资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.3.1 因式分解法解一元二次方程
副标题：因式转化，快速求解
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
前面学过的解法：直接开平方法适用于特殊形式方程，配方法和公式法适用于所有一元二次方程，但步骤相对复杂。
思考：对于一些能因式分解的一元二次方程，是否有更简便的解法？例如方程\(x - 3x + 2 = 0\)可化为\((x - 1)(x - 2) = 0\)，进而得到\(x = 1\)或\(x = 2\)，这种解法就是因式分解法。
幻灯片 3：因式分解法的原理
乘法原理：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0，即若\(ab = 0\)，则\(a = 0\)或\(b = 0\)。
核心思路：将一元二次方程化为一般形式后，通过因式分解把方程左边化为两个一次因式的乘积，右边化为 0，即\((mx + n)(px + q) = 0\)，再转化为两个一元一次方程求解。
幻灯片 4：因式分解法的适用形式
方程一边为 0，另一边能分解成两个一次因式的乘积，即形如\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）且左边可因式分解。
常见的可因式分解类型：
提公因式法：如\(x + ax = 0\)可化为\(x(x + a) = 0\)。
平方差公式：如\(x - a = 0\)可化为\((x + a)(x - a) = 0\)。
完全平方公式：如\(x + 2ax + a = 0\)可化为\((x + a) = 0\)。
十字相乘法：如\(x + (a + b)x + ab = 0\)可化为\((x + a)(x + b) = 0\)。
幻灯片 5：因式分解法解题步骤
化为一般形式：将方程化为\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）的形式，使方程右边为 0。
因式分解：把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的乘积。
转化方程：根据乘法原理，得到两个一元一次方程。
求解方程：分别解这两个一元一次方程，得到原方程的根。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 提公因式法
题目：解方程\(x - 5x = 0\)
解答
化为一般形式：\(x - 5x = 0\)（右边已为 0）。
因式分解：左边提取公因式\(x\)，得\(x(x - 5) = 0\)。
转化方程：根据乘法原理，得\(x = 0\)或\(x - 5 = 0\)。
求解方程：解得\(x = 0\)，\(x = 5\)。
所以方程的根为\(x = 0\)，\(x = 5\)。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 平方差公式
题目：解方程\(4x - 9 = 0\)
解答
化为一般形式：\(4x - 9 = 0\)（右边已为 0）。
因式分解：左边利用平方差公式\(a - b =(a + b)(a - b)\)，得\((2x + 3)(2x - 3) = 0\)。
转化方程：得\(2x + 3 = 0\)或\(2x - 3 = 0\)。
求解方程：解得\(x = -\frac{3}{2}\)，\(x = \frac{3}{2}\)。
所以方程的根为\(x = -\frac{3}{2}\)，\(x = \frac{3}{2}\)。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 十字相乘法（二次项系数为 1）
题目：解方程\(x + 6x + 8 = 0\)
解答
化为一般形式：\(x + 6x + 8 = 0\)（右边已为 0）。
因式分解：常数项 8 可分解为 2 和 4，且 2 + 4 = 6（一次项系数），所以左边分解为\((x + 2)(x + 4) = 0\)。
转化方程：得\(x + 2 = 0\)或\(x + 4 = 0\)。
求解方程：解得\(x = -2\)，\(x = -4\)。
所以方程的根为\(x = -2\)，\(x = -4\)。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 十字相乘法（二次项系数不为 1）
题目：解方程\(2x - 7x + 3 = 0\)
解答
化为一般形式：\(2x - 7x + 3 = 0\)（右边已为 0）。
因式分解：二次项系数 2 分解为 1 和 2，常数项 3 分解为 - 1 和 - 3，交叉相乘再相加：\(1 (-3)+2 (-1)=-5\)（不符合）；换常数项分解为 - 3 和 - 1，交叉相乘再相加：\(1 (-1)+2 (-3)=-7\)（符合一次项系数），所以左边分解为\((x - 3)(2x - 1) = 0\)。
转化方程：得\(x - 3 = 0\)或\(2x - 1 = 0\)。
求解方程：解得\(x = 3\)，\(x = \frac{1}{2}\)。
所以方程的根为\(x = 3\)，\(x = \frac{1}{2}\)。
幻灯片 10：例题讲解 5 - 先整理再因式分解
题目：解方程\((x + 2)(x - 3) = x + 2\)
解答
化为一般形式：移项得\((x + 2)(x - 3) - (x + 2) = 0\)，提取公因式\((x + 2)\)得\((x + 2)(x - 3 - 1) = 0\)，即\((x + 2)(x - 4) = 0\)。
转化方程：得\(x + 2 = 0\)或\(x - 4 = 0\)。
求解方程：解得\(x = -2\)，\(x = 4\)。
注意：不能直接两边除以\((x + 2)\)，否则会漏掉根\(x = -2\)。
幻灯片 11：课堂练习 1
题目：解下列方程
（1）\(x - 3x = 0\)
（2）\(9x - 16 = 0\)
（3）\(x - 7x + 12 = 0\)
解答提示：分别用提公因式法、平方差公式、十字相乘法进行因式分解后求解。
幻灯片 12：课堂练习 2
题目：解下列方程
（1）\(3x + 6x = 0\)
（2）\(2x - x - 1 = 0\)
（3）\((x - 1)(x + 2) = 2(x + 2)\)
答案
（1）\(x = 0\)，\(x = -2\)
（2）\(x = 1\)，\(x = -\frac{1}{2}\)
（3）\(x = -2\)，\(x = 3\)
幻灯片 13：易错点提醒
方程未化为一般形式就直接因式分解，导致漏根，如例题 5 中直接除以\((x + 2)\)漏掉根。
因式分解不彻底或错误，尤其是十字相乘法中系数分解不当，导致结果错误。
忽略二次项系数的分解，对于二次项系数不为 1 的方程，直接按系数为 1 的方法分解。
分解后未正确转化为两个一元一次方程，或求解一元一次方程时计算错误。
