资源简介

(共47张PPT)
第 4 章 三角形章末复习教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：第 4 章 三角形章末复习
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：本章知识框架
核心知识体系：
三角形的基本概念（定义、构成要素、分类）
三角形的重要线段（中线、高线、角平分线）
三角形的性质（三边关系、内角和、外角性质）
全等三角形（定义、性质、判定方法）
等腰三角形与等边三角形（性质、判定）
线段垂直平分线（性质、判定、作法）
知识联系：三角形的性质是研究全等三角形和特殊三角形的基础，全等三角形的判定为证明线段和角相等提供依据，特殊三角形和线段垂直平分线是三角形知识的延伸应用。
第 3 页：知识点 1—— 三角形的基本概念
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
构成要素：三个顶点、三条边、三个内角。
表示方法：三角形用符号 “△” 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作△ABC。
分类：
按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（至少有两边相等，包括等边三角形）。
第 4 页：知识点 2—— 三角形的重要线段
中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。
高线：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段，三条高线交于一点（垂心），锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部。
角平分线：三角形一个角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，三条角平分线交于一点（内心），内心到三边距离相等。
图形标注：分别展示三角形的中线、高线、角平分线，标注交点和相关性质。
第 5 页：知识点 3—— 三角形的性质
三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。若三角形三边为\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(a ¤b ¤c\)），则\(a + b > c\)。
内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。
外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和等于 360°。
稳定性：三角形具有稳定性，即三边确定后形状和大小不变，四边形不具有稳定性。
第 6 页：例题 1—— 三角形性质应用
例 1：若三角形的两边长分别为 3 和 5，求第三边长\(x\)的取值范围。
解析：根据三角形三边关系，\(5 - 3 < x < 5 + 3\)，即\(2 < x < 8\)。
例 2：在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。
解析：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，由内角和定理得\(2x + 3x + 4x = 180 °\)，\(9x = 180 °\)，\(x = 20 °\)，∴∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。
例 3：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是 AB 边上的高，求证：∠ACD=∠B。
解析：∵∠ACB=90°，∴∠A + ∠B=90°。∵CD 是高，∴∠ADC=90°，∴∠A + ∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）。
第 7 页：知识点 4—— 全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应中线、高线、角平分线相等；周长和面积相等。
判定方法：
SSS（三边对应相等）
SAS（两边及其夹角对应相等）
ASA（两角及其夹边对应相等）
AAS（两角及其中一角的对边对应相等）
HL（直角三角形中斜边和一条直角边对应相等）
注意事项：判定全等时要找准对应边和对应角，SSA 和 AAA 不能判定全等。
第 8 页：例题 2—— 全等三角形判定与性质
例 4：如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠B=∠D。
解析：连接 AC。在△ABC 和△ADC 中，AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）。
例 5：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，求证：BC=EF。
解析：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴BC=EF（全等三角形对应边相等）。
例 6：如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，若 AB=6cm，求△DEB 的周长。
解析：∵AD 平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，AC=AE（角平分线性质和全等）。∵AC=BC，∴BC=AE。△DEB 的周长 = DE + BD + BE=CD + BD + BE=BC + BE=AE + BE=AB=6cm。
第 9 页：知识点 5—— 等腰三角形与等边三角形
等腰三角形：
性质：两腰相等；等边对等角（两底角相等）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边（有两角相等的三角形是等腰三角形）。
等边三角形：
性质：三边相等；三个角都是 60°；每条边上的中线、高线、角平分线互相重合。
判定：三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
含 30° 角的直角三角形：30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
第 10 页：例题 3—— 等腰三角形与等边三角形
例 7：等腰三角形的两边长分别为 5cm 和 10cm，求其周长。
解析：若腰长为 5cm，则三边为 5、5、10，不满足三边关系（5 + 5=10）；若腰长为 10cm，则三边为 10、10、5，周长 = 10 + 10 + 5=25cm。
例 8：如图，在等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上一点，且 CE=CD，求证：DB=DE。
解析：∵△ABC 是等边三角形，D 是中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°。∵CE=CD，∴∠E=∠CDE。∵∠ACB=∠E + ∠CDE=60°，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴DB=DE（等角对等边）。
