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第 3 章 二次根式章末复习教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：第 3 章 二次根式章末复习
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：本章知识框架
核心概念：二次根式的定义 —— 形如\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子叫做二次根式，其中\(a\)叫做被开方数。
与算术平方根的关系：二次根式\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）表示\(a\)的算术平方根，是一个非负数，即\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)）。
主要内容：二次根式的性质、二次根式的乘法运算、二次根式的除法运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算及实际应用。
应用场景：解决几何图形中的边长、面积计算，物理中的距离、速度问题等涉及非负数开方的场景。
第 3 页：复习目标
知识目标：巩固二次根式的概念及基本性质；熟练掌握二次根式的乘除、加减及混合运算方法；能将二次根式化为最简形式，理解同类二次根式的概念；能运用二次根式知识解决实际问题。
能力目标：提高二次根式运算的准确性和化简能力，增强运用性质解决问题的灵活性；培养综合运用知识分析和解决实际问题的能力。
情感目标：体会二次根式在数学和实际生活中的应用价值，感受数学知识的严谨性，增强学习数学的兴趣和信心。
第 4 页：知识点 1—— 二次根式的概念
定义解析：二次根式的形式为\(\sqrt{a}\)，其中被开方数\(a\)必须是非负数（\(a\geq0\)），这是二次根式有意义的前提。
关键特征：
二次根式有意义的条件：被开方数\(a\geq0\)，当\(a<0\)时，\(\sqrt{a}\)无意义。
二次根式的值的非负性：\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)），即二次根式的结果是一个非负数。
辨析示例：
是二次根式的式子：\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{x + 1}\)（\(x + 1\geq0\)即\(x\geq-1\)）、\(\sqrt{a^2}\)（\(a^2\geq0\)恒成立）。
不是二次根式的式子：\(\sqrt{-3}\)（被开方数为负数）、\(\sqrt[3]{4}\)（根指数是 3，不是 2）。
第 5 页：例题 1—— 二次根式的意义与非负性
例 1：当\(x\)取何值时，二次根式\(\sqrt{3x - 6}\)有意义？
解析：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即\(3x - 6\geq0\)，解得\(x\geq2\)，所以当\(x\geq2\)时，二次根式\(\sqrt{3x - 6}\)有意义。
例 2：若\(\sqrt{a - 2}+\sqrt{b + 3}=0\)，求\(a + b\)的值。
解析：
因为二次根式具有非负性，即\(\sqrt{a - 2}\geq0\)，\(\sqrt{b + 3}\geq0\)。
两个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0，所以\(a - 2=0\)，\(b + 3=0\)。
解得\(a=2\)，\(b=-3\)，则\(a + b=2 + (-3)=-1\)。
第 6 页：知识点 2—— 二次根式的性质
性质 1：\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
性质 2：\(\sqrt{a^2}=\vert a\vert=\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}\)，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
性质 3：\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} ·\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），即积的算术平方根等于算术平方根的积。
性质 4：\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），即商的算术平方根等于算术平方根的商。
示例分析：
应用性质 1：\((\sqrt{5})^2=5\)，\((\sqrt{x + 1})^2=x + 1\)（\(x\geq-1\)）。
应用性质 2：\(\sqrt{(-3)^2}=\vert-3\vert=3\)，\(\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}=\vert2 - \sqrt{5}\vert=\sqrt{5}-2\)（因为\(2<\sqrt{5}\)）。
应用性质 3：\(\sqrt{12}=\sqrt{4 3}=\sqrt{4} ·\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)。
应用性质 4：\(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)。
第 7 页：例题 2—— 二次根式性质的应用
例 3：计算下列各式。
（1）\((\sqrt{7})^2 - \sqrt{(-4)^2}\)
解析：应用性质 1 和性质 2，原式\(=7-\vert-4\vert=7 - 4=3\)。
（2）\(\sqrt{x^2 - 4x + 4}\)（\(x<2\)）
解析：先因式分解\(x^2 - 4x + 4=(x - 2)^2\)，应用性质 2，因为\(x<2\)，所以原式\(=\vert x - 2\vert=2 - x\)。
（3）\(\sqrt{3a} ·\sqrt{15a}\)（\(a\geq0\)）
解析：应用性质 3，原式\(=\sqrt{3a 15a}=\sqrt{45a^2}=\sqrt{9a^2 5}=3a\sqrt{5}\)。
（4）\(\sqrt{\frac{27}{8}} ·\sqrt{\frac{3}{2}}\)
解析：应用性质 4，原式\(=\sqrt{\frac{27}{8} ·\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{27}{8} \frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\)。
第 8 页：知识点 3—— 最简二次根式
定义：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
被开方数不含分母。
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
化简步骤：
第一步：若被开方数是分数或分式，利用性质 4 分母有理化，去掉分母。
第二步：将被开方数分解因数或因式，把能开得尽方的因数或因式开出来。
示例分析：
化简\(\sqrt{18}\)，\(18=9 2\)，\(9\)是能开得尽方的因数，所以\(\sqrt{18}=\sqrt{9 2}=3\sqrt{2}\)。
化简\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)，分母有理化得\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
化简\(\sqrt{x^3y}\)（\(x\geq0\)，\(y\geq0\)），\(x^3y=x^2 ·xy\)，\(x^2\)能开得尽方，所以\(\sqrt{x^3y}=x\sqrt{xy}\)。
第 9 页：例题 3—— 二次根式的化简
