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第 1 章 因式分解章末复习教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：第 1 章 因式分解章末复习
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：本章知识框架
核心概念：因式分解的定义 —— 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆运算，如\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)是整式乘法，\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)是因式分解。
主要方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法（选学）。
应用场景：简化计算、解决方程问题、代数式求值等。
第 3 页：复习目标
知识目标：巩固因式分解的概念，明确其与整式乘法的区别与联系；熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解方法；能根据多项式特点选择合适的方法进行因式分解。
能力目标：提高观察多项式结构特征的能力，增强选择恰当方法分解因式的能力；培养综合运用知识解决问题的能力。
情感目标：体会数学知识的逻辑性和连贯性，感受因式分解在简化运算中的作用，增强学习数学的兴趣和信心。
第 4 页：知识点 1—— 因式分解的概念
定义解析：因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积的形式，且每个整式的次数都不高于原多项式的次数。
关键特征：
分解前后式子的大小不变（恒等变形）。
结果必须是整式的积，不能含有和或差的形式。
辨析示例：
是因式分解的式子：\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)、\(2x + 4=2(x + 2)\)。
不是因式分解的式子：\((x + 3)(x - 3)=x^2 - 9\)（整式乘法）、\(x^2 + 2x + 1=x(x + 2)+1\)（结果不是积的形式）。
第 5 页：例题 1—— 判断因式分解
例 1：下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. \((x + 2)(x - 2)=x^2 - 4\)
B. \(x^2 - 2x + 1=x(x - 2)+1\)
C. \(m^2 - 4m + 4=(m - 2)^2\)
D. \(x^2 + 3x + 1=x(x + 3 + \frac{1}{x})\)
解析：
A 选项是整式乘法，不是因式分解。
B 选项结果是和的形式，不是整式积的形式，不是因式分解。
C 选项符合因式分解的定义，是因式分解。
D 选项中含有分式\(\frac{1}{x}\)，不是整式，不是因式分解。
答案：C
第 6 页：知识点 2—— 提公因式法
公因式定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
确定公因式的方法：
系数：取各项系数的最大公约数。
字母：取各项都含有的相同字母。
指数：取相同字母的最低次幂。
提公因式法步骤：
第一步：确定多项式各项的公因式。
第二步：将公因式提出来，把多项式化为公因式与另一个多项式的积的形式，即\(ma + mb + mc=m(a + b + c)\)。
示例分析：分解因式\(6x^2y + 9xy^2\)，公因式是\(3xy\)，则\(6x^2y + 9xy^2=3xy(2x + 3y)\)。
第 7 页：例题 2—— 提公因式法分解因式
例 2：分解下列因式。
（1）\(8a^3b^2 - 12ab^3c\)
解析：公因式为\(4ab^2\)，则原式\(=4ab^2(2a^2 - 3bc)\)。
（2）\(-6x^3 - 10x^2 + 2x\)
解析：公因式为\(-2x\)，注意符号变化，原式\(=-2x(3x^2 + 5x - 1)\)。
（3）\(3a(x - y) - 6b(y - x)\)
解析：先变形\(y - x=-(x - y)\)，则原式\(=3a(x - y)+6b(x - y)=3(x - y)(a + 2b)\)。
（4）\(x(x - y)^2 - y(y - x)^2\)
解析：\((y - x)^2=(x - y)^2\)，公因式为\((x - y)^2\)，原式\(=(x - y)^2(x - y)=(x - y)^3\)。
第 8 页：知识点 3—— 公式法（平方差公式）
平方差公式：\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
适用条件：多项式是二项式，且两项都能写成平方的形式，两项的符号相反。
步骤总结：
第一步：判断多项式是否符合平方差公式的特征。
第二步：将多项式写成\(a^2 - b^2\)的形式，确定\(a\)和\(b\)。
第三步：应用公式分解为\((a + b)(a - b)\)。
示例分析：分解因式\(4x^2 - 9y^2\)，可写成\((2x)^2-(3y)^2\)，则\(4x^2 - 9y^2=(2x + 3y)(2x - 3y)\)。
第 9 页：例题 3—— 平方差公式分解因式
例 3：分解下列因式。
（1）\(25m^2 - 16n^2\)
解析：\(25m^2=(5m)^2\)，\(16n^2=(4n)^2\)，原式\(=(5m + 4n)(5m - 4n)\)。
（2）\((x + 2)^2 - 9\)
解析：\(9=3^2\)，原式\(=(x + 2 + 3)(x + 2 - 3)=(x + 5)(x - 1)\)。
（3）\(a^3 - ab^2\)
解析：先提公因式\(a\)，得\(a(a^2 - b^2)\)，再用平方差公式，原式\(=a(a + b)(a - b)\)。
（4）\(1 - (x - y)^2\)
解析：\(1=1^2\)，原式\(=[1 + (x - y)][1 - (x - y)]=(1 + x - y)(1 - x + y)\)。