第 11 页：知识点 6—— 线段垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
判定：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
作法：以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线。
应用：用于作图、证明线段相等、解决选址问题等。
第 12 页：例题 4—— 线段垂直平分线应用
例 9：如图，在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E，若 AB=8cm，BC=5cm，求△BCD 的周长。
解析：∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AD=BD（垂直平分线性质）。△BCD 的周长 = BD + CD + BC=AD + CD + BC=AC + BC=AB + BC=8 + 5=13cm。
例 10：如图，PA=PB，QA=QB，求证：PQ 垂直平分 AB。
解析：∵PA=PB，∴点 P 在 AB 的垂直平分线上（判定定理）。∵QA=QB，∴点 Q 在 AB 的垂直平分线上（判定定理），∴PQ 垂直平分 AB（两点确定一条直线）。
第 13 页：知识点 7—— 角平分线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。
性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
应用：证明线段相等、判定角平分线、解决距离相关问题。
第 14 页：例题 5—— 角平分线应用
例 11：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BD=2CD，AB=10cm，求 AC 的长度。
解析：过 D 作 DE⊥AB 于 E，∵AD 平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=CD。∵BD=2CD，∴BD=2DE。在 Rt△BDE 中，∠B=30°（30° 角对直角边是斜边一半）。在 Rt△ABC 中，∠B=30°，AB=10cm，∴AC= AB=5cm。
例 12：如图，点 O 是△ABC 内一点，且 OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC 于 D，若 OD=2，△ABC 的周长为 20，求△ABC 的面积。
解析：过 O 作 OE⊥AB，OF⊥AC，垂足为 E、F，∵OB、OC 是角平分线，∴OE=OF=OD=2。△ABC 的面积 =△AOB 面积 + △BOC 面积 + △AOC 面积 =\(\frac{1}{2}AB OE + \frac{1}{2}BC OD + \frac{1}{2}AC OF=\frac{1}{2} 2 (AB + BC + AC)=\frac{1}{2} 2 20=20\)。
第 15 页：本章易错点总结
三角形三边关系应用：忽略 “任意” 两边之和大于第三边，判断边长能否构成三角形时出错。
全等三角形对应关系：找错对应边或对应角，导致全等判定错误。
等腰三角形分类讨论：未考虑腰和底的不同情况，或忽略三角形存在的条件。
特殊三角形性质混淆：混淆等腰三角形 “三线合一” 与等边三角形性质，或误用含 30° 角直角三角形的性质。
距离概念理解：对角平分线和垂直平分线中的 “距离” 是垂线段长度理解不清。
第 16 页：综合练习题
练习 1：若一个三角形的三个外角之比为 2:3:4，则这个三角形的三个内角分别是多少？
练习 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 BE=CF，求证：DE=DF。
练习 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，求 AB 和 AC 的长度。
练习 4：如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：AD 垂直平分 EF。
第 17 页：本章总结
核心思想：转化思想（将复杂问题转化为全等或特殊三角形问题）、分类讨论思想（等腰三角形边长、三角形类型等）、数形结合思想（结合图形理解性质和判定）。
学习建议：熟练掌握基本概念和定理，注重几何语言表达，多做综合题提高推理能力，注意规范作图和证明步骤。
知识衔接：本章知识是后续学习四边形、相似三角形等内容的基础，需扎实掌握。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第4章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
考点1 三角形及其相关概念
1.［2025岳阳月考］如图.
（第1题）
（1）在中，，垂足为 ，
则是____边上的高， ______
_____ ；
（2）若平分，交于点 ，则
叫__________________， _____
的角平分线
的角平分线
__________， 叫___________________；
（第1题）
（3）若，则 的中线是____；
（4）若，则 是_______
的中线， 是_______的中线.
返回
2.［2025永州期末］将一副三角板和 按如图所示放
置，直角顶点在边上，，，，四点共线，则
的度数为____.
（第2题）
返回
3.［2025合肥校级模拟］在中，， .
（1）若是整数，求 的长；
【解】由题意得 .
因为，，所以.又因为 是整数，
所以 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.
（2）已知是的中线，若 的周长为17，求
的周长.
因为是的中线，所以 ，
因为的周长为 ，
所以的周长 .
返回
4.如图，已知平分，点是 反向延
长线上的一点，， ，
.求和 的度数.
【解】因为平分， ，所以
.因为 ，所以
.所以 .
.又因为 ，所以 ，所以
返回
考点2 命题与证明
5. 下列句子中，是定义的是( )
A
A. 在正数前面加上符号“-”的数是负数
B. ， 两条直线平行吗
C. 画一个角等于已知角
D. 过一点画已知直线的垂线
返回
6. 下列语句中属于定理的是( )
C
A. 在直线上任取一点
B. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C. 对顶角相等
D. 直线和 垂直吗
7. 对于命题“若，则 ”，试举
一个反例说明它是一个假命题：________________________.
,（答案不唯一）
返回
8.如图，点，分别在线段， 上，连
接，， .现有以下三个论断：
；； .如果
以其中两个论断为条件，另一个论断为结论
构造命题，能够构成___个真命题.
3
【点拨】以①②为条件，③为结论能够构成
真命题，理由如下：因为 ，所以
.又因为 ，所以
，所以，所以 ；
以①③为条件，②为结论能够构成真命题，
理由如下：因为，所以. 因为 ，
所以，所以，所以 ；以②③为
条件，①为结论能够构成真命题，理由如下：
因为，所以 ，所以
. 又因为 ，所以
，所以 .综上,以其中两
个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，
能够构成3个真命题.
