AC，添加下列条件能使△ABD≌△ACD的有________．
①∠B＝∠C＝90°；②AD平分∠BAC；③DA平分∠BDC；④BD＝CD.
①②④
【题型二】直角三角形全等判定和性质的综合运用
例2：如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上的一点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，连接BD.若AC＝8 cm，则AD＋DE等于(　　)
A．6 cm　　　 　B．7 cm　　　 　C．8 cm　　　 　D．9 cm
C
例3：如图，∠ACB和∠ADB都是直角，BC＝BD，E是AB上任意一点．
(1)求证：△ACB≌△ADB；(2)求证：CE＝DE.
1. 如图，用“斜边、直角边”判
定和 全等
的条件是( )
C
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
返回
（第2题）
2. 如图， 于点
，于点，若 ，且
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
【点拨】因为于点， 于
点，所以 .在
和中， 所以
（斜边、直角边），所
以 ，所以
.
返回
（第3题）
3. 两个同样大小的直角三角板按如图所
示的方式摆放，其中两条一样长的直角
边交于点，另一直角边， 分别落
在的边和上，且 ，
作射线，则在说明为 的平分
线的过程中，证全等的依据是( )
C
A. 边角边 B. 角边角
C. 斜边、直角边 D. 边边边
（第3题）
【点拨】由题意得.
在和中，
所以 （斜边、直角
边），所以，所以 是
的平分线.
返回
4. 下列不能证明两直角三角形全等的条件是( )
B
A. 三边分别对应相等
B. 两个锐角分别对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等
D. 两条直角边分别对应相等
【点拨】A.三边分别对应相等，利用“边边边”能证明两个直
角三角形全等，故本选项不符合题意；B.两个锐角分别对应
相等，再加上已知的直角相等，由三个角对应相等不能证明
它们全等，故本选项符合题意；C.斜边和一条直角边对应相
等，利用“斜边、直角边”能证明两个直角三角形全等，故本
选项不符合题意；D.两条直角边分别对应相等，再加上已知
的直角相等，利用“边角边”能证明两个直角三角形全等，故
本选项不符合题意.
返回
5. 如图，在和 中，
，添加一个条件，可使用“斜边、直角边”判
定 ，则添加的条件是_________________
_______________.
（答案不唯一）
（第5题）
返回
6.［2025聊城月考］如图所示的网格是正方形网格
（小正方形的边长均为1），图形的各个顶点均在格点上，
则 的度数是____.
（第6题）
返回
7.［2025长沙雅礼教育集团期末］如
图，是的高，是 上一点，
连接,, .
（1）求证： ；
【证明】因为是 的高，
所以 .
在和中，
所以 （斜边、直角边）.
（2）若,，求线段
和 的长.
【解】因为 ，所以
.
因为，所以 .
又因为，所以 ，
所以，所以 .
返回
（第8题）
8. 如图，于点,于点 ,
与交于点,,连接 ，则
图中全等的直角三角形共有( )
B
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
（第8题）
【点拨】因为, ,所以
.
在和中，
所以 （角角边）,所以
,.在 和
中， 所以
（斜边、直角边）,
所以,所以易得 .在
和中， 所
以 （边角边）.所以图中
共有3对全等的直角三角形.
（第8题）
返回
（第9题）
9. ［2025西安八十五中期末］如图，
在中，， 平分
.将绕点逆时针旋转
得到，且点在上，点
在的延长线上，与 相交于
点，连接，若，则
( )
B
A. B. C. 4 D.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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