幻灯片 14：课堂小结
因式分解法原理：利用 “若\(ab = 0\)，则\(a = 0\)或\(b = 0\)” 将二次方程转化为一次方程。
关键步骤：化为一般形式（右边为 0）→因式分解左边→转化为两个一次方程→求解。
适用优势：对于可因式分解的方程，解法简便快捷，计算量小。
注意事项：必须先将方程化为右边为 0 的形式，因式分解要彻底，避免漏根。
幻灯片 15：课后作业
基础题：解下列方程
\(x + 4x = 0\)
\(16x - 25 = 0\)
\(x - 5x - 6 = 0\)
\(3x - 2x - 1 = 0\)
提高题：
解方程\((x - 2x) - 3(x - 2x) = 0\)（提示：把\(x - 2x\)看作整体）
已知方程\(x + ax + b = 0\)的两个根分别是 2 和 - 3，求\(a\)和\(b\)的值（用因式分解法思路）。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.3.1因式分解法解一元二次方程
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b=0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解．你能求出方程
(x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？
因式分解法解一元二次方程
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的初速度竖直上抛，那么经过 a s 物体离地面的高度为 (10a - 4.9a2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
解：
解：
∵ a = 4.9，b = -10，c = 0，
∴ b2－4ac = (-10)2 - 4×4.9×0
=100.
公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0.
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0，
像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
简记歌诀：
右化零，左分解；
两因式，各求解.
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 2) = 0；
(1) x1 = 0，x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
(4) m2 = m.
(4) m1 = 0，m2 = 1.
例1 用因式分解法解下列方程：
因式分解，得
于是得
x = 0 或 x - 8 = 0，
x1 = 0，x2 = 8.
(2)移项，得
因式分解，得
( 5x - 1)( 2x - 3 ) = 0.
于是得
5x－1 = 0 或 2x－3 = 0，
x(x－8) = 0.
典例精析
解：(1) 原方程可化为
即
于是得
65 - 2x = 0 或 5 - 2x = 0，
解：原方程可化为
解得
例2 解下列方程：
解：(1)因式分解，得
∴ x - 2 = 0 或 x + 1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(2) 移项、合并同类项，得
因式分解，得
(2x + 1)(2x - 1) = 0.
解得
∴ 2x + 1 = 0，或 2x - 1 = 0.
(x - 2)(x + 1) = 0.
典例精析
1.解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x1 = ，
x2 = .
x2 + x - 2 = 0
-2
1
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x - 5)(x + 2) = 18.
解： 原方程化为：
(x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3，得 x = 8； ②
由 x + 2 = 6，得 x = 4； ③
所以原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4.
解: 原方程化为：
x2 - 3x - 28 = 0，
(x - 7)(x + 4) = 0，
x1 = 7，x2 = -4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
解：因式分解，得
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0，
3.解方程：
解得
4. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为 r，
根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
解得 (舍去).
知识点1 直接利用“若,则或 ”解一元二次方程
1.一元二次方程 的根是_________________.
，
返回
2.已知方程的两根分别是，，则 __
___， ____.
[答案] 1;（或 ;1）
返回
知识点2 利用提公因式法解一元二次方程
3.方程 的根是( )
C
A. B.
C.， D.，
返回
4.方程 的解为( )
D
A. B.
C.， D.，
返回
5. 在学习了解一元二次方程后老师出示了这样一个题目：
解方程： .
小明同学的解答过程如下：
小明的解法是否正确？请写出你的解答过程.
解：小明的解法不正确.正确解答如下：
， ，
，或 ，
解得， ．
返回
知识点3 利用数学公式解一元二次方程
6.一元二次方程 的解是( )
C
A.， B.
C. D.，
返回
7.［2025长沙期中］解方程.
（1） ；
解：， ，
， .
（2） .
解：，， .
返回
知识点4 运用因式分解法解可化为 的形式的一
元二次方程
8.用因式分解法解方程 时，原方程可以分解成两个一元
一次方程，这两个一元一次方程是( )
A
A.与 B.与
C.与 D.与
返回
9.［教材P39“例8”变式］ 用因式分解法解下列方程：
（1） ；
解：，， 或
，解得， .
（2） .
解：,,或 ,
， .
返回
10.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两
根，则该等腰三角形的底边长为( )
A
A.2 B.4 C.8 D.2或4
返回
11.［2025株洲月考］对于实数， ，定义新运算，规则如下：
，则等式中 的值为_______.
或7
返回
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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