资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.1.3 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程
副标题：转化系数，灵活配方
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
二次项系数为 1 的配方法步骤：移项→配方（加一次项系数一半的平方）→变形为\((x + h) = k\)→直接开平方法求解。
思考：对于二次项系数不为 1 的一元二次方程，如\(2x + 4x - 6 = 0\)，如何用配方法求解？关键是先将二次项系数化为 1。
幻灯片 3：核心思路
转化思想：对于方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)且\(a 1\)），先把二次项系数化为 1，即方程两边同时除以二次项系数\(a\)，得到\(x + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)，再按照二次项系数为 1 的配方法步骤求解。
幻灯片 4：具体步骤（以\(ax + bx + c = 0\)为例，\(a 0\)且\(a 1\)）
化 1：方程两边同时除以二次项系数\(a\)，得\(x + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)。
移项：把常数项移到方程右边，得\(x + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)。
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即\((\frac{b}{2a}) \)，得\(x + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a}) = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a}) \)。
变形：左边化为完全平方形式\((x + \frac{b}{2a}) \)，右边合并同类项：\((x + \frac{b}{2a}) = \frac{b - 4ac}{4a }\)。
求解：用直接开平方法解变形后的方程，求出\(x\)的值。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 系数为整数且可整除
题目：解方程\(2x + 4x - 6 = 0\)
解答
化 1：方程两边同时除以 2，得\(x + 2x - 3 = 0\)。
移项：得\(x + 2x = 3\)。
配方：两边同时加上\((\frac{2}{2}) = 1\)，得\(x + 2x + 1 = 3 + 1\)。
变形：化为\((x + 1) = 4\)。
求解：开平方得\(x + 1 = ±2\)。
当\(x + 1 = 2\)时，\(x = 1\)。
当\(x + 1 = -2\)时，\(x = -3\)。
所以方程的根为\(x = 1\)，\(x = -3\)。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 系数为整数但需分数运算
题目：解方程\(3x - 6x - 9 = 0\)
解答
化 1：方程两边同时除以 3，得\(x - 2x - 3 = 0\)。
移项：得\(x - 2x = 3\)。
配方：两边同时加上\((\frac{-2}{2}) = 1\)，得\(x - 2x + 1 = 3 + 1\)。
变形：化为\((x - 1) = 4\)。
求解：开平方得\(x - 1 = ±2\)。
当\(x - 1 = 2\)时，\(x = 3\)。
当\(x - 1 = -2\)时，\(x = -1\)。
所以方程的根为\(x = 3\)，\(x = -1\)。
幻灯片 7：例题讲解 3 - 系数为分数
题目：解方程\(\frac{1}{2}x + 3x - \frac{5}{2} = 0\)
解答
化 1：方程两边同时乘以 2（或除以\(\frac{1}{2}\)），得\(x + 6x - 5 = 0\)。
移项：得\(x + 6x = 5\)。
配方：两边同时加上\((\frac{6}{2}) = 9\)，得\(x + 6x + 9 = 5 + 9\)。
变形：化为\((x + 3) = 14\)。
求解：开平方得\(x + 3 = ±\sqrt{14}\)。
当\(x + 3 = \sqrt{14}\)时，\(x = -3 + \sqrt{14}\)。
当\(x + 3 = -\sqrt{14}\)时，\(x = -3 - \sqrt{14}\)。
所以方程的根为\(x = -3 + \sqrt{14}\)，\(x = -3 - \sqrt{14}\)。
幻灯片 8：例题讲解 4 - 配方后右边为负数
题目：解方程\(2x - 4x + 5 = 0\)
解答
化 1：方程两边同时除以 2，得\(x - 2x + \frac{5}{2} = 0\)。
移项：得\(x - 2x = -\frac{5}{2}\)。
配方：两边同时加上\((\frac{-2}{2}) = 1\)，得\(x - 2x + 1 = -\frac{5}{2} + 1\)。
变形：化为\((x - 1) = -\frac{3}{2}\)。
判断：因为右边\(-\frac{3}{2} 0\)，在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。
幻灯片 9：例题讲解 5 - 系数较大需简化
题目：解方程\(4x - 20x + 21 = 0\)
解答
化 1：方程两边同时除以 4，得\(x - 5x + \frac{21}{4} = 0\)。