例 4：将下列二次根式化为最简二次根式。
（1）\(\sqrt{48}\)
解析：\(48=16 3\)，\(16\)是开得尽方的因数，原式\(=\sqrt{16 3}=4\sqrt{3}\)。
（2）\(\sqrt{\frac{5}{12}}\)
解析：分母有理化，分子分母同乘\(3\)得\(\sqrt{\frac{15}{36}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\)。
（3）\(\sqrt{a^3b^2}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
解析：\(a^3b^2=a^2b^2 ·a\)，开方得\(ab\sqrt{a}\)。
（4）\(\sqrt{(x^2 - y^2)(x + y)}\)（\(x\geq y\geq0\)）
解析：因式分解\(x^2 - y^2=(x + y)(x - y)\)，则原式\(=\sqrt{(x + y)(x - y)(x + y)}=\sqrt{(x + y)^2(x - y)}=(x + y)\sqrt{x - y}\)。
第 10 页：知识点 4—— 二次根式的乘除运算
乘法法则：\(\sqrt{a} ·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
除法法则：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
步骤总结：
乘法：先按法则将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式。
除法：先按法则将被开方数相除，或进行分母有理化，再化简结果为最简二次根式。
示例分析：
乘法：\(\sqrt{6} ·\sqrt{2}=\sqrt{6 2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)。
除法：\(\sqrt{24} ·\sqrt{3}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，或\(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5} ·\sqrt{10}}{\sqrt{10} ·\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{50}}{10}=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
第 11 页：例题 4—— 二次根式的乘除运算
例 5：计算下列各式。
（1）\(\sqrt{3} \sqrt{15} \sqrt{2}\)
解析：按乘法法则，原式\(=\sqrt{3 15 2}=\sqrt{90}=\sqrt{9 10}=3\sqrt{10}\)。
（2）\(\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{5}} - \sqrt{18} ·\sqrt{2}\)
解析：分别算除法，\(\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{5}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18} ·\sqrt{2}=\sqrt{9}=3\)，则原式\(=2\sqrt{2}-3\)。
（3）\(2\sqrt{xy} \sqrt{\frac{x}{y}} ·\sqrt{2x}\)（\(x>0\)，\(y>0\)）
解析：先算乘法\(2\sqrt{xy} \sqrt{\frac{x}{y}}=2\sqrt{x^2}=2x\)，再算除法\(2x ·\sqrt{2x}=\frac{2x}{\sqrt{2x}}=\sqrt{2x}\)。
第 12 页：知识点 5—— 二次根式的加减运算
同类二次根式定义：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
加减法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（系数相加减，被开方数和根指数不变）。
步骤总结：
第一步：化简，将每个二次根式化为最简二次根式。
第二步：识别，找出同类二次根式。
第三步：合并，将同类二次根式的系数相加或相减。
示例分析：计算\(\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{3}\)，化简得\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2 + 3 - 1)\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)。
第 13 页：例题 5—— 二次根式的加减运算
例 6：计算下列各式。
（1）\(\sqrt{28}+\sqrt{63}-\sqrt{7}\)
解析：化简得\(2\sqrt{7}+3\sqrt{7}-\sqrt{7}=(2 + 3 - 1)\sqrt{7}=4\sqrt{7}\)。
（2）\((\sqrt{50}-\sqrt{18})+\sqrt{200}\)
解析：化简得\((5\sqrt{2}-3\sqrt{2})+10\sqrt{2}=2\sqrt{2}+10\sqrt{2}=12\sqrt{2}\)。
（3）\(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{\frac{1}{32}}\)
解析：化简得\(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{8}=(\frac{4}{8}+\frac{2}{8}-\frac{1}{8})\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{8}\)。
第 14 页：知识点 6—— 二次根式的混合运算
运算顺序：与整式混合运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
乘法公式应用：在乘法运算中，可运用平方差公式\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)和完全平方公式\((a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2\)简化运算（\(a\)、\(b\)可为二次根式）。
步骤总结：
第一步：处理括号内的运算（先化简再加减）。
第二步：进行乘除运算（用公式或法则计算，及时化简）。
第三步：进行加减运算（合并同类二次根式）。
第四步：得到最简结果。
示例分析：计算\((\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)+\sqrt{12} ·\sqrt{3}\)，用平方差公式得\(3 - 4 + 2=-1 + 2=1\)。
第 15 页：例题 6—— 二次根式的混合运算
例 7：计算下列各式。
（1）\((\sqrt{6}-2\sqrt{3}) \sqrt{3}+\sqrt{24} ·\sqrt{2}\)
解析：先算乘法\(\sqrt{6} \sqrt{3}-2\sqrt{3} \sqrt{3}=3\sqrt{2}-6\)，再算除法\(\sqrt{24} ·\sqrt{2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，则原式\(=3\sqrt{2}-6 + 2\sqrt{3}\)。
（2）
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第3章 二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
一、二次根式的概念
1. 形如____(a≥0)的式子叫作二次根式；
2. 二次根式有意义的条件：被开方数（或式）
为 ；
3. 最简二次根式：
(1) 被开方数不含 ；
(2) 被开方数不含 .