第 10 页：知识点 4—— 公式法（完全平方公式）
完全平方公式：\(a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2\)，\(a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2\)，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
适用条件：多项式是三项式，其中两项能写成平方的形式且符号相同，第三项是这两个数乘积的 2 倍（或 - 2 倍）。
步骤总结：
第一步：判断多项式是否符合完全平方公式的特征。
第二步：将多项式写成\(a^2\pm2ab + b^2\)的形式，确定\(a\)和\(b\)。
第三步：应用公式分解为\((a\pm b)^2\)。
示例分析：分解因式\(x^2 + 6x + 9\)，可写成\(x^2 + 2 x 3 + 3^2\)，则\(x^2 + 6x + 9=(x + 3)^2\)。
第 11 页：例题 4—— 完全平方公式分解因式
例 4：分解下列因式。
（1）\(x^2 + 10x + 25\)
解析：\(x^2 + 2 x 5 + 5^2=(x + 5)^2\)。
（2）\(4a^2 - 12ab + 9b^2\)
解析：\((2a)^2-2 2a 3b + (3b)^2=(2a - 3b)^2\)。
（3）\(-x^2 + 4xy - 4y^2\)
解析：先提负号，得\(-(x^2 - 4xy + 4y^2)\)，再用完全平方公式，原式\(=-(x - 2y)^2\)。
（4）\((a + b)^2 - 10(a + b) + 25\)
解析：把\(a + b\)看作一个整体，原式\(=(a + b - 5)^2\)。
第 12 页：知识点 5—— 因式分解的一般步骤
步骤总结：
第一步：提公因式，如果多项式的各项有公因式，先把公因式提出来。
第二步：用公式，观察提公因式后的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合，用公式法继续分解。
第三步：查彻底，检查分解后的每个因式是否还能继续分解，直到不能再分解为止。
注意事项：
分解因式要彻底，每个因式都必须是不能再分解的整式。
若多项式首项系数为负数，通常先提出负号，使括号内首项系数为正数。
示例分析：分解因式\(3x^3 - 12x\)，先提公因式\(3x\)得\(3x(x^2 - 4)\)，再用平方差公式得\(3x(x + 2)(x - 2)\)，此时每个因式都不能再分解。
第 13 页：例题 5—— 综合运用方法分解因式
例 5：分解下列因式。
（1）\(2x^2 - 8\)
解析：先提公因式\(2\)，得\(2(x^2 - 4)\)，再用平方差公式，原式\(=2(x + 2)(x - 2)\)。
（2）\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4\)
解析：先看作完全平方公式，得\((a^2 - b^2)^2\)，再用平方差公式分解，原式\(=(a + b)^2(a - b)^2\)。
（3）\(x^2(x - y)+(y - x)\)
解析：先变形\(y - x=-(x - y)\)，提公因式\((x - y)\)得\((x - y)(x^2 - 1)\)，再用平方差公式，原式\(=(x - y)(x + 1)(x - 1)\)。
（4）\(3a^2 - 6ab + 3b^2 - 12c^2\)
解析：先提公因式\(3\)得\(3(a^2 - 2ab + b^2 - 4c^2)\)，括号内前三项用完全平方公式得\(3[(a - b)^2 - (2c)^2]\)，再用平方差公式，原式\(=3(a - b + 2c)(a - b - 2c)\)。
第 14 页：知识点 6—— 因式分解的应用
应用场景 1：简化计算，如计算\(101^2 - 99^2\)，用平方差公式分解得\((101 + 99)(101 - 99)=200 2 = 400\)。
应用场景 2：解决方程问题，如解方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，分解因式得\((x - 2)(x - 3)=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。
应用场景 3：代数式求值，如已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2 + b^2\)，由\(a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab=25 - 6 = 19\)。
应用场景 4：判断整除性，如证明\(n^3 - n\)能被 6 整除，分解因式得\(n(n - 1)(n + 1)\)，三个连续整数中必有一个偶数和一个 3 的倍数，故能被 6 整除。
第 15 页：例题 6—— 因式分解的应用
例 6：计算\(2025^2 - 2024^2\)。
解析：用平方差公式分解，原式\(=(2025 + 2024)(2025 - 2024)=4049 1 = 4049\)。
例 7：已知\(x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0\)，求\(x + y\)的值。
解析：
步骤 1：将式子变形为\(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 0\)。
步骤 2：用完全平方公式分解，得\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0\)。
步骤 3：因为平方数非负，所以\(x - 2 = 0\)，\(y + 3 = 0\)，解得\(x = 2\)，\(y=-3\)。
步骤 4：\(x + y=2 + (-3)=-1\)。
例 8：若多项式\(x^2 + mx + 16\)能分解成两个一次因式的积，求\(m\)的值。
