资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程
副标题：化繁为简，直接求解
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
一元二次方程的一般形式：\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）
思考：对于一些特殊形式的一元二次方程，是否有更简便的解法？例如方程\(x = 25\)，我们可以直接得出\(x = ±5\)，这种解法就是今天要学习的直接开平方法。
幻灯片 3：直接开平方法的适用形式
基本形式：如果一元二次方程可以化为\(x = p\)（\(p\)为常数）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
拓展形式：对于方程\((mx + n) = p\)（\(m 0\)，\(p\)为常数），也可以运用直接开平方法求解，把\(mx + n\)看作一个整体。
幻灯片 4：直接开平方法的原理
根据平方根的定义：如果\(x = p\)，那么\(x\)叫做\(p\)的平方根。
当\(p 0\)时，方程有两个不相等的实数根，\(x = ±\sqrt{p}\)。
当\(p = 0\)时，方程有两个相等的实数根，\(x = x = 0\)。
当\(p 0\)时，因为在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 基本形式\(x = p\)
题目：解下列方程
（1）\(x = 16\)
（2）\(x = 0\)
（3）\(x = -9\)
解答
（1）根据平方根的定义，得\(x = ±\sqrt{16} = ±4\)，所以方程的根为\(x = 4\)，\(x = -4\)。
（2）根据平方根的定义，得\(x = ±\sqrt{0} = 0\)，所以方程的根为\(x = x = 0\)。
（3）因为\(-9 0\)，在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 先整理为基本形式
题目：解下列方程
（1）\(x - 25 = 0\)
（2）\(2x - 8 = 0\)
解答
（1）移项得\(x = 25\)，根据平方根的定义，得\(x = ±\sqrt{25} = ±5\)，所以方程的根为\(x = 5\)，\(x = -5\)。
（2）移项得\(2x = 8\)，两边同时除以\(2\)得\(x = 4\)，根据平方根的定义，得\(x = ±\sqrt{4} = ±2\)，所以方程的根为\(x = 2\)，\(x = -2\)。
幻灯片 7：例题讲解 3 - 拓展形式\((mx + n) = p\)
题目：解下列方程
（1）\((x + 3) = 16\)
（2）\((2x - 1) = 5\)
（3）\((x - 2) = -3\)
解答
（1）把\(x + 3\)看作一个整体，根据平方根的定义，得\(x + 3 = ±\sqrt{16} = ±4\)。
当\(x + 3 = 4\)时，\(x = 4 - 3 = 1\)。
当\(x + 3 = -4\)时，\(x = -4 - 3 = -7\)。
所以方程的根为\(x = 1\)，\(x = -7\)。
（2）把\(2x - 1\)看作一个整体，根据平方根的定义，得\(2x - 1 = ±\sqrt{5}\)。
当\(2x - 1 = \sqrt{5}\)时，\(2x = 1 + \sqrt{5}\)，\(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)。
当\(2x - 1 = -\sqrt{5}\)时，\(2x = 1 - \sqrt{5}\)，\(x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)。
所以方程的根为\(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)，\(x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)。
（3）因为\(-3 0\)，在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。
幻灯片 8：例题讲解 4 - 先整理为拓展形式
题目：解下列方程
（1）\(4(x - 1) - 9 = 0\)
（2）\((x + 2) = (2x - 1) \)
解答
（1）移项得\(4(x - 1) = 9\)，两边同时除以\(4\)得\((x - 1) = \frac{9}{4}\)。
把\(x - 1\)看作一个整体，根据平方根的定义，得\(x - 1 = ±\sqrt{\frac{9}{4}} = ±\frac{3}{2}\)。
当\(x - 1 = \frac{3}{2}\)时，\(x = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)。
当\(x - 1 = -\frac{3}{2}\)时，\(x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\)。
所以方程的根为\(x = \frac{5}{2}\)，\(x = -\frac{1}{2}\)。
（2）根据平方根的定义，得\(x + 2 = ±(2x - 1)\)。
当\(x + 2 = 2x - 1\)时，\(2 + 1 = 2x - x\)，\(x = 3\)。
