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第 5 章 直角三角形章末复习教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：第 5 章 直角三角形章末复习
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：本章知识框架
核心知识体系：
直角三角形的基本概念（定义、构成要素、分类）
直角三角形的性质（含 30° 角的直角三角形性质、斜边中线性质）
勾股定理及其逆定理（内容、证明、应用）
直角三角形全等的判定（HL 定理及一般方法）
角平分线的性质和判定（直角三角形中的应用）
线段垂直平分线（与直角三角形结合应用）
知识联系：直角三角形是特殊的三角形，勾股定理揭示了其边的数量关系，逆定理用于判定直角三角形，全等判定为边角关系证明提供依据，特殊性质拓展了应用场景。
第 3 页：知识点 1—— 直角三角形的基本概念
定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形，记作 Rt△。
构成要素：直角顶点、两条直角边、斜边（直角所对的边）。
表示方法：顶点为 A、B、C，其中∠C=90° 的直角三角形记作 Rt△ABC。
分类：
按边分类：普通直角三角形（三边不相等）、等腰直角三角形（两条直角边相等）。
按角分类：含 30° 角的直角三角形、其他直角三角形（锐角为非 30° 的任意角）。
第 4 页：知识点 2—— 直角三角形的性质
角的性质：直角三角形的两个锐角互余（∠A + ∠B=90°）。
边的性质：
勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（\(a^2 + b^2 = c^2\)）。
含 30° 角的直角三角形：30° 角所对的直角边等于斜边的一半（∠A=30° BC= AB）。
等腰直角三角形：两条直角边相等，斜边是直角边的√2 倍（AC=BC AB=√2AC）。
斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（CD 是中线 CD= AB）。
图形标注：展示直角三角形各性质对应的图形，标注边角关系。
第 5 页：例题 1—— 直角三角形性质应用
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，求斜边 AB 的长度。
解析：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC 是 30° 角所对的直角边。根据含 30° 角的直角三角形性质，BC= AB，∴AB=2BC=2×5=10cm。
例 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，若 CD=5cm，求 AB 的长度和∠A + ∠B 的度数。
解析：∵CD 是斜边 AB 上的中线，∴AB=2CD=2×5=10cm（直角三角形斜边中线性质）。∵∠C=90°，∴∠A + ∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
例 3：等腰直角三角形的直角边长为 3cm，求斜边的长度。
解析：设斜边为 c，由勾股定理得\(c^2 = 3^2 + 3^2 = 18\)，∴\(c = 3\sqrt{2}\)cm（等腰直角三角形斜边是直角边的√2 倍）。
第 6 页：知识点 3—— 勾股定理及其逆定理
勾股定理：
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（\(a^2 + b^2 = c^2\)）。
应用：已知两边求第三边、解决实际测量问题（距离、高度等）。
勾股定理的逆定理：
内容：若三角形三边\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形是直角三角形，\(c\)为斜边。
应用：判断三角形是否为直角三角形、证明角为直角。
勾股数：满足\(a^2 + b^2 = c^2\)的三个正整数（如 3,4,5；5,12,13 等）。
第 7 页：例题 2—— 勾股定理及其逆定理应用
例 4：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求斜边 AB 的长度。
解析：由勾股定理得\(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)，∴AB=10cm。
例 5：已知三角形三边长分别为 7cm、24cm、25cm，判断该三角形是否为直角三角形。
解析：∵\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\)，满足勾股定理的逆定理，∴该三角形是直角三角形，且边长为 25cm 的边为斜边。
例 6：如图，一架梯子长 25 米，斜靠在墙上，梯子底端离墙 7 米，梯子顶端下滑 4 米后，底端将向外滑动多少米？
解析：初始时顶端高度\(h_1 = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24\)米，下滑后顶端高度\(h_2 = 24 - 4 = 20\)米，此时底端距离墙\(d_2 = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15\)米，滑动距离 = 15 - 7=8 米。
第 8 页：知识点 4—— 直角三角形全等的判定
一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS（适用于所有三角形）。
特殊方法（HL 定理）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）。
注意事项：应用 HL 定理需先明确直角三角形，区分直角边和斜边。
第 9 页：例题 3—— 直角三角形全等判定
例 7：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为 C、D，AC=BD，求证：BC=AD。
解析：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°。在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，AB=BA（公共斜边），AC=BD（已知直角边），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC=AD（全等三角形对应边相等）。
例 8：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一点，DE⊥AB 于 E，且 DE=DC，求证：BD 平分∠ABC。
解析：∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠DEB=∠C=90°。在 Rt△BDE 和 Rt△BDC 中，BD=BD（公共边），DE=DC（已知），∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），∴∠EBD=∠CBD（全等三角形对应角相等），即 BD 平分∠ABC。
