资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.1 一元二次方程
副标题：认识新方程，探索其本质
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
生活中的数学问题
问题 1：一个正方形的面积是\(25cm \)，求这个正方形的边长。设边长为\(x cm\)，可列方程\(x =25\)。
问题 2：某工厂计划生产一批产品，原计划每天生产\(x\)件，\(10\)天完成。实际每天多生产\(5\)件，结果提前\(2\)天完成，求原计划每天生产的件数。可列方程\(10x=(x + 5)(10 - 2)\)，整理得\(x +5x - 200=0\)。
思考：这些方程与我们之前学过的一元一次方程有什么不同？它们有什么共同特征？
幻灯片 3：一元二次方程的定义
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是\(2\)的整式方程，叫做一元二次方程。
关键词解析
“只含有一个未知数”：方程中只有一个变量，如\(x\)、\(y\)等。
“未知数的最高次数是\(2\)”：方程中未知数的最高幂次为\(2\)，即存在\(x \)这样的项。
“整式方程”：方程的两边都是整式，分母中不含未知数，根号下不含未知数。
幻灯片 4：一元二次方程的一般形式
一般形式：\(ax +bx + c=0\)（\(a 0\)）
其中\(ax \)叫做二次项，\(a\)叫做二次项系数。
\(bx\)叫做一次项，\(b\)叫做一次项系数。
\(c\)叫做常数项。
注意事项
\(a 0\)是一元二次方程的重要条件，若\(a = 0\)，则方程变为一元一次方程。
一次项系数\(b\)和常数项\(c\)可以为\(0\)。当\(b = 0\)时，方程为\(ax + c=0\)；当\(c = 0\)时，方程为\(ax +bx=0\)；当\(b = 0\)且\(c = 0\)时，方程为\(ax =0\)（\(a 0\)）。
幻灯片 5：判断一元二次方程
例题：判断下列方程是否为一元二次方程，若是，请指出二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）\(3x - 5x + 1=0\)
（2）\(2x - x =0\)
（3）\(x(x + 3)=x - 1\)
（4）\(\frac{1}{x }+x = 2\)
（5）\((x + 2) =4\)
解答
（1）是一元二次方程。二次项系数是\(3\)，一次项系数是\(-5\)，常数项是\(1\)。
（2）是一元二次方程。整理为\(-x + 2x=0\)，二次项系数是\(-1\)，一次项系数是\(2\)，常数项是\(0\)。
（3）不是一元二次方程。整理得\(3x + 1=0\)，是一元一次方程。
（4）不是一元二次方程。方程中含有分式\(\frac{1}{x }\)，不是整式方程。
（5）是一元二次方程。整理得\(x + 4x=0\)，二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(4\)，常数项是\(0\)。
幻灯片 6：将方程化为一般形式
例题：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）\(x(x - 2)=3\)
（2）\((x + 1)(x - 1)=2x\)
（3）\(2x =(x + 1) \)
解答
（1）去括号得\(x -2x=3\)，移项得\(x -2x - 3=0\)。二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(-2\)，常数项是\(-3\)。
（2）去括号得\(x -1=2x\)，移项得\(x -2x - 1=0\)。二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(-2\)，常数项是\(-1\)。
（3）去括号得\(2x =x + 2x + 1\)，移项得\(2x -x -2x - 1=0\)，合并同类项得\(x -2x - 1=0\)。二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(-2\)，常数项是\(-1\)。
幻灯片 7：一元二次方程的解
定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
例题：判断下列各数是不是方程\(x -3x + 2=0\)的根。
（1）\(x = 1\)
（2）\(x = 2\)
（3）\(x = 3\)
解答
（1）当\(x = 1\)时，左边\(=1 -3 1 + 2=1 - 3 + 2=0\)，右边\(=0\)，左边 = 右边，所以\(x = 1\)是方程的根。
（2）当\(x = 2\)时，左边\(=2 -3 2 + 2=4 - 6 + 2=0\)，右边\(=0\)，左边 = 右边，所以\(x = 2\)是方程的根。
（3）当\(x = 3\)时，左边\(=3 -3 3 + 2=9 - 9 + 2=2\)，右边\(=0\)，左边≠右边，所以\(x = 3\)不是方程的根。
幻灯片 8：根据根求系数
例题：已知\(x = 2\)是方程\(x +mx + 6=0\)的一个根，求\(m\)的值及方程的另一个根。
解答：将\(x = 2\)代入方程得\(2 +2m + 6=0\)，即\(4 + 2m + 6=0\)，\(2m=-10\)，解得\(m=-5\)。则原方程为\(x -5x + 6=0\)，因式分解得\((x - 2)(x - 3)=0\)，所以方程的另一个根是\(x = 3\)。
幻灯片 9：课堂练习 1
题目：下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①\(5x =0\) ②\(x +xy=0\) ③\(x +\frac{1}{x}=0\) ④\(x =0\) ⑤\((x + 2)(x - 1)=x \)
答案：①④
解析：②含有两个未知数，不是一元二次方程；③不是整式方程；⑤整理后为\(x - 2=0\)，是一元一次方程。
幻灯片 10：课堂练习 2
题目：将方程\((x - 3)(x + 1)=x - 5\)化为一元二次方程的一般形式，并写出各项系数。
解答：去括号得\(x +x - 3x - 3=x - 5\)，移项得\(x +x - 3x - 3 - x + 5=0\)，合并同类项得\(x -3x + 2=0\)。二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(-3\)，常数项是\(2\)。
幻灯片 11：课堂练习 3
题目：已知\(x = -1\)是方程\(2x +ax - 5=0\)的一个根，求\(a\)的值和方程的另一个根。
解答：将\(x=-1\)代入方程得\(2 (-1) +a (-1)-5=0\)，即\(2 - a - 5=0\)，\(-a=3\)，解得\(a=-3\)。原方程为\(2x -3x - 5=0\)，因式分解得\((2x - 5)(x + 1)=0\)，所以方程的另一个根是\(x=\frac{5}{2}\)。
幻灯片 12：课堂小结
知识要点
一元二次方程的定义：只含一个未知数，未知数最高次数是\(2\)的整式方程。
一般形式：\(ax +bx + c=0\)（\(a 0\)），明确二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值。
方法总结：判断方程是否为一元二次方程需紧扣定义；将方程化为一般形式时要注意移项和合并同类项的正确性；根据根求系数可将根代入方程求解。
幻灯片 13：课后作业
基础题
判断下列方程是否为一元二次方程，若是，写出其一般形式及各项系数：
（1）\(3x =5x - 1\)
（2）\((x + 2)(x - 2)=x \)
已知\(x = 3\)是方程\(x -4x + k=0\)的一个根，求\(k\)的值和方程的另一个根。
提高题
若关于\(x\)的方程\((m - 1)x +2x + 1=0\)是一元二次方程，求\(m\)的取值范围。
已知方程\(x +bx + c=0\)的两个根分别是\(2\)和\(-3\)，求\(b\)和\(c\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1 一元二次方程
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
没有未知数
1.下列式子哪些是方程？
2 + 6 = 8
2x + 3
5x + 6 = 22
x + 3y = 8