非负数（或式）
开得尽方的因数（或因式）
分母
性质1： 具有双重非负性：
性质2：
性质3：
性质4：
性质5：
二、二次根式的性质
≥
≥
a
| a |
-a
a
三、二次根式的乘法和除法
1. 先化简为最简二次根式；
2. 然后合并被开方数相同的二次根式.
四、二次根式的加法和减法
1.乘法法则：
2.除法法则：
五、二次根式的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的.
例1 使代数式 有意义的 x 的取值范围是
.
x≥ 且 x≠3
考点一 二次根式有意义的条件
【解析】分别求出使分式、二次根式有意义的 x 的取值范围，再求出它们解集的公共部分. 根据题意，有
3 - x≠0，2x - 1≥0，解得 x≥ 且 x≠3.
1. 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3
A
2. 若 则（ ）
A. x≥3 B. x≥0
C. 0≤x≤3 D. x 为一切实数
A
针对训练
例2 若 ，求 的值.
解：因为
所以 x－1 = 0，3x + y－1 = 0，解得 x = 1，y = －2.
则
【分析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为 0.
考点二 二次根式的性质
初中阶段主要涉及三种非负式： ≥0，| a |≥0，a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干个非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.
3.若实数 a，b 满足 则 .
1
针对训练
归纳总结
分析：化简此代数式的关键是能准确地判断 a，b 的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
例3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，请化简：
b
a
0
解：由数轴可以确定 a＜0，b＞0，
所以
所以原式= - a - (-a ) + b = b.
4. 若 1< a < 3，化简 的结果
是 .
2
针对训练
解：
当 时，
原式
例4 先化简，再求值： ，其中
考点三 二次根式的化简求值
【分析】：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可.
5. 先化简，再求值： ，其中
解：原式
当 时，原式
针对训练
考点1 二次根式的概念
1. 下列各式中，不属于二次根式的是( )
D
A. B. C. D.
2.若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围为
______.
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考点2 二次根式的性质
3. 如果是一个正整数，那么 可以取到的最小正整数为
( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.已知，则 的取值范围是______.
5.当____时，代数式 取得最小值，这个最小
值为___.
1
返回
考点3 二次根式的运算
6. ［2025深圳月考］下列计算中，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
7. ［2024重庆］已知，则实数 的范围是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
8. 一个直角三角形的两条边分别为
， ，那么这个直角三角形的面积是( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
【点拨】当 是直角边时,这个直角三角形的面积是
；当 是斜边时，另一个直角边为
，这个直角三角形的面积是 .
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9. 如图是乐乐的一次作业，若每道题25分，则乐乐
该次作业的得分为( )
B
A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分
. .
. .
. .
. .
返回
10.［2025佛山月考］计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ;
原式 .
（3） .
原式 .
返回
11. 已知 ，化简
，并赋予 一个你喜欢的值，求出结果.
【解】因为 ，所以原式
.令 ，则原式
.（答案不唯一）
返回
12.［2025成都树德实验中学月考］阅读下面的文字：
因为，即 ，
所以的整数部分为2，小数部分为 .
请解答：已知整数部分是，小数部分是，且 ，
求 的值.
【解】因为，即 ，
所以的整数部分为4，小数部分为 .
所以， ，
因为，所以，解得 .
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考点4 二次根式的应用
13.如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小
正方形的面积分别为， ，重叠部分是一个小
正方形，其面积为2，则空白部分的面积为_________.
【点拨】因为三个小正方形的面积分别为18，
12，2，所以三个小正方形的边长分别为
，， ，所以大正方形
的边长为 ，所以
.
返回
14. 山西剪纸是一门古
老的传统民间艺术，具有明显的地域特
色和极高的艺术价值.为传承这一艺术，
某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作
品的面积在以上.如图是小悦的参赛作品（单位： ）.
（1）通过计算，判断小悦的作品是否符合参赛标准.
【解】 .
因为 ，所以小悦的作品符合参赛标准.
（2）小涵给小悦提出建议：在参赛作
品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更
漂亮，则需要的彩条长度约为多少？
（彩条的宽度忽略不计，参考数据：
）
，
所以需要的彩条长度约为 .
返回
加、减、乘、除运算
二次根式
性质
最简二次根式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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