资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.1.2 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程
副标题：转化思想，配方求解
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
直接开平方法回顾：我们已经学习了用直接开平方法解形如\(x = p\)或\((mx + n) = p\)的一元二次方程。
思考：对于形如\(x + bx + c = 0\)（二次项系数为 1）的方程，无法直接用开平方法求解，如何将其转化为可以用开平方法求解的形式呢？这就需要用到今天学习的配方法。
幻灯片 3：配方法的原理
完全平方公式：\((x + m) = x + 2mx + m \)，即形如\(x + 2mx + m \)的式子可以化为\((x + m) \)的完全平方形式。
配方核心：将一元二次方程\(x + bx + c = 0\)通过变形，把左边化为一个含有未知数的完全平方形式，右边化为一个常数，即转化为\((x + h) = k\)的形式，再用直接开平方法求解。
幻灯片 4：配方步骤（以\(x + bx + c = 0\)为例）
移项：把常数项移到方程右边，得到\(x + bx = -c\)。
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即\((\frac{b}{2}) \)，使左边成为完全平方形式：\(x + bx + (\frac{b}{2}) = -c + (\frac{b}{2}) \)。
变形：左边化为完全平方形式\((x + \frac{b}{2}) \)，右边合并同类项：\((x + \frac{b}{2}) = \frac{b - 4c}{4}\)。
求解：用直接开平方法解变形后的方程，得到\(x + \frac{b}{2} = ±\sqrt{\frac{b - 4c}{4}}\)，进而求出\(x\)的值。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 基础配方
题目：解方程\(x + 6x + 5 = 0\)
解答
移项：把常数项移到右边，得\(x + 6x = -5\)。
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即\((\frac{6}{2}) = 9\)，得\(x + 6x + 9 = -5 + 9\)。
变形：左边化为完全平方形式，右边计算得\((x + 3) = 4\)。
求解：用直接开平方法，得\(x + 3 = ±\sqrt{4} = ±2\)。
当\(x + 3 = 2\)时，\(x = 2 - 3 = -1\)。
当\(x + 3 = -2\)时，\(x = -2 - 3 = -5\)。
所以方程的根为\(x = -1\)，\(x = -5\)。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 一次项系数为偶数
题目：解方程\(x - 8x - 9 = 0\)
解答
移项：得\(x - 8x = 9\)。
配方：两边同时加上\((\frac{-8}{2}) = 16\)，得\(x - 8x + 16 = 9 + 16\)。
变形：化为\((x - 4) = 25\)。
求解：开平方得\(x - 4 = ±5\)。
当\(x - 4 = 5\)时，\(x = 5 + 4 = 9\)。
当\(x - 4 = -5\)时，\(x = -5 + 4 = -1\)。
所以方程的根为\(x = 9\)，\(x = -1\)。
幻灯片 7：例题讲解 3 - 一次项系数为奇数
题目：解方程\(x + 5x - 6 = 0\)
解答
移项：得\(x + 5x = 6\)。
配方：两边同时加上\((\frac{5}{2}) = \frac{25}{4}\)，得\(x + 5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}\)。
变形：左边化为\((x + \frac{5}{2}) \)，右边计算\(6 = \frac{24}{4}\)，则\(\frac{24}{4} + \frac{25}{4} = \frac{49}{4}\)，即\((x + \frac{5}{2}) = \frac{49}{4}\)。
求解：开平方得\(x + \frac{5}{2} = ±\frac{7}{2}\)。
当\(x + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\)时，\(x = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = 1\)。
当\(x + \frac{5}{2} = -\frac{7}{2}\)时，\(x = -\frac{7}{2} - \frac{5}{2} = -6\)。
所以方程的根为\(x = 1\)，\(x = -6\)。
幻灯片 8：例题讲解 4 - 常数项为 0
题目：解方程\(x - 4x = 0\)
解答
移项：方程已是\(x - 4x = 0\)的形式。
配方：两边同时加上\((\frac{-4}{2}) = 4\)，得\(x - 4x + 4 = 0 + 4\)。
变形：化为\((x - 2) = 4\)。
求解：开平方得\(x - 2 = ±2\)。
当\(x - 2 = 2\)时，\(x = 4\)。
当\(x - 2 = -2\)时，\(x = 0\)。
所以方程的根为\(x = 4\)，\(x = 0\)。
幻灯片 9：例题讲解 5 - 配方后右边为负数
题目：解方程\(x + 2x + 3 = 0\)
解答
移项：得\(x + 2x = -3\)。
配方：两边同时加上\((\frac{2}{2}) = 1\)，得\(x + 2x + 1 = -3 + 1\)。
变形：化为\((x + 1) = -2\)。
判断：因为右边\(-2 0\)，在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。
幻灯片 10：课堂练习 1
题目：解下列方程
（1）\(x + 4x + 3 = 0\)
（2）\(x - 6x + 8 = 0\)
（3）\(x + 3x - 10 = 0\)
解答提示
按照移项、配方、变形、求解的步骤进行，注意一次项系数的符号和配方时添加的常数。
幻灯片 11：课堂练习 2
题目：解下列方程
（1）\(x - 2x - 1 = 0\)
（2）\(x + 7x + 12 = 0\)
（3）\(x - 5x = 0\)
答案
（1）\(x = 1 + \sqrt{2}\)，\(x = 1 - \sqrt{2}\)
（2）\(x = -3\)，\(x = -4\)
（3）\(x = 0\)，\(x = 5\)
幻灯片 12：易错点提醒
移项时忘记变号，如将\(x + 6x + 5 = 0\)移项为\(x + 6x = 5\)，漏掉负号。
配方时只在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边忘记加，导致等式不成立。
一次项系数为负数时，配方后完全平方形式中的符号错误，如\(x - 6x\)配方后误写为\((x + 3) \)，正确应为\((x - 3) \)。
计算一次项系数一半的平方时出错，尤其是系数为奇数或分数时。
幻灯片 13：课堂小结
配方法定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
关键步骤：移项（常数项右移）→配方（两边加一次项系数一半的平方）→变形（化为\((x + h) = k\)）→求解（直接开平方法）。
根的情况判断：配方后根据\(k\)的取值判断：
\(k 0\)时，有两个不相等的实数根。
\(k = 0\)时，有两个相等的实数根。
\(k 0\)时，无实数根。
幻灯片 14：课后作业
基础题：解下列方程
\(x + 10x + 21 = 0\)
\(x - 2x - 8 = 0\)
\(x + 5x + 4 = 0\)
\(x - 3x = 0\)
提高题：解下列方程
\(x - 4x + 2 = 0\)
\(x + x - 1 = 0\)
当\(k\)为何值时，方程\(x - 6x + k = 0\)有两个相等的实数根？
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1.2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x 叫做 a 的 .
