资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.2 公式法
副标题：公式推导，规范求解
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
配方法回顾：对于二次项系数不为 1 的一元二次方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)），通过化 1、移项、配方、变形、求解的步骤可得到方程的根。
思考：每次用配方法解方程都要重复相同的步骤，能否通过配方法推导出一个通用公式，直接代入求解？这就是本节课要学习的公式法。
幻灯片 3：求根公式的推导
推导过程：对于一元二次方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）
化 1：方程两边同时除以\(a\)，得\(x + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)。
移项：得\(x + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)。
配方：两边同时加上\((\frac{b}{2a}) \)，得\(x + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a}) = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a}) \)。
变形：左边化为\((x + \frac{b}{2a}) \)，右边为\(\frac{b - 4ac}{4a }\)，即\((x + \frac{b}{2a}) = \frac{b - 4ac}{4a }\)。
开方：当\(b - 4ac 0\)时，\(x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)。
求解：移项得\(x = \frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)。
求根公式：\(x = \frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（\(b - 4ac 0\)）
幻灯片 4：根的判别式
定义：把\(\Delta = b - 4ac\)叫做一元二次方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）的根的判别式。
作用：判断方程根的情况
当\(\Delta 0\)时，方程有两个不相等的实数根：\(x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)。
当\(\Delta = 0\)时，方程有两个相等的实数根：\(x = x = -\frac{b}{2a}\)。
当\(\Delta 0\)时，方程无实数根。
幻灯片 5：公式法解题步骤
化为一般形式：将方程化为\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）的形式，确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
计算判别式：计算\(\Delta = b - 4ac\)，判断方程根的情况。
代入公式求解：当\(\Delta 0\)时，将\(a\)、\(b\)、\(\Delta\)的值代入求根公式\(x = \frac{-b ±\sqrt{\Delta}}{2a}\)，求出方程的根。
幻灯片 6：例题讲解 1 - \(\Delta 0\)的情况
题目：解方程\(2x + 5x - 3 = 0\)
解答
化为一般形式：\(2x + 5x - 3 = 0\)，其中\(a = 2\)，\(b = 5\)，\(c = -3\)。
计算判别式：\(\Delta = b - 4ac = 5 - 4 2 (-3) = 25 + 24 = 49 0\)。
代入公式：\(x = \frac{-5 ±\sqrt{49}}{2 2} = \frac{-5 ±7}{4}\)。
\(x = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)。
\(x = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3\)。
所以方程的根为\(x = \frac{1}{2}\)，\(x = -3\)。
幻灯片 7：例题讲解 2 - \(\Delta = 0\)的情况
题目：解方程\(x - 4x + 4 = 0\)
解答
化为一般形式：\(x - 4x + 4 = 0\)，其中\(a = 1\)，\(b = -4\)，\(c = 4\)。
计算判别式：\(\Delta = (-4) - 4 1 4 = 16 - 16 = 0\)。
代入公式：\(x = \frac{-(-4) ±\sqrt{0}}{2 1} = \frac{4}{2} = 2\)。
所以方程的根为\(x = x = 2\)。
幻灯片 8：例题讲解 3 - \(\Delta 0\)的情况
题目：解方程\(3x - 2x + 1 = 0\)
解答
化为一般形式：\(3x - 2x + 1 = 0\)，其中\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = 1\)。
计算判别式：\(\Delta = (-2) - 4 3 1 = 4 - 12 = -8 0\)。
判断：因为\(\Delta 0\)，所以方程无实数根。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 系数含分数
题目：解方程\(\frac{1}{2}x - x - \frac{3}{2} = 0\)
解答
化为一般形式（去分母）：方程两边同时乘以 2 得\(x - 2x - 3 = 0\)，其中\(a = 1\)，\(b = -2\)，\(c = -3\)。
计算判别式：\(\Delta = (-2) - 4 1 (-3) = 4 + 12 = 16 0\)。
代入公式：\(x = \frac{-(-2) ±\sqrt{16}}{2 1} = \frac{2 ±4}{2}\)。
\(x = \frac{2 + 4}{2} = 3\)。
\(x = \frac{2 - 4}{2} = -1\)。
所以方程的根为\(x = 3\)，\(x = -1\)。
幻灯片 10：例题讲解 5 - 系数含小数
题目：解方程\(0.2x - 0.1x - 0.5 = 0\)
解答
化为一般形式（化整）：方程两边同时乘以 10 得\(2x - x - 5 = 0\)，其中\(a = 2\)，\(b = -1\)，\(c = -5\)。
计算判别式：\(\Delta = (-1) - 4 2 (-5) = 1 + 40 = 41 0\)。
代入公式：\(x = \frac{-(-1) ±\sqrt{41}}{2 2} = \frac{1 ±\sqrt{41}}{4}\)。
所以方程的根为\(x = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}\)，\(x = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}\)。
幻灯片 11：课堂练习 1
题目：解下列方程
（1）\(x - 3x + 2 = 0\)
（2）\(2x + 7x + 3 = 0\)
（3）\(4x - 4x + 1 = 0\)
解答提示：先确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，计算判别式，再代入公式求解。
幻灯片 12：课堂练习 2
题目：解下列方程
（1）\(3x + 2x - 1 = 0\)
（2）\(x - 2x + 2 = 0\)
（3）\(\frac{1}{3}x - \frac{1}{6}x - 1 = 0\)
答案
（1）\(x = \frac{1}{3}\)，\(x = -1\)
（2）无实数根（\(\Delta = -4 0\)）
（3）\(x = \frac{1 + \sqrt{73}}{4}\)，\(x = \frac{1 - \sqrt{73}}{4}\)
幻灯片 13：易错点提醒
确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值时，忘记带上符号，尤其是\(b\)或\(c\)为负数的情况。
计算判别式时出错，如符号错误或乘法运算错误，导致对根的情况判断失误。
代入求根公式时，分子或分母的符号出错，或忘记除以\(2a\)。
当方程不是一般形式时，未先化为一般形式就直接代入公式，导致系数确定错误。
幻灯片 14：课堂小结
求根公式：\(x = \frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（\(b - 4ac 0\)）
根的判别式：\(\Delta = b - 4ac\)，用于判断方程根的情况。
解题步骤：化为一般形式→计算判别式→代入公式求解（当\(\Delta 0\)时）。
优势：公式法是解一元二次方程的通用方法，适用于所有一元二次方程，无需复杂配方过程。
幻灯片 15：课后作业
基础题：解下列方程
\(x + 5x + 6 = 0\)
\(3x - 7x + 2 = 0\)
\(2x - 4x + 1 = 0\)
\(x - 6x + 9 = 0\)
提高题：
当\(k\)为何值时，方程\(kx - 6x + 9 = 0\)有两个相等的实数根？
已知关于\(x\)的方程\(x + (2k + 1)x + k = 0\)有两个不相等的实数根，求\(k\)的取值范围。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.2 公式法
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0
一、移常数项；
二、配方[配上 ]；
三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四、直接开平方法解方程.