解析：因为\(16=1 16=2 8=4 4=(-1) (-16)=(-2) (-8)=(-4) (-4)\)，所以\(m=1 + 16=17\)或\(m=2 + 8=10\)或\(m=4 + 4=8\)或\(m=-1 + (-16)=-17\)或\(m=-2 + (-8)=-10\)或\(m=-4 + (-4)=-8\)，即\(m=\pm8\)，\(\pm10\)，\(\pm17\)。
第 16 页：易错点总结
提公因式不彻底：公因式未提尽，如\(4x^2 - 8x=2x(2x - 4)\)（错误，应为\(4x(x - 2)\)）。
符号错误：提负号时括号内各项未变号，如\(-x^2 + 2x=-x(x + 2)\)（错误，应为\(-x(x - 2)\)）。
公式应用错误：混淆平方差公式和完全平方公式，或不符合公式条件强行应用，如 (x^2 + y^2=(x
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第1章 因式分解
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 把一个多项式表示成若干个多项式的　 形式，
称为把这个多项式_________，也称为__________；
2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______：
前者是把一个多项式化为几个多项式的______，
后者是把几个多项式的______化为一个________.
一、因式分解
因式分解
乘积
分解因式
多项式的乘法
相反
多项式
乘积
乘积
二、提公因式法
1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个
多项式各项的________，简称多项式的________.
2. 公因式的确定：
(1)系数：取多项式各项整数系数的 ；
(2)字母：取多项式各项中　 　的字母；
(3)各字母的指数：取次数最　 　的．
公因式
公因式
最大公因数
相同
最低
3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把
_______提到括号外边，作为积的一个_____，这
种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法.
分配
公因式
因式
三、公式法 —— 平方差公式
1. 因式分解中的平方差公式 a2 - b2 ＝　 　 ；
2. 多项式的特征：(1) 可化为____个整式；
(2) 两项符号______；
(3) 每一项都是整式的______.
3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；
(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止.
( a + b )( a - b )
两
相反
平方
四、公式法 —— 完全平方公式
1.完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2，
a2 - 2ab + b2 = ( )2.
2.多项式的特征：(1)三项式；
(2)有两项符号_____，能写成两个
整式的_________的形式；
(3)另一项是这两整式______的
_____倍.
3.注意事项：有公因式时，应先提出_______.
a + b
a - b
相同
平方和
乘积
2
公因式
考点一 因式分解与整式乘法的关系
例1 判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由：
(1) a2 - 4 + 3a = ( a + 2 )( a - 2 ) + 3a；
(2) ( a + 2 )( a - 5 ) = a2 - 3a - 10；
(3) x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2；
(4) 3x2 - 2xy + x = x( 3x - 2y )2.
【总结】①多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件：第一，等式的左边是一个多项式；第二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；②判断过程要从左到右保持恒等变形.
不是
不是
是
不是
不是积的形式
是整式乘法
不是恒等变形
考点二 提公因式法因式分解
例2 分解因式：
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
(2) 2a(b + c) - 3(b + c)；
(3) (a + b)(a - b) - a - b.
解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2 + 3bc).
(2) 原式 ＝ (b + c)(2a - 3).
(3) 原式 ＝ (a + b)(a - b - 1)．
方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
1. 把下列多项式因式分解：
针对训练
例3 计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14.
考点三 利用提公因式法求值
解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)＝13×20＝260.
(2) 29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14
＝20.22×(29＋72＋13－14)＝2022.
2. 已知 a = 9 - b，ab = 4，求 a2b ＋ ab2 的值．
解：因为 a = 9 - b，ab = 4，所以 a＋b=9 ，
所以原式 = ab( a＋b )
= 4×9 = 36.
方法归纳 原式提取公因式变形后，将 a＋b 与 ab 作为一个整体代入计算即可得出答案．
针对训练
考点四 平方差公式因式分解
例4 分解因式：
(1) ( a ＋ b )2 － 4a2； (2) 9( m ＋ n )2 － ( m － n )2.
解：(1) 原式 ＝ ( a ＋ b ＋ 2a )( a＋b－2a )
＝ ( 3a＋b )( b －a ).
