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第 2 章 分式章末复习教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：第 2 章 分式章末复习
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：本章知识框架
核心概念：分式的定义 —— 形如\(\frac{A}{B}\)（\(A\)、\(B\)是整式，\(B\)中含有字母且\(B\neq0\)）的式子叫做分式。
与分数的关系：分式与分数类似，都由分子、分母和分数线组成，分式是分数的一般形式，分数是分式的特殊情形（分母为常数）。
主要内容：分式的基本性质、分式的乘除运算、分式的加减运算、分式的混合运算、分式方程及应用。
应用场景：解决实际问题中的比例关系、工程问题、行程问题等。
第 3 页：复习目标
知识目标：巩固分式的概念及基本性质；熟练掌握分式的乘除、加减及混合运算方法；理解分式方程的概念，能正确解分式方程并检验；能运用分式知识解决实际问题。
能力目标：提高分式运算的准确性和灵活性，增强解分式方程的能力；培养运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
情感目标：体会分式在实际生活中的应用价值，感受数学知识的实用性，增强学习数学的主动性和积极性。
第 4 页：知识点 1—— 分式的概念
定义解析：分式的分子\(A\)可以是任意整式，分母\(B\)必须是含有字母的整式且\(B\neq0\)，这是分式有意义的前提。
关键特征：
分式有意义的条件：分母不为 0，即当\(B\neq0\)时，分式\(\frac{A}{B}\)有意义。
分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0，即当\(A=0\)且\(B\neq0\)时，分式\(\frac{A}{B}\)的值为 0。
辨析示例：
是分式的式子：\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{x - 2}\)、\(\frac{a^2 + b^2}{3a}\)（分母含字母）。
不是分式的式子：\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{x + 3}{5}\)（分母为常数，是整式）。
第 5 页：例题 1—— 分式的意义与值为 0 的条件
例 1：当\(x\)取何值时，分式\(\frac{x - 2}{x + 3}\)有意义？当\(x\)取何值时，该分式的值为 0？
解析：
分式有意义的条件：分母\(x + 3\neq0\)，解得\(x\neq-3\)，即当\(x\neq-3\)时，分式有意义。
分式值为 0 的条件：分子\(x - 2=0\)且分母\(x + 3\neq0\)，由\(x - 2=0\)得\(x=2\)，此时分母\(2 + 3=5\neq0\)，所以当\(x=2\)时，分式的值为 0。
例 2：下列分式中，当\(x=2\)时，分式无意义的是（ ）
A. \(\frac{x - 2}{x}\)
B. \(\frac{x}{x + 2}\)
C. \(\frac{x + 2}{x - 2}\)
D. \(\frac{x}{x - 1}\)
解析：当\(x=2\)时，分别看各选项分母：
A 选项分母\(2\neq0\)，有意义。
B 选项分母\(2 + 2=4\neq0\)，有意义。
C 选项分母\(2 - 2=0\)，无意义。
D 选项分母\(2 - 1=1\neq0\)，有意义。
答案：C
第 6 页：知识点 2—— 分式的基本性质
基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即\(\frac{A}{B}=\frac{A C}{B C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A ·C}{B ·C}\)（\(C\)是不等于 0 的整式）。
核心应用：
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分，约分的依据是分式的基本性质。
分式的通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母。
最简分式与最简公分母：
最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母。
示例分析：约分\(\frac{6x^2y}{9xy^2}\)，分子分母的公因式是\(3xy\)，约分后得\(\frac{2x}{3y}\)；通分\(\frac{1}{x}\)和\(\frac{1}{x + 1}\)，最简公分母是\(x(x + 1)\)，通分后得\(\frac{x + 1}{x(x + 1)}\)和\(\frac{x}{x(x + 1)}\)。
第 7 页：例题 2—— 分式的约分与通分
例 3：约分下列分式。
（1）\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)
解析：分子因式分解为\((x + 2)(x - 2)\)，公因式是\(x + 2\)，约分后得\(x - 2\)。
（2）\(\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 9}\)
解析：分子分解为\((a - 3)^2\)，分母分解为\((a + 3)(a - 3)\)，公因式是\(a - 3\)，约分后得\(\frac{a - 3}{a + 3}\)。
例 4：通分下列分式。
（1）\(\frac{1}{2x^2y}\)和\(\frac{1}{3xy^2}\)
解析：最简公分母是\(6x^2y^2\)，通分后得\(\frac{3y}{6x^2y^2}\)和\(\frac{2x}{6x^2y^2}\)。
（2）\(\frac{x}{x^2 - 4}\)和\(\frac{1}{x + 2}\)
解析：分母\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，最简公分母是\((x + 2)(x - 2)\)，通分后得\(\frac{x}{(x + 2)(x - 2)}\)和\(\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\)。
第 8 页：知识点 3—— 分式的乘除运算