复习引入
平方根
2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = .
3. 如果 x2 = 64，那么 x = .
±8
4. 任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
填一填
你能填上适当的数使等式成立吗？
(1)x2＋6x＋____＝(x＋____)2 ；
(2)x2－6x＋____＝(x－____)2 ；
(3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋____－___＋5
＝(x＋____)2 －____．
9
3
9
3
9
3
4
9
你能发现什么规律吗？
配方的方法
问题1：你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2 + 2ab + b2 = ( )2；
(2) a2 - 2ab + b2 = ( )2.
a + b
a - b
探究交流
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2 + 4x + = ( x + )2；
（2）x2 6x + = ( x )2；
（3）x2 + 8x + = ( x + )2；
（4）
x2 x + = ( x )2.
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
填一填
对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式.
二次项系数为 1 的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
填一填：
x2 + px + ( )2 = ( x + )2
配方的方法
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
探究交流
解方程：x2 + 6x + 4 = 0. (1)
问题1 方程 (1) 怎样变成 (x + n)2 = p 的形式呢？
解：
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
移项
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
两边都加上 9
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为 1 的前提下进行的.
问题2 为什么在方程 x2 + 6x = -4 的两边加上 9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式 x2 + 2mx + m2 的形式.
一元二次方程配方的方法：
要点归纳
在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法称为配方法.
配方法的定义
典例精析
例1：用配方法解下列方程：
(1) x2 + 10x + 9 = 0
解：　　　　　　　
配方，得
x2 + 10x + 52－52 + 9 = 0，
因此 (x + 5)2 = 16，
由此得 x + 5 = 4 或 x + 5 = －4，
解得 x1 = －1，x2 = －9.
解：　　　　　　　
配方，得 x2－12x + 62－62－13 = 0，
因此 (x－6)2 = 49，
由此得 x－6 = 7 或 x－6 = －7，
解得 x1 = 13，x2 = －1.
(2) x2 - 12x - 13 = 0
方法归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项
配方
开方
求解
定解
把常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方
方程两边开平方
解一元一次方程
写出原方程的解
试一试：解方程 x2 + 12x -15 = 0 .
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 12x = 15，
两边都加 62 (一次项系数 6 的一半的平方)，得
x2 + 12x + 62 = 15 + 62 ，
即 (x + 6)2 = 51.
两边开平方，得
x + 6 = ，
即 x + 6 = 或 x + 6 = .
所以 x1 = ， x2 = .
1.将一元二次方程 x2 - 8x - 5 = 0化成 (x + a)2 = b 的形式，
则 b 等于( )
A. -13 B. 13 C. -21 D. 21
D
解：
方程的两根为
2.解下列方程：
解：移项，得
x2－8x = －1.
配方，得
x2－8x + 42 = －1 + 42，
(x－4)2 = 15.
直接开平方得
即
3. 解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8
解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8.
移项，得 x2 + 2x = 3，
配方，得 x2 + 2x + 1 = 3 + 1，
即 (x + 1)2 = 4.
开平方，得 x + 1 = ±2.
解得 x1 = 1， x2= －3.
知识点1 配方法
1.下列各式中，是完全平方式的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.［2024德州中考］把多项式 进行配方，结果为( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.［教材P33“练习”第1题变式］ 用适当的正数填空：
（1）___（___） ；
（2）___（___） ；
（3）（__） ；
（4）___（__） .
4
2
8
4
返回
知识点2 运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
4.用配方法解方程 时，第一步应该是( )
B
A.方程两边同时加上6 B.方程两边同时加上36
C.方程两边同时减去6 D.方程两边同时减去36
返回
5.［2025郴州月考］用配方法解方程 时，配方正确的是
( )
B
A. B. C. D.
返回
6.若一元二次方程可变形为,则 的值是
____.
12
返回
7.小明在学习用配方法解一元二次方程后，用配方法解方程
.过程如下：
,①
,②
,③
,④
, .⑤
（1）小明解方程过程中，从第____步开始出现错误；（填序号）
②
（2）请利用配方法正确解方程 .
解：，， ，
，，, ．
返回
8.［教材P33“例3”变式］ 用配方法解方程：
（1） ;
解：配方，得，所以 ，开平方，
得，所以, .
（2） ;
解：移项，得，配方，得 ，
即，开平方，得 ，
所以， .
（3） .
解：移项，得，配方，得 ，
即，开平方，得 ，
所以， .
返回
用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程
用直接开平方法求出它的解
配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为 的形式
移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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