移项：得\(x - 5x = -\frac{21}{4}\)。
配方：两边同时加上\((\frac{-5}{2}) = \frac{25}{4}\)，得\(x - 5x + \frac{25}{4} = -\frac{21}{4} + \frac{25}{4}\)。
变形：化为\((x - \frac{5}{2}) = 1\)。
求解：开平方得\(x - \frac{5}{2} = ±1\)。
当\(x - \frac{5}{2} = 1\)时，\(x = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}\)。
当\(x - \frac{5}{2} = -1\)时，\(x = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}\)。
所以方程的根为\(x = \frac{7}{2}\)，\(x = \frac{3}{2}\)。
幻灯片 10：课堂练习 1
题目：解下列方程
（1）\(2x + 8x - 10 = 0\)
（2）\(3x - 9x + 6 = 0\)
（3）\(\frac{1}{3}x + 2x + 1 = 0\)
解答提示
先将二次项系数化为 1，再按移项、配方、变形、求解的步骤进行，注意分数运算的准确性。
幻灯片 11：课堂练习 2
题目：解下列方程
（1）\(5x - 10x - 15 = 0\)
（2）\(-2x + 4x + 6 = 0\)（提示：先将二次项系数化为正数）
（3）\(0.5x - 2x - 2.5 = 0\)
答案
（1）\(x = 3\)，\(x = -1\)
（2）\(x = 3\)，\(x = -1\)
（3）\(x = 5\)，\(x = -1\)
幻灯片 12：易错点提醒
化二次项系数为 1 时，方程两边每一项都要除以二次项系数，容易漏掉常数项或一次项。
二次项系数为负数时，未先化为正数，导致后续符号出错，建议先将方程两边同乘\(-1\)化为二次项系数为正数的形式。
配方时，一次项系数已因化 1 而变化，仍使用原方程的一次项系数计算一半的平方，导致配方错误。
分数运算时通分或计算错误，尤其是在合并右边常数项时。
幻灯片 13：课堂小结
关键步骤：化 1（二次项系数化为 1）→移项→配方→变形→求解。
核心技巧：先通过除以二次项系数将方程转化为二次项系数为 1 的形式，再运用已学的配方法知识解决，体现转化的数学思想。
根的判断：配方后根据右边常数\(k\)的正负判断根的情况，与二次项系数为 1 的方程判断方法一致。
幻灯片 14：课后作业
基础题：解下列方程
\(2x + 4x - 16 = 0\)
\(3x - 6x - 24 = 0\)
\(\frac{1}{2}x - 3x + 4 = 0\)
\(-4x + 8x + 12 = 0\)
提高题：解下列方程
\(2x - 5x + 2 = 0\)
\(3x + 4x - 4 = 0\)
当\(k\)为何值时，方程\(2x - 4x + k = 0\)有两个相等的实数根？
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1.3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
(1) 9x2 = 1 ；
(2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2 + 6x + 9 = 5；
(2) x2 + 6x + 4 = 0.
把两题转化成
(x + m)2 = n (n≥0) 的
形式，再利用开平方
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x－3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8，
配方，得 (x + 3)2 = 1.
开平方，得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2，x2 = -4.
想一想怎么来解3x2 + 8x－3 = 0.
试一试：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以 3，得
配方，得
开方，得
即
所以 x1= ， x2 = -3 .
可以先将二次项系数化为 1.
配方，得
由此可得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2－3x = －1.
即
移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢
例1 解下列方程：
配方，得
∵ 实数的平方不会是负数，∴ x 取任何实数时，上式都不成立．∴ 原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为 1，得
为什么方程两边都加 12？
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为 1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x + m)2 = n.
①当 n > 0 时，则 ，方程的两个根为
②当 n = 0 时，则 (x + m)2 = 0，x + m = 0，开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m.
③当 n < 0 时，则方程 (x + m)2 = n 无实数根.
规律总结
引例：一个小球从地面上以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：
h = 15t - 5t2.
