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5.4 角平分线的性质和判定教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：5.4 角平分线的性质和判定
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：前面我们学习了全等三角形的判定、直角三角形全等的判定等知识，还认识了角平分线 —— 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。
问题提出：角平分线上的点具有怎样的特殊性质？反过来，如何判断一个点是否在一个角的平分线上？这就是本节课要探究的角平分线的性质和判定。
学习意义：掌握角平分线的性质和判定，能帮助我们解决几何中的距离计算、角相等证明等问题，在实际生活中如作图、测量等领域也有重要应用。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解角平分线的性质定理（角平分线上的点到角的两边的距离相等）；掌握角平分线的判定定理（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；能运用这两个定理解决几何问题。
能力目标：通过动手操作、观察和推理，培养逻辑推理能力和几何证明能力；能结合图形准确运用定理进行计算和证明。
情感目标：在探究角平分线性质和判定的过程中，感受几何图形的严谨性和对称性，体会 “性质” 与 “判定” 的辩证关系，激发对几何学习的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 角平分线的性质定理探究
操作实验：
步骤 1：画一个角∠AOB，用尺规作出它的平分线 OC。
步骤 2：在 OC 上任取一点 P，过点 P 分别作 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为 D、E。
步骤 3：用刻度尺测量 PD 和 PE 的长度，发现 PD=PE。
多次验证：在 OC 上另取几点重复上述操作，测量结果均显示到角两边的距离相等。
归纳猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
第 5 页：知识点 2—— 角平分线的性质定理
定理表述：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：如图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，∴PD=PE。
推理证明：
已知：OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB。
求证：PD=PE。
证明：∵OC 平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO 和△PEO 中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）。
图形演示：展示角平分线、点到两边的垂线，标注全等三角形的对应元素。
第 6 页：例题 1—— 应用角平分线的性质定理
例 1：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，AB=6cm，AC=4cm，△ABC 的面积为 15cm ，求 DE 的长度。
解析：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线的性质定理）。设 DE=DF=x cm。△ABC 的面积 =△ABD 的面积 +△ACD 的面积 =\(\frac{1}{2}\times AB\times DE + \frac{1}{2}\times AC\times DF=\frac{1}{2}\times6x + \frac{1}{2}\times4x=3x + 2x=5x\)。∵△ABC 的面积为 15cm ，∴5x=15，解得 x=3，即 DE=3cm。
例 2：如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A、B，求证：OA=OB。
解析：∵OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA=PB（角平分线的性质定理）。在 Rt△OPA 和 Rt△OPB 中，OP=OP（公共边），PA=PB（已证），∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴OA=OB（全等三角形的对应边相等）。
第 7 页：知识点 3—— 角平分线的判定定理探究
逆向思考：如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点是否在这个角的平分线上？
操作验证：
步骤 1：画一个角∠AOB，在角内部取一点 P，使 P 到 OA、OB 的距离相等（PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB）。
步骤 2：连接 OP，测量∠AOP 和∠BOP 的度数，发现∠AOP=∠BOP，即 OP 是∠AOB 的平分线。
归纳猜想：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
第 8 页：知识点 4—— 角平分线的判定定理
定理表述：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
几何语言：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD=PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上（或 OP 平分∠AOB）。
推理证明：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，PD=PE。
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。
证明：连接 OP。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，PD=PE（已知），OP=OP（公共边），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等），∴OP 是∠AOB 的平分线，即点 P 在∠AOB 的平分线上。
图形演示：展示点到角两边的距离相等，证明该点在角平分线上的过程。
第 9 页：例题 2—— 应用角平分线的判定定理
例 3：如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且 DE=DF，求证：AB=AC。
解析：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴点 D 在∠BAC 的平分线上（角平分线的判定定理），∴∠BAD=∠CAD。∵D 是 BC 的中点，∴BD=CD。在△ABD 和△ACD 中，∠BAD=∠CAD，∠BED=∠CFD=90°（可证∠B=∠C），或用 AAS：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC。
例 4：如图，AB=CD，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为 B、C，E 是 BC 的中点，求证：∠AED=90°。
解析：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B=∠C=90°。∵E 是 BC 的中点，∴BE=CE。在 Rt△ABE 和 Rt△DCE 中，AB=CD，BE=CE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴AE=DE，∠BAE=∠CDE。∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CDE+∠AEB=90°，∴∠AED=180° (∠AEB+∠DEC)=180° 90°=90°。（本题可结合全等和角的关系，也可通过判定 AE 平分角等方法）
第 10 页：知识点 5—— 性质与判定的区别与联系
区别：
性质定理：已知点在角平分线上，推出该点到角两边的距离相等（“点在平分线上→距离相等”）。
判定定理：已知点到角两边的距离相等，推出该点在角的平分线上（“距离相等→点在平分线上”）。
联系：
两者互为逆定理，共同刻画了角平分线的本质特征。
性质定理用于证明线段相等（距离相等），判定定理用于证明点在角平分线上或某射线是角平分线。
表格对比：
定理类型
条件
结论
应用场景
性质定理
点在角平分线上，且到两边的距离垂直
到角两边的距离相等
证明线段相等
判定定理
点到角两边的距离相等，且距离垂直于两边
点在角的平分线上
证明点的位置或角平分线
第 11 页：例题 3—— 综合应用性质与判定