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母，即\(\frac{A}{B} \frac{C}{D}=\frac{A C}{B D}\)。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即\(\frac{A}{B} ·\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \frac{D}{C}=\frac{A D}{B C}\)。
步骤总结：
第一步：把分子和分母分解因式。
第二步：应用乘除法则，将分子相乘、分母相乘（除法需先颠倒除式分子分母）。
第三步：约分，化为最简分式或整式。
示例分析：计算\(\frac{x^2}{y} \frac{y}{x^3}\)，分子相乘得\(x^2 y\)，分母相乘得\(y x^3\)，约分后得\(\frac{1}{x}\)；计算\(\frac{a}{b} ·\frac{a^2}{b^2}\)，等于\(\frac{a}{b} \frac{b^2}{a^2}=\frac{ab^2}{a^2b}=\frac{b}{a}\)。
第 9 页：例题 3—— 分式的乘除运算
例 5：计算下列各式。
（1）\(\frac{3x}{y^2} \frac{y}{6x^2}\)
解析：分子相乘\(3x y = 3xy\)，分母相乘\(y^2 6x^2 = 6x^2y^2\)，约分后得\(\frac{1}{2xy}\)。
（2）\(\frac{x^2 - 9}{x + 2} ·\frac{x - 3}{x + 2}\)
解析：先将除法化为乘法\(\frac{x^2 - 9}{x + 2} \frac{x + 2}{x - 3}\)，分子分解\(x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)\)，约分后得\(x + 3\)。
（3）\(\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1} \frac{a - 1}{a - 2}\)
解析：分子分解\(a^2 - 4a + 4=(a - 2)^2\)，分母分解\(a^2 - 1=(a + 1)(a - 1)\)，原式\(=\frac{(a - 2)^2}{(a + 1)(a - 1)} \frac{a - 1}{a - 2}=\frac{a - 2}{a + 1}\)。
第 10 页：知识点 4—— 分式的加减运算
同分母分式加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即\(\frac{A}{B} ±\frac{C}{B}=\frac{A ±C}{B}\)。
异分母分式加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减，即\(\frac{A}{B} ±\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD} ±\frac{BC}{BD}=\frac{AD ±BC}{BD}\)。
步骤总结：
同分母：直接分子相加减，结果约分。
异分母：先确定最简公分母通分，再按同分母法则计算，最后约分。
示例分析：计算\(\frac{x}{x + 1}+\frac{1}{x + 1}=\frac{x + 1}{x + 1}=1\)；计算\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1}\)，通分后得\(\frac{x + 1}{x(x + 1)}-\frac{x}{x(x + 1)}=\frac{1}{x(x + 1)}\)。
第 11 页：例题 4—— 分式的加减运算
例 6：计算下列各式。
（1）\(\frac{2a}{a + b}+\frac{a - b}{a + b}\)
解析：同分母分式相加，分子相加\(2a + a - b = 3a - b\)，结果为\(\frac{3a - b}{a + b}\)。
（2）\(\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x + 1}\)
解析：异分母分式相减，通分后得\(\frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}-\frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{x + 1 - x + 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2}{x^2 - 1}\)。
（3）\(\frac{x}{x^2 - 4}+\frac{2}{4 - x^2}\)
解析：先变形\(4 - x^2=-(x^2 - 4)\)，则原式\(=\frac{x}{x^2 - 4}-\frac{2}{x^2 - 4}=\frac{x - 2}{x^2 - 4}=\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{1}{x + 2}\)。
第 12 页：知识点 5—— 分式的混合运算
运算顺序：与整式混合运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
步骤总结：
第一步：处理括号内的运算（先通分或约分）。
第二步：进行乘除运算（分解因式后约分）。
第三步：进行加减运算（通分后分子相加减）。
第四步：化简结果，化为最简分式或整式。
注意事项：运算过程中要注意符号变化，及时约分简化计算。
示例分析：计算\((\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1}) ·\frac{1}{x^2 + x}\)，先算括号内得\(\frac{1}{x(x + 1)}\)，再算除法得\(\frac{1}{x(x + 1)} x(x + 1)=1\)。
第 13 页：例题 5—— 分式的混合运算
例 7：计算下列各式。
（1）\((1+\frac{1}{x - 1}) ·\frac{x}{x^2 - 1}\)
解析：先算括号内\(1+\frac{1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 1}{x - 1}=\frac{x}{x - 1}\)，再算除法\(\frac{x}{x - 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=x + 1\)。