返回
考点3 全等三角形的性质与判定
9.［2025北京西城区月考］给出如下定义：两条线段相交于
一点（交点不与端点重合）,连接不同线段的两个端点，再连
接另两个端点所得图形称为“8字形”.如图①，线段与 交
于点,连接和 ,所得图形即为“8字形”.
（1）下列四个图形中，含有“8字形”的有___个.
2
（2）如图②,与交于点,连接和,和 的延长
线交于点,满足 , .
①当 时，判断与 的数量关系；
【解】因为 ,
所以 ,
， .
又因为,所以 .
在和中，
所以.所以 .
②如图③,当 时，求证： .
【证明】如图，在上截取.连接 ，因为
,所以,所以 .
在和中，所以 ,所以
, ,
所以,所以,所以 .
返回
考点4 全等三角形的应用
10. 如图，课外拓展活
动上，老师带领社团成员在不涉水的情
况下测量校内一条小河的宽度
（该段河流两岸互相平行），具体操作
过程如下表：
序号 操作过程
①
②
③
④
请根据上述过程，解答下列问题：
（1）河流的宽度为____ ；
（2）请你根据所学知识，解释该做法的合理性.
【解】由操作过程知 ，
， ，
所以 .
在和 中，
所以，所以 .
返回
考点5 尺规作图
11. 有一个等腰三角形 被墨汁污染了，
现在只有它的底边和 还清楚可见（如图所示）.
（1）请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角
形 （不写画法，保留画图痕迹）；
【解】如图， 即为所求.
（2）在（1）的条件下，如果射线与边相交于点 ，且
射线恰好将 分割成两个等腰三角形，请画出射线
，并求 的度数.
如图，因为，， 都是等腰
三角形，
所以， ,
,
所以 .
又因为 ，所以
.所以 .
返回
考点6 等腰三角形的性质与判定
12. 如图所示，，分别是 的中线和角平
分线，若， ，则 的度数
是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】因为是的中线， ，
又因为是 的角平分线，所以
，所以
.
，所以 ，所以 .
返回
13.在中，,是 边的
中点，连接，,分别是, 边上
的点.
（1）如图①,连接, ,若
,求证： ;
【证明】连接,如图①.因为,是 边
的中点，所以,是 的垂直平
分线.
所以,所以 ,
所以 ,
即 .
因为,所以 ,
所以,所以 .
（2）如图②,若,, 在一条直线上，且
,探究与 之间的数量关系，并说
明理由.
【解】 .理由如下：
连接,如图②.由（1）得 .
因为 ,所以
,
所以和 都是等腰直角三角形，
所以,.在和 中，
所以,所以 .
因为是的中点,所以,所以 .
返回
考点7 等边三角形的性质与判定
14. ［2025衡阳月考］在中， ，
,则 是( )
D
A. 锐角且不等边三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
返回
15.如图，为等边三角形， 为等腰直角三角形，
，则直线与直线相交构成的锐角为____ .
15
（第15题）
【点拨】延长与交于点 ，
如图所示.
因为 为等边三角形，所
以 .因为 为等腰直角三角形，
，所以 ，所以
，所以
,
即直线与直线的夹角为 .
返回
考点8 线段的垂直平分线
16. 如图，， ，则有( )
D
（第16题）
A. 平分
B. 垂直平分
C. 与 互相垂直平分
D. 垂直平分
返回
17.如图，在中， ，点是 上的一点，
，的垂直平分线分别交，于点，，连接 ，
，则 ______.
（第17题）
（第17题）
【点拨】因为， 的垂直平分线
分别交，于点， ，所以
， ，所以
， .因
，所以 .
为 ，
返回
思想1 方程思想
18.［2025广州越秀区期末］如图，在中， ，
，且，则 ____.
（第18题）
（第18题）
【点拨】由题意设 ，
，则
.又因为
，所以 ，
所以 .又
因为，所以 ，解得
，所以的度数是 .
返回
思想2 转化思想
19.如图，的面积为36， ，
点为边上一点，过点分别作 于
，于，若，则 的长为
___.
3
【点拨】连接 ，如图.
由题意得的面积 的面积
的面积.所以 .
返回
思想3 分类讨论思想
20.在中，，的中垂线与 所在直线相交
所得的锐角为 ，则的底角 __________.
或
【点拨】如图①，当 的中垂线与线
段相交时，则可得 .
因为 ，所以
.又因为
，所以
；如图②，
当的中垂线与线段 的延长线相
交时，则可得 ，因为
，所以
.又因为
， ，所以
.综上， 的
度数为 或 .
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