当\(x + 2 = -(2x - 1)\)时，\(x + 2 = -2x + 1\)，\(x + 2x = 1 - 2\)，\(3x = -1\)，\(x = -\frac{1}{3}\)。
所以方程的根为\(x = 3\)，\(x = -\frac{1}{3}\)。
幻灯片 9：课堂练习 1
题目：解下列方程
（1）\(x = 36\)
（2）\(x - 1.21 = 0\)
（3）\(3x = 0\)
答案
（1）\(x = 6\)，\(x = -6\)
（2）\(x = 1.1\)，\(x = -1.1\)
（3）\(x = x = 0\)
幻灯片 10：课堂练习 2
题目：解下列方程
（1）\((x - 5) = 49\)
（2）\(2(3x + 1) - 8 = 0\)
（3）\((x + 3) = 2x + 6\)
解答提示
（1）把\(x - 5\)看作整体，开平方后求解。
（2）先移项、系数化为 1，再把\(3x + 1\)看作整体求解。
（3）先移项化为\((x + 3) - 2(x + 3) = 0\)，再因式分解或直接开平方求解。
幻灯片 11：易错点提醒
开平方时容易漏掉负根，如解\(x = 16\)时，只得出\(x = 4\)，忘记\(x = -4\)。
对于拓展形式\((mx + n) = p\)，开平方后要分两种情况讨论，不能只取一种情况。
当\(p 0\)时，误认为方程有两个虚数根而写出结果，在实数范围内应说明无实数根。
幻灯片 12：课堂小结
直接开平方法适用范围：方程可化为\(x = p\)或\((mx + n) = p\)的形式。
求解步骤
将方程整理为\(x = p\)或\((mx + n) = p\)的形式。
根据\(p\)的取值判断方程根的情况：
\(p 0\)时，\(x = ±\sqrt{p}\)或\(mx + n = ±\sqrt{p}\)，进而求出\(x\)。
\(p = 0\)时，\(x = x = 0\)或\(mx + n = 0\)，求出\(x\)。
\(p 0\)时，方程无实数根。
注意事项：开平方时不要漏掉负根，计算要准确。
幻灯片 13：课后作业
基础题：解下列方程
\(x = 81\)
\(x - 2 = 0\)
\((x + 1) = 4\)
\(3(x - 2) = 0\)
提高题：解下列方程
\(2(x + 3) - 18 = 0\)
\((2x - 3) = (x + 6) \)
若关于\(x\)的方程\((x - a) = b\)有实数根，求\(b\)的取值范围。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x 叫做 a 的 .
复习引入
平方根
2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = .
3. 如果 x2 = 64，那么 x = .
±8
4. 任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
一元二次方程的根
问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程
10×6x2 = 1500，
即 x2 = 25．
根据平方根的意义得 x = ±5，
即 x1 = 5，x2 = －5．
∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm．
一元二次方程的根
使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
解：
3 和 -2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
概念学习
例4 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.
2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0，
9 + 4a = 0，
4a = -9，
1.已知方程 5x + mx - 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的值为
练一练
_______．
直接开平方法解一元二次方程
问题1：能化为 (x + m)2 = n(n≥0) 的形式的方程需要具备什么特点？
左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为 (x + m)2 = n(n≥0).
问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如果 x 换元为 2t＋1，即 (2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2 = 4
(2) x2 = 0
(3) x2 + 1 = 0
解：根据平方根的意义，得
x1 = 2，x2 = -2.
解：根据平方根的意义，得
x1 = x2 = 0.
解：根据平方根的意义，得 x2 = -1，
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
(2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 n < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根.