第 10 页：知识点 5—— 角平分线在直角三角形中的应用
性质应用：角平分线上的点到角两边的距离相等（在直角三角形中，可直接利用直角边作为距离）。
判定应用：到角两边距离相等的点在角的平分线上（常用于证明角平分线）。
综合应用：结合直角三角形全等（HL）证明角平分线或线段相等。
示例：在 Rt△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，则 DC=DE，可通过 HL 证明 Rt△ADC≌Rt△ADE。
第 11 页：例题 4—— 角平分线应用
例 9：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 CD=3cm，AB=10cm，求△ABD 的面积。
解析：过 D 作 DE⊥AB 于 E，∵AD 平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=CD=3cm（角平分线性质）。△ABD 的面积 =\(\frac{1}{2} AB DE=\frac{1}{2} 10 3=15\)cm 。
例 10：如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 中点，DM 平分∠ADC，求证：AM 平分∠DAB。
解析：过 M 作 ME⊥AD 于 E，∵DM 平分∠ADC，∠C=90°，∴MC=ME（角平分线性质）。∵M 是 BC 中点，∴MB=MC，∴MB=ME。∵∠B=90°，ME⊥AD，∴点 M 在∠DAB 的平分线上（角平分线判定），即 AM 平分∠DAB。
第 12 页：知识点 6—— 线段垂直平分线与直角三角形
性质结合：线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，在直角三角形中可转化为等腰三角形问题。
作图应用：利用线段垂直平分线作法构造直角三角形或证明边相等。
综合证明：结合直角三角形性质和线段垂直平分线判定证明线段关系。
示例：在 Rt△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 D，则 AD=BD，△BCD 的周长 = AC + BC。
第 13 页：例题 5—— 线段垂直平分线应用
例 11：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，垂足为 E，若∠CAD=20°，求∠B 的度数。
解析：∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD（等边对等角）。设∠B=x，则∠BAD=x，∠BAC=∠BAD + ∠CAD=x + 20°。∵∠C=90°，∴∠BAC + ∠B=90°，即\(x + 20 ° + x = 90 °\)，解得 x=35°，∴∠B=35°。
例 12：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 D，求证：AD=2CD。
解析：连接 BD，∵DE 是 AB 垂直平分线，∴AD=BD。设 CD=x，AC=BC=a，则 AD=BD=a - x。在 Rt△BCD 中，\(BD^2 = CD^2 + BC^2\)，即\((a - x)^2 = x^2 + a^2\)，解得 a=2x，∴AD=a - x=2x - x=x？（修正：等腰直角三角形 AC=BC，设 AC=BC=1，则 AB=√2，AE=√2/2，AD=BD，∠A=45°，∠ABD=45°，∠CBD=45°，CD=BD×sin45°=AD×√2/2，AD + CD=1，解得 AD=2 - √2，CD=√2 - 1，AD=2CD）
第 14 页：知识点 7—— 实际应用与综合问题
测量问题：利用勾股定理测量高度、距离、深度等（如旗杆高度、河宽）。
最短路径问题：立体图形表面两点最短路径，展开为平面后用勾股定理计算。
几何综合证明：结合全等、角平分线、垂直平分线等知识证明线段或角的关系。
方程思想：设未知数，利用勾股定理列方程解决动态或含参数问题。
第 15 页：例题 6—— 综合应用问题
例 13：如图，长方体盒子长、宽、高分别为 8cm、6cm、10cm，点 A 在底面顶点，点 B 在顶面对角顶点，求 A 到 B 的表面最短路径。
解析：展开三种方式：①长 + 宽 = 14，高 = 10，路径 =\(\sqrt{14^2 + 10^2}=\sqrt{396}\)；②长 + 高 = 18，宽 = 6，路径 =\(\sqrt{18^2 + 6^2}=\sqrt{360}\)；③宽 + 高 = 16，长 = 8，路径 =\(\sqrt{16^2 + 8^2}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}\)cm（最短）。
例 14：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点 P 从 C 出发沿 CA 向 A 运动，速度 1cm/s，点 Q 从 C 出发沿 CB 向 B 运动，速度 2cm/s，同时出发，几秒后 PQ=6cm？
解析：设 t 秒后 PQ=6cm，PC=t，QC=2t，由勾股定理得\(t^2 + (2t)^2 = 6^2\)，\(5t^2=36\)，\(t=\frac{6\sqrt{5}}{5}\)秒。
第 16 页：本章易错点总结
勾股定理应用错误：混淆直角边和斜边，计算时将斜边当作直角边代入。
HL 定理误用：在非直角三角形中使用 HL 定理，或未明确直角条件。
30° 角性质混淆：误将斜边当作 30° 角所对直角边，或反之。
距离概念不清：对角平分线和垂直平分线中的 “距离” 是垂线段理解错误。
分类讨论遗漏：等腰直角三角形或含参数问题中未考虑多种情况。
第 17 页：综合练习题
练习 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，求 AC 和 BC 的长度。
练习 2：已知三角形三边为 n 1，2n，n +1（n>1），证明该三角形是直角三角形。
练习 3：如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BD=2CD，AB=10，求 AC。
练习 4：长方体长 5、宽 4、高 3，求表面从一个顶点到相对顶点的最短路径。
第 18 页：本章总结
核心思想：数形结合（边与角的数量关系）、转化思想（立体转平面）、分类讨论（多解问题）、方程思想（动态问题）。
知识重点：勾股定理及逆定理是核心，HL 定理是直角三角形全等的特殊判定，特殊角性质拓展应用场景。
学习建议：强化定理理解和记忆，多画图分析几何关系，注重综合题训练，规范证明步骤和几何语言。
知识衔接：本章为后续学习解直角三角形、圆等内容奠定基础，需熟练掌握。
2025-2026学年湘教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第5章 直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
考点1 直角三角形的性质与判定
（第1题）
1. 如图是脊柱侧弯的检测
示意图，在体检时为方便测出角
的大小，需将 转化为与它相等的角，
则图中与 相等的角是( )