（2）\(\frac{a}{a - b}-\frac{b^2}{a(a - b)} ·\frac{a + b}{a}\)
解析：先算除法\(\frac{b^2}{a(a - b)} \frac{a}{a + b}=\frac{b^2}{(a - b)(a + b)}\)，再算减法\(\frac{a}{a - b}-\frac{b^2}{(a - b)(a + b)}=\frac{a(a + b)-b^2}{(a - b)(a + b)}=\frac{a^2 + ab - b^2}{a^2 - b^2}\)。
第 14 页：知识点 6—— 分式方程及应用
分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程步骤：
第一步：去分母，在方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程。
第二步：解整式方程，求出未知数的值。
第三步：检验，把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为 0，则是原分式方程的解；若为 0，则是增根，原方程无解。
实际应用步骤：
第一步：设未知数，找出等量关系。
第二步：根据等量关系列分式方程。
第三步：解分式方程并检验（既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义）。
第四步：写出答案。
示例分析：解方程\(\frac{1}{x - 2}=\frac{3}{x}\)，去分母得\(x = 3(x - 2)\)，解得\(x = 3\)，检验：当\(x = 3\)时，\(x(x - 2)=3 1=3\neq0\)，所以\(x = 3\)是原方程的解。
第 15 页：例题 6—— 分式方程及应用
例 8：解方程\(\frac{x}{x - 1}+\frac{2}{1 - x}=3\)。
解析：
步骤 1：变形\(1 - x=-(x - 1)\)，方程化为 (\frac {x}{x - 1}-\frac {2}{x -
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第2章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 分式的定义：
2. 分式有意义的条件：
g ≠ 0
分式无意义的条件：
g = 0
分式值为 0 的条件：
f = 0 且 g ≠ 0
一、分式的概念及基本性质
设 f 和 g 都是多项式，其中 g 不为 0. 我们把 f 除以 g 的结果记作 ，称 是分式，其中 f 称为分子，g 称为分母.
即对于分式 ，有
分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式（或除以他们的一个不为0的公因式），所得分式与原分式相等.
3.分式的基本性质
分式的符号法则：
1. 分式的乘除法法则
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
2. 分式的加减
(1) 同分母分式相加减 ；
(2) 异分母分式加减时需先通分化为同分母分式再加减. 这个相同的分母叫公分母.
(确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个因式的最高次幂的积为最简公分母)
二、分式的运算
三、整数指数幂
(a ≠ 0，m、n为正整数且m>n).
( a ≠ 0，n 为正整数).
2. 零次幂、负整数指数幂：
1. 同底数幂除法：
3. 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数：
0.00…01
n 个 0
1. 解分式方程的思路：
运用转化思想把分式方程去分母转化成一元一次方程求解.
(3) 验：把一元一次方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么这个解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解；
2. 解分式方程的一般步骤：
(1) 化：方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成一元一次方程；
(2) 解：解这个一元一次方程；
(4) 写解：写出原分式方程的解.
四、分式方程及其应用
3. 列分式方程解应用题的一般步骤：
1. 审清题意；
2. 找等量关系；
3. 设出未知数
4. 列出方程；
5. 解这个分式方程；
6. 检验解的合理性（包括两方面：①是否是分式方程的根； ②是否符合实际情况）；
7. 作答.
考点一 分式的有关概念
例1 如果分式 的值为 0，那么 x 的值为 .
【解析】根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0，列出关于 x 的方程和不等式，求出 x 的值. 由题意可得 x2 - 1 = 0，且 x + 1 ≠ 0，解得 x = 1. 故答案为：1
1
分式有意义的条件是分母不为 0，分式无意义的条件是分母的值为 0；分式的值为 0 的条件是：分子为 0 且分母不为 0.
归纳总结
2. 如果分式 的值为零，那么 a 的值为 .
-2
1. 若分式 无意义，则 x 的值为 .
-3
针对训练
考点二 分式的有关计算
例2 已知 x = 2，y = 10，求 的值.
【分析】一般应先化简分式，再代入字母值求值.
将 x = 2，y = 10 代入得
解：原式 =
原式 =
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
归纳总结
3. 已知 x2 - 5x + 1 = 0，求 的值.
解：因为x2 - 5x + 1 = 0，所以 即
所以
针对训练
考点三 分式方程的解法
例3 解下列分式方程：
解：(1) 方程两边同乘最简公分母 (x + 1)(x - 1)，得
x + 1 + x - 1 = 0，解得 x = 0，
经检验，x = 0 是原分式方程的解.
(2) 方程两边同乘最简公分母 (x + 1)，得
x - 4 = 2x + 2 - 3，解得 x = -3，
经检验，x = -3 是原分式方程的解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为一元一次方程求解．解分式方程一定要注意验根．
归纳总结
解：方程两边同乘最简公分母 (x + 2)(x﹣2)，
得(x﹣2)2 - (x + 2)(x﹣2) = 16，解得 x =﹣2，
检验：x =﹣2时，(x + 2)(x﹣2)=0.