探究归纳
一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程，
(1) 当 n > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
归纳
例2 利用直接开平方法解下列方程：
(1) 4x2 - 25 = 0；
(2) x2－900 = 0.
解：
（1） 原方程可化为
根据平方根的意义，得
（2）移项，得
x2 = 900.
直接开平方，得
x = ± 30，
∴x1 = 30， x2 = －30.
典例精析
在解方程(I)时，由方程 x2 = 25 得 x = ±5.由此想到:
(x + 3)2 = 5 ， ②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5
探究交流
于是，方程 ( x + 3 )2 = 5 的两个根为
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
解题归纳
例3 解下列方程：
(1) (2x＋1)2 = 2 ；
解析：通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.
解：(1) 根据平方根的意义，得
或
解析：第 2 小题先将－4 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解.
例3 解下列方程：
(2) (x－1)2－4 = 0；
即 x1 = 3，x2 = 1.
解：(2) 移项，得 (x 1)2 = 4.
∵x 1 是 4 的平方根，
∴x 1 = ±2，
∴ x1 = ，
x2 =
(3) 12(3 2x)2 3 = 0.
解析：先将 3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解.
解：移项，得 12(3 2x)2 = 3，
两边都除以 12，得 (3 2x)2 = 0.25.
∵ 3 2x 是 0.25 的平方根，
∴ 3 2x = ±0.5，
即 3 2x = 0.5，或 3 2x = 0.5.
解：
∴ 方程的两个根为
解：
∴ 方程的两根个为
例4 解下列方程：
1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x + m)2 = n (n≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
探讨交流
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0.
C. 4(x 1)2 = 9，解方程，得 4(x 1) =±3，x1= ，
x2=
D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1= 1，x2= 4
1. 下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. x2 = 2，解方程，得 x =±
B. (x 2)2 = 4，解方程，得 x 2 = 2，x = 4
D
(1) 方程 x2 = 0.25 的根是 .
(2) 方程 2x2 = 18 的根是 .
(3) 方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 .
x1＝0.5，x2＝ 0.5
x1＝3，x2＝ 3
x1＝2，x2＝ 1
2. 填空：
3. 解下列方程：
(1) x2 81＝0； (2) 2x2＝50；
(3) (x＋1)2＝4.
解：x1＝9，x2＝ 9.
解：x1＝5，x2＝ 5.
解：x1＝1，x2＝ 3.
3.若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0
有一个根为 0，求 m 的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将 x = 0 代入方程 m2 - 4 = 0，
解得 m = ±2.
∵ m + 2 ≠ 0，
∴ m ≠ -2.
综上所述：m = 2.
知识点1 一元二次方程的解
1.下列以 为一个根的一元二次方程是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.已知关于的方程的一个根是，则 ___.
1
返回
知识点2 直接开平方法
3.下列不能运用平方根的意义求解的一元二次方程是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.下列方程中，有两个相等实数根的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［2025天津期中］解一元二次方程 时，可以将其转化
为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为 ，则另一
个一元一次方程为( )
A
A. B. C. D.
返回
6.对于解关于的一元二次方程 ，可以通过降次转化为两个
一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则 的值为___.
4
返回
7.［2025长沙校级期中］若与互为倒数，则 的值是______.
返回
8.［教材P31“练习”第1题变式］ 解方程：
（1） ；
解：，整理，得，解得, .
（2） ；
解：，开方，得，或 ，
解得， .
（3） ；
解：，整理,得，开方,得或， ，
.
（4） .
解：,整理,得,.开方,得 ,
.
返回
9. 用直接开平方法解一元二次方程 .
解：移项,得 ，①
直接开平方,得 ，②
所以 .③
上述解题过程中，第____步开始出错，原因是 _____________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_____ ，请写出正确的解答过程.
②
漏掉了
这种情况正确的解答过程如下：移项,得
，直接开平方,得 ，即
或 ，
.
返回
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2 = n(n≥0)或
(x + m)2 = n (n≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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