(2) 原式 ＝ ( 3m ＋ 3n ＋ m － n )( 3m ＋ 3n － m ＋ n)
＝ ( 4m ＋ 2n )( 2m ＋ 4n )
＝ 4( 2m ＋ n )( m ＋ 2n ).
3. 已知 x2 － y2 ＝－1，x ＋ y ＝ ，求 x － y 的值．
解：因为 x2 － y2 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) ＝ －1，
x ＋ y ＝ ，
所以 x － y ＝ －2.
针对训练
4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm，向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积
的差，
而正方形的面积是其边长的平方，
则S阴影＝( 1002 - 992 ) + ( 982 - 972 ) + … + ( 22 - 12 )
＝100 + 99 + 98 + 97 + … + 2 + 1 ＝ 5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
考点五 完全平方公式因式分解
例5 因式分解：
(1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2)( a2 + 4 )2 - 16a2.
解：(1) 原式 ＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 )
＝ - 3a2( x - 4 )2.
(2) 原式 ＝ ( a2 + 4 )2 - ( 4a )2
＝ (a2 + 4 + 4a)( a2 + 4 - 4a )
＝ ( a + 2 )2( a - 2 )2.
5. 已知 a + b = 5，ab = 10，求 a3b + a2b2 + ab3 的值．
解： a3b + a2b2 + ab3 ＝ ab( a2 + 2ab + b2 )
＝ ab( a + b )2.
当 a + b ＝ 5，ab ＝ 10 时，
原式＝ ×10×52 ＝ 125.
考点1 因式分解
1. 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
2. ［2025汕头月考］若 可以因式分解为
，那么 的值为( )
A. B. 1 C. D. 2
B
返回
3. 如图，两条线段把正方形 分割成边
长分别为， 的两个小正方形，则利用该图
形可以验证因式分解成立的是( )
B
A.
B.
C. D.
返回
4. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是 ，
求另一个因式以及 的值.
解：设另一个因式是 ，
则 ，
即 .
所以
解得
所以另一个因式是,的值是 .
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式有一个因式是 ，
求另一个因式以及 的值；
【解】设另一个因式为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
所以所以， .
所以另一个因式为， 的值为9.
（2）若二次三项式有一个因式是，求
的值.
设另一个因式为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
所以，.所以 .
返回
考点2 用提公因式法和公式法分解因式
5. ［2025淄博月考］多项式; ;
; .在分解因式后，结果含有相
同因式的是( )
A
A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ②③
【点拨】 ，
， ，
，所以①④含有相同因式.
返回
6. 教材P4习题 下列因式分解正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
7.因式分解.
（1） ;
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） .
令,则原式 .
将代入，得原式 .
返回
考点3 因式分解的应用
8. 已知，，则代数式
的值是( )
D
A. 2 B. C. 15 D.
【点拨】因为，， ，
所以 .
返回
9. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数
的平方差，那么称这个正整数为“相数”.如： ，
， .下列各数中不是“相数”的是
( )
B
A. 32 B. 34 C. 40 D. 48
【点拨】设两个连续奇数中较小的奇数为 ,则较大的奇
数为,其中为正整数.因为 ,所以“相数”一定是8的
倍数.所以32,40,48均为“相数”,34不是“相数”.
返回
10. 已知，均为正整数且满足 ，则
的最大值是( )
C
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【点拨】根据，得 .
因为，均为正整数，所以或 或
或 解得或或
或 所以 的最大值是9.
返回
11.实数满足 ，则
的值是____.
12.简便计算： .
【解】 .
返回
13.对于任意自然数, 是否能被24整除？
【解】 .
因为为自然数，且 中含有24这个因数，
所以 能被24整除.
返回
14.若一个三角形的三边长分别为,, ，且满足
，试判断该三角形的形状，
并说明理由.
【解】该三角形是等边三角形.理由如下：
因为 ,
所以 .
所以 .
所以且.所以且,即 所
以该三角形是等边三角形.
返回
思想1 整体思想
15.已知，则 的值为___.
4
【点拨】因为，所以原式 .
返回
思想2 数形结合思想
16.［2025永州期末］如图①，六个小图形拼成一个大长方形，
大长方形面积长×宽 ，六个小图形面积
之和 ，可得
等式： .
（1）仿照上面的方法，由图②可得等
式：_____________________________
___________________；
（2）通过以上探究，我们发
现可以利用长方形的面积求因
式分解，那么因式分解：
__________________；
（3）利用（1）所得的等式，解
决以下问题：已知
，
，求
的值.
【解】因为 ，
， ，
所以 ，
， .
返回
因式分解
定义
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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