所以x =﹣2不是原分式方程的解，
故原分式方程无解．
针对训练
经检验，x = 4 是原分式
方程的解.且符合题意
例4 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支. 求第一次每支铅笔的进价是多少元.
解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得
解得 x = 4.
答：第一次每支铅笔的进价为 4 元.
考点四 分式方程的实际应用
在实际问题中，列分式方程解题的方法与列一元一次方程解应用题的方法相同，不同之处在于列方式方程解应用题时，既要检验所得解是不是所列分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.
方法总结
5. 某市在道路改造过程中，需要甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设 20 米，且甲工程队铺设 350 米所用的天数与乙工程队铺设 250 米所用的天数相同．问甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？
解：设乙工程队每天能铺设 x 米，则甲工程队每天能
铺设 (x + 20) 米. 依题意，得 ，解得 x = 50.
经检验，x = 50 是原方程的解，且符合题意．x+20=70.
答：甲、乙两个工程队每天各能铺设 70 米，50 米.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5 已知 ，求 的值.
【分析】由已知可以变形为用 b 来表示 a 的形式，
得 ，代入约分即可求值.
解：因为 ，所以 .
所以
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是主元法.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元，那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，从而起到减元和化繁为简的目的.
归纳总结
解：由 ，得 ，
把 代入可得原式 =
6. 已知 ，求 的值.
本题还可以由已知条件设 x = 2m，y = 3m，或整体代入求值.
原式 =
整体代入法
例6 解方程组
【分析】将 看作一个整体，再由 ①+ ② +③ 可得 的值，再分别用该值减去 ①、 ② 、③ 可求出 x、y、z 的值.
解：由 ①+ ② +③，得 ④
由 ④ - ①，④ - ②，④ - ③ 得
所以
归纳拓展：分式方程组的解法也有一定的灵活性，关键是根据每个方程的特点，选择适当的解答方法，特别提倡“一看，二慢，三通过”的好习惯.
7. 若 ab = 1，求 的值.
解：因为 ab = 1，
所以原式 =
考点1 分式的有关概念及基本性质
1. 在，，， 中，分式有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. ［2025上海长宁区月考］分式 ,,,
中是最简分式的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 下列各式从左到右的变形正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4. ［2025常德开学考试］根据分式的性质，可以将分式
为整数 进行如下变形：
，其中 为整数.
结论Ⅰ：依据变形结果可知， 的值可以为0；
结论Ⅱ：若的值为整数，则 的值有3个.
以上两个结论中( )
C
A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对
C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对
【点拨】
，由
化简过程可知，，，所以 .所以
；由题意可知，若的值为整数且 为整数，
则,2,,，所以,1,, ，综上所述，
,, .所以Ⅰ不对,Ⅱ对.
返回
5.［2024安徽］若分式有意义，则实数 的取值范围是
_______.
返回
考点2 分式的运算
6.［2024重庆］计算： .
【解】 .
返回
7.［2024连云港］下面是某同学计算 的解题过程：
解：
上述解题过程是从第几步开始出现错误的？请写出正确的解
题过程.
【解】是从第②步开始出现错误的.正确的解题过程如下：
原式
.
返回
8.［2024烟台］利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如
下： ，若 是其显示结果的平方根，先化简：
，再求值.
【解】 .由题知
.
因为，所以，所以.当 时，
原式 .
返回
考点3 整数指数幂
9. 下列四个数中，最小的数是( )
D
A. B.
C. D.
返回
10. 生物的遗传信息大多储存在 分子上，
分子是由重复的核苷酸单元组成的长聚合物，每个核苷
酸单体长度约为，数“ ”用科
学记数法可表示为___________.
11.计算： .
【解】 .
返回
考点4 分式方程
12.若关于的分式方程的解为非负数,则 的取
值范围是______________.
且
【点拨】去分母,得 ,移项、合并同类项,得
.因为该分式方程的解为非负数，所以 且
,解得且 .
返回
13.如图，点,在数轴上，它们所表示的数分别是, ，
且点,到原点的距离相等，求 的值.
【解】由题意，得,解得 .
检验:当时， ，
所以是原分式方程的根.所以 的值是2.2.
返回
14.［2025郴州期末］关于的方程 的解与方程
的解相同，求 的值.
【解】解方程得 .
经检验, 是该分式方程的解.
由题知是方程的解,所以将 代入方
程 中,得
，解得 ，
经检验,是该分式方程的解.所以 .
返回
分式
分式的定义及运算
分式的定义及有意义的条件等
分式方程
分式方程的应用
步骤
一审二找三设四列五解六检七答，尤其不要忘了检验解的合理性
类型
行程问题、工程问题、销售问题等
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分式方程的解法及求值检验问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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