B
A. B. C. D.
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（第2题）
2. ［2025长沙芙蓉中学期末］如图，在
中， ，若 ，
以点为圆心，任意长为半径画弧，交 ，
于点，，再分别以， 为圆心，大
C
A. B. C. D.
于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交 于点
，则 的度数为 ( )
（第2题）
【点拨】在 中，
， ，所以
.由作图可
知：平分 ，所以
，
所以 ,故选C.
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3.如图，在中， ,
是边上的一点，且 ，求
证： 是直角三角形.
【证明】因为 ,所以 .
因为,所以 .
所以 是直角三角形.
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考点2 直角三角形斜边上中线的性质
4. 教材P187复习题 如图，在
中， ， ，
为的中点，则 ____.
【点拨】因为 ,为的中点，所以 ,
所以 ,所以
.
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考点3 含 角的直角三角形的性质
（第5题）
5. 如图，
，点在射线 上，且
，，分别是射线， 上
的动点，当 的值最小时，
___.
3
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考点4 勾股定理及其逆定理
（第6题）
6. 《九章算术》是我国古代最重
要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道
“折竹抵地”问题.对这个问题稍作改编，如图，在
中， ， ，
，则 的长为___.
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7.如图，有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军派
甲、乙两艘巡逻艇立即从相距的， 两个基地前去
拦截，后同时到达 地将其拦截.已知甲巡逻艇的速度为
，乙巡逻艇的速度为 ，且乙巡逻艇的
航向为北偏西 ，求甲巡逻艇的航向.
【解】由题意得 ,
，
在中，易得 ,
所以为直角三角形，且 .
易知 ,
所以 .所以 .
所以甲巡逻艇的航向为北偏东 .
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考点5 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）
8.［2025天津南开区月考］如图，
， ，点 是
上一点，， ，垂足分别
为点，，且 .求证：
.
【证明】连接，在和 中，
所以 （斜边、直角边），
所以 .
因为，，所以 .
在和中，
所以 （斜边、直角边）.
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考点6 角平分线的性质与判定
9. ［2025盐城月考］如图，在
中，，，
为的中点，为 的角
平分线，的面积记为 ，
B
A. 13 B. C. D.
的面积记为，则 为
( )
【点拨】如图，过分别作于 ，
于.因为为 的角平分线，
所以，所以 .
所以.因为， ,
所以 ，所以
.因为是 的中点，所以
，
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10.［2025芜湖期末］在中， ，，
是的角平分线，它们相交于点 .
（1）如图①，连接，求证：点在 的平分线上；
【证明】如图①，过点分别作，， 的垂线段，垂足
分别为点，， .
因为，是的角平分线，所以， ，
所以，所以点在 的平分线上.
（2）如图②，延长交于点，过点
作于点，于点 .求证：
.
如图②，过点作交的延长线于点 .
因为是的平分线， ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为是 的平分线，
所以 ，
所以，所以是 的平分线.
又因为,所以，所以 .
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思想1 转化思想
（第11题）
11.如图，在一张长方形纸板 上
放着一个长方体木块.已知
， ，该木块的
长与平行，横截面是边长为 的
正方形，则一只蚂蚁从点爬过木块到达点 需要走的最短路
程为________.
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思想2 方程思想
（第12题）
12.如图，在中， ，
，，为上一点，若 是
的平分线，则 ___.
5
【点拨】如图，过点作于点 .
因为 ，所以.又因为 是
的平分线，所以.在
和中， 所以
（斜边、直角边），所以 .
因为在中， ，
所以 .设
，则 .因
为在中， ，所以
，解得 ，所以
.
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思想3 分类讨论思想
13.如图，点为直线 上的一个动点，
直线于点， 直线于
点，点在点右侧，并且点， 在
直线同侧，， ，
6或4或
当长为_________时， 为直角三角形.
【点拨】当点在点 左侧时，如图①，
过点作于 ，则易知四边形
为长方形，所以 ，
，所以 .由勾股定理得
，， .当 为直角三角形且 时， ，即 ，，解得.
当点 在点右侧时，如图②，过点 作于,当 时，由勾股定理得 .易得，， ，所以， ，解得；当 时，
由得
，所以 .
综上，的长为6或4或 .
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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