x - 5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程.
想一想：什么是一元二次方程呢？
一元二次方程的概念
问题1：如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中 π 取 3）；
解：设由于圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得
200 cm
150 cm
问题2： 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x，
整理，得
根据题意，得
问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.
如图，要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应为多少
呢？
32
20
1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
思考：
32x
2×20x
2x2
2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程，可得
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
x2－36x＋35 = 0. ③
32
20
x
32
20
32-2x
20-x
想一想：
还有其它的列法吗？ 试说明理由.
(20－x)(32－2x) = 570.
整理以上方程，可得
x2－36x＋35 = 0.
观察与思考
方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程；
②只含一个未知数；
③未知数的最高次数是 2.
x2 - 36x＋35 = 0 ③
如果一个方程通过整理可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 是已知数，a ≠ 0).
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
知识要点
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
典例精析
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简为 x2 - 3x + 2 = 0
化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.
提示
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3 + x2 = 36
(3) x + 3y = 36
(5) x + 1 = 0

×
×
×
×

×
×
(1) x2 + x = 36
注意：未限定 a ≠ 0
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
(1)ax2－x = 2x2
(2) (a－1)x | a | +1－2x－7 = 0.
解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，
原方程是关于 x 的一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解．
变式 方程 (2a－4)x2 2bx + a = 0，
（1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？
解：(1)当 2a 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二次方程；
(2)当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程．
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax = b (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
都是整式方程，且只含有一个未知数
未知数最高次数是 1
未知数最高次数是 2
例3 下列方程是一元二次方程吗？若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)
（2）5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
解：（1）去括号， 得
3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.
移项， 合并同类项， 得
- 3x2 + x + 6 = 0，
这是一元二次方程， 其中二次项系数是 -3， 一次项系数是 1， 常数项是 6.
可以， 其中二次项系数是 3，
一次项系数是 1，
常数项是 6.
思考：上式可以写成 3x2 - x - 6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？
去括号， 得
移项， 合并同类项， 得
这是一元一次方程， 不是一元二次方程.
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4.
5x + 11 = 0，
练一练： 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
视频：一元二次方程一般式
点击视频开始播放
1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
3x + 2 = 5x - 2；
x2 = 0；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
知识点1 一元二次方程的概念
1.下列方程一定是一元二次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.［2025岳阳期中］若关于的方程为一元二次方程，则
应满足( )
B
A. B. C. D.
返回
知识点2 一元二次方程的一般形式
3.将一元二次方程 化为一般形式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
4.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分
别是( )
C
A.1，3，2 B.0，，2 C.1，，2 D.2， ，2
返回
5.［教材P27“例”变式］ 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并
指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1） ；
解：化为一般形式为 ，
二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为2.
（2） .
解：化为一般形式为 ，
二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 ．
返回
知识点3 建立一元二次方程模型
6.［教材P28“习题2.1”第2题变式］ 某校准备修建一个面积为 的
矩形活动场地，它的长比宽多，设场地的宽为 ，则可列方程为
( )
D
A. B.
C. D.
返回
7. 中华人民共和国成立75周年也是新疆生产建设兵团成
立70周年，兵团各地积极开展“讲好红色故事，弘扬兵团精神”主题教育
学习活动，作为传承红色基因、弘扬兵团精神的重要窗口，新疆某博物
馆凝聚着兵团人共同的历史记忆.据了解，2024年8月份该博物馆接待参
观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人，设这两个月参观
人数的月平均增长率都为 ，根据题意，下面所列方程正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
8.九年级开学后，九（1）班老师为了激励同学们努力学习，不负年华，
要求每名同学给全班其他同学各写一句励志寄语，全班共写了306句励
志寄语，若全班共有 名同学，则可列方程为_______________.
返回
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中(a ≠ 0)是一元二次方程的必要条件
列方程
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