例 5：如图，在△ABC 中，∠B=∠C，点 D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F。求证：AD 平分∠BAC。
解析：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°。∵∠B=∠C，BD=CD（D 是 BC 中点），∴△DEB≌△DFC（AAS），∴DE=DF。∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴点 D 在∠BAC 的平分线上（角平分线的判定定理），即 AD 平分∠BAC。
例 6：如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 的中点，DM 平分∠ADC，求证：AM 平分∠DAB。
解析：过点 M 作 ME⊥AD 于 E。∵DM 平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，∴MC=ME（角平分线的性质定理）。∵M 是 BC 的中点，∴MB=MC，∴MB=ME。∵∠B=90°，ME⊥AD，∴点 M 在∠DAB 的平分线上（角平分线的判定定理），即 AM 平分∠DAB。
第 12 页：知识点 6—— 角平分线的实际应用
作图问题：用尺规作一个角的平分线（依据：到角两边距离相等的点在角平分线上）。
选址问题：如图，要在三条公路围成的区域内建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，中转站应建在三个角的平分线的交点处（三角形内心）。
测量问题：测量一个角的平分线，通过测量角平分线上一点到两边的距离验证性质。
第 13 页：课堂练习
练习 1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，若 DE=3cm，AC=8cm，求△ADC 的面积。
练习 2：如图，点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，PD=PE，求证：OP 平分∠AOB。
练习 3：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，且 CD=5cm，求点 D 到 AB 的距离。
第 14 页：知识总结
角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等（点在平分线上→距离相等）。
角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上（距离相等→点在平分线上）。
关系：互为逆定理，性质证线段相等，判定证点在平分线上。
应用要点：明确 “距离” 是指点到角两边的垂线段长度，应用时需有垂直条件。
第 15 页：课后作业
作业 1：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，求证：AD 垂直平分 EF。
作业 2：如图，AB∥CD，∠B=90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC，求证：AE 平分∠DAB。
作业 3：在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，求证：点 O 到三边 AB、BC、AC 的距离相等。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.4 角平分线的性质和判定
第5章 直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
挑战第一关 情境引入
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分
线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
提炼图形
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=
DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
尺规作角的平分线
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点N．
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？
O
Ｏ
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：连接CM,CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
自学检测：
　如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂线。怎么画呢？
自学检测：
若点Ｃ在Ｌ外呢？互相交流一下，看这个问题能不转化为“画线段垂直平分线”的问题呢？
自学检测：
复习引入
1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
B
C
A
1
2
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 .
线段PC的长
P
l
A
B
C
D
3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 .
A
A
P
P
l1
l2
l1
l2
图1
图2
图1
角平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
P
A
O
B
C
D
E
PD=PE
作图探究
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
典例精析
例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
A
O
B
M
N
P
解：在△MOP和△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴△MOP≌△NOP（HL）.
∵△MOP≌△NOP，
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
验证猜想
已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
典例精析
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
典例精析
（第1题）
1. 如图，为 的平分线，
，，垂足分别是, ,则
下列结论不一定正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
（第2题）
2. 如图，是 的角平分线，且
，则与 的面
积之比为( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在中， ，
，是上一点，连接 ，
于点，于点 .若
，则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.［2024湖南］如图，在锐角三角形
中，是边上的高，在，
上分别截取线段，，使 ；
分别以点，为圆心，大于 的长为
半径画弧，在内，两弧交于点 ，
6
作射线，交于点，过点作于点 .若
，，则 ___.
【点拨】由作图步骤可知平分.又因为是边 上
的高，，，所以 又因为
，所以.所以 .
（第4题）
返回
5. 如图，在中， , 平分
交于点,且,,是 上一动点，连
接,则 的最小值为___.
2
（第5题）
（第5题）
【点拨】当时， 有最小值.
因为， ，所以
.因为平分 ，
， ，所以
，所以 的最小值为2.
返回
（第6题）
6.［2025泰安月考］如图，已知 是
内一点（其中 ），
于点，于点 .若
，则 的度数是____.
【点拨】由题易知是的平分线.因为 ，
，所以 ，所以
.所以易知
.
返回
7.如图，， .
求证：平分 .
【证明】如图，过点作， ，
垂足分别为，，则 .
因为 ， ，
所以 . 在和 中，
所以（角角边）.所以 .
所以为的平分线,即平分 .
返回
8. 如图，，交的延长线于点 ，
于点，若， ，则
下列结论：；平分 ；
； ，
其中正确的结论序号是( )
D
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
9.［2025宿州校级模拟］如图，钝角三角形 的面积为14，
最长边，平分，，分别是， 上的动
点，则 的最小值为___.
4
（第9题）
返回
10.［2025宁波月考］如图，，， 分别平分
，，过点，且与垂直，若 ，
，则四边形的面积是____ .
40
（第10题）
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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