解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = ，
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
能否也用配方法得出它的解呢？
合作探究
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程两边都除以 a，得
解：
移项，得
配方，得
即
问题：接下来能用直接开平方解吗？
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵ a ≠ 0，4a2 > 0，
∴ 当 b2 - 4ac≥0 时，
当 b2 - 4ac＜0 时，
而 x 取任何实数都不能使上式成立，
∴ 此时方程无实数根.
归纳
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 在 b2 - 4ac≥0 的条件下，它的根为： (b2 - 4ac≥0 )
我们通常把这个式子叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式.
由求根公式可知，一元二次方程的根由方程的系数 a，b，c 决定.这也反映出了一元二次方程的根与系数 a，b，c之间的一个关系．今后我们可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根.
这种解一元二次方程的方法叫作公式法．
用公式法解一元二次方程的前提是:
1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2 + bx+c = 0 (a≠0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
注意
视频：求根公式的趣味记忆
点击视频开始播放
典例精析
例1：（1）解方程：x2 - x - 2 = 0；
解：这里 a = 1，b = -1，c = -2.
∵ b 2 - 4ac = (-1)2 - 4×1×(-2) = 9﹥0，
即：x1 = 2，x2 = -1.
公式法解方程
（2）解方程：x2 - 2x = 1
解：移项，得 x2 - 2x - 1 = 0
这里 a = 1，b = -2，c = -1.
∵ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×(-1) = 8＞0，
因此，原方程的根为：
例2 ：解方程：9x2 + 12x + 4 = 0.
解：这里 a = 9，b = 12，c = 4.
因而 b2 - 4ac = 122 - 4×9×4 = 0，
所以
因此，原方程的根为
1. 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0
解：∵a = 5，b = -4，c = -12，
b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 > 0.
练一练
2 解方程：
化为一般式
解：
即
这里 a、b、c 的值是什么？
例3 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0.
∵ 在实数范围内负数不能开平方，
∴ 方程无实数根.
解：
要点归纳
公式法解方程的一般步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 - 4ac 的值；
4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根.
1. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：这里 a = 1，b = 7， c = -18.
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 > 0，
∴
即 x1 = -9， x2 = 2 .
2. 解方程(x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号，得 x–2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0.
这里 a = 3，b = -7，c = 8，
∴ b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96
= -47 < 0.
∴ 原方程没有实数根.
3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解： 这里 a = 2，b = ，c = 3.
∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0，
∴
∴ x1 = ，x2 =
知识点1 求根公式的认识
1.用公式法解方程时，求根公式中的，， 的值分别是
( )
C
A.1，2，3 B.1，，3 C.1，2， D.1，，
返回
2.对于方程， 的值为( )
D
A. B. C.49 D.1
返回
3.如果一元二次方程 能用公式法求解，那么必须满足的
条件是( )
A
A. B. C. D.
返回
4.在用公式法解一元二次方程时，代入，， 得到
，则求解的一元二次方程是( )
A
A. B.
C. D.
返回
知识点2 用公式法解一元二次方程
5.下列方程适合用公式法求解的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
6. 用公式法解方程： .
解：因为，，，所以 .
所以 ，
即， .
上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.
解：不正确.错误：没有将方程化成一般形式，造成常数项 的符号错误.
正解：移项，得，所以，， ，
所以 .
所以，即， .
返回
7.［教材P42“习题2.2”第4题变式］ 用公式法解方程：
（1） ；
解：因为，， ，
所以 .
所以 ,
所以, .
（2） ；
解：因为,, ,
所以 ,
所以,所以 .
（3） .
解：将方程化为一般形式为 ．
因为，， ，
所以 ，
所以 ，
所以， ．
返回
8.若代数式的值与的值相等，求 的值.
解：由题意可得 ，
整理,得 ，
，
．
的值为或 ．
返回
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程化为一般形式
根的判别式 b2 - 4ac
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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