小球何时能达到 10 m 高？
解：将 h = 10 代入方程式中. 15t - 5t2 = 10.
两边同时除以-5，得 t2 - 3t = -2，
配方，得 t2 - 3t + = - 2，
=
配方法的应用
移项，得 =
即 t - = ，或 t - = .
所以 t1 = 2 ， t2 = 1 .
即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高.
例2.试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式
k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1
= (k－2)2＋1
因为 (k－2)2≥0，所以 (k－2)2＋1≥1.
所以 k2－4k＋5 的值必定大于零.
例3 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且
试判断△ABC 的形状.
解：将原式配方，得
所以，△ABC 为直角三角形.
由非负式的性质可知
即
∴
例4：解方程 4x2 -12x - 1 = 0.
解：将二次项的系数化为 1，得
x2 - 3x - = 0，
配方，得
因此
由此，得 或
所以
1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 -2
2. 利用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x + 5 的最小值；
(2) -3x2 + 5x + 1 的最大值.
练一练
C
解：(1) 2x2 - 4x + 5 = 2(x - 1)2 + 3，当 x = 1 时有最小值 3.
(2) -3x2 + 5x + 1 = -3 + ，当 x = 时有最大值 .
归纳总结
配方法的应用
类别 解题策略
1.求最值或证
代数式的值恒正（或负）
将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
2.完全平方式中的配方
如：已知 x2－2mx＋16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负式的和的形式
对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配方成多个完全平方式的和为0，再根据非负式的和为0，各式均为0，进而求解. 如：a2＋b2－4b＋4=0，即 a2＋(b－2)2=0，则a=0，b=2.
例5.读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
解：设个位数字为 x，十位数字为 (x - 3)
解得 x1 = 6，x2 = 5.
x2 - 11x = -30，
x2 - 11x + 5.52 = -30 + 5.52，
(x - 5.5)2 = 0.25.
x - 5.5 = 0.5，或 x - 5.5 = -0.5，
x2 = 10(x - 3) + x，
∴这个两位数为 36 或 25.
∴周瑜去世的年龄为 36 岁.
∵周瑜 30 岁还攻打过东吴，
1.解下列方程：
（1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12；
（3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x + 2 = 0，
(x + 1)2 = -1.
∴此方程无解.
解：x2 - 4x - 12 = 0，
(x - 2)2 = 16.
∴ x1 = 6，x2 = -2.
解：x2 + 2x - 3 = 0，
(x + 1)2 = 4.
∴x1 = -3，x2 = 1.
2.利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 x2 x 1 的值总是负数，并求出它的最大值.
解： x2 x 1 = ( x2 + x + ) + 1
∴ x2 x 1 的值总是负数.
当 时， x2 x 1有最大值
知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1.用配方法解方程 时，把二次项系数化为1后，需要在方程
两边同时( )
A
A.加上1 B.减去1 C.加上 D.减去
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2.［2025邵阳校级调研］下列用配方法解方程 的步骤中，
开始出现错误的是( )
第①步： ，
第②步： ，
第③步： ，
第④步： .
C
A.第①步 B.第②步 C.第③步 D.第④步
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3.将方程化成 的形式是( )
A
A. B. C. D.
返回
4.［教材P34“例4”变式］ 用配方法解方程：
（1） ；
解：方程两边同除以3，得，移项，得 ，配
方，得,即，开平方，得 .
解得， .
（2） ；
解：方程两边同除以2，得，移项、两边同时加 ,得
,即，从而，解得 ,
.
（3） .
解：，整理,得 ，
，， ．
返回
5.若关于的一元二次方程 通过配方可以化成
的形式，则 的值可能是( )
B
A.0 B.2 C.3 D.
返回
6.［2025长沙月考］已知一元二次方程 配方后为
，那么一元二次方程 配方后为( )
D
A. B.或
C. D.或
返回
7.若方程能配方成 的形式，则直线
不经过第____ 象限.
三
返回
配方法
定义
步骤
一移常数项且二次项系数化为 1；
二配方[配上 ]；
三写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四开平方解方程
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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