资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.3.2 选择合适的方法解一元二次方程
副标题：因题选法，高效解题
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：回顾已学解法
直接开平方法：适用于形如\(x = p\)或\((mx + n) = p\)（\(p 0\)）的方程，步骤简单，直接开平方求解。
配方法：适用于所有一元二次方程，尤其是二次项系数为 1 且一次项系数为偶数的方程，通过配方转化为直接开平方法求解。
公式法：适用于所有一元二次方程，无需因式分解或配方，直接代入求根公式即可，当方程不易因式分解时常用。
因式分解法：适用于左边能因式分解为两个一次因式乘积且右边为 0 的方程，解法快捷，计算量小。
幻灯片 3：各种方法的优缺点对比
解法
优点
缺点
适用场景示例
直接开平方法
步骤简单，计算量小
仅适用于特殊形式方程
\(x = 16\)、\((x - 2) = 9\)
配方法
适用所有方程，培养配方技巧
步骤较多，计算易出错
\(x + 6x + 5 = 0\)
公式法
通用方法，无需复杂变形
计算量大，需准确代入系数
\(2x - 5x + 1 = 0\)
因式分解法
步骤少，计算简便
仅适用于可因式分解的方程
\(x - 3x + 2 = 0\)、\(3x + x = 0\)
幻灯片 4：选择方法的基本原则
优先考虑简单方法：能直接开平方法或因式分解法求解的，优先选择这两种方法，减少计算量。
根据方程形式选择：特殊形式方程用直接开平方法，可因式分解的用因式分解法，其余考虑配方法或公式法。
结合系数特征选择：二次项系数为 1 且一次项系数为偶数时，配方法较简便；系数复杂且不易因式分解时，用公式法。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 选择直接开平方法
题目：解方程\((2x - 1) = 4\)
分析：方程形如\((mx + n) = p\)（\(p = 4 0\)），符合直接开平方法的适用形式。
解答：开平方得\(2x - 1 = ±2\)，即\(2x - 1 = 2\)或\(2x - 1 = -2\)，解得\(x = \frac{3}{2}\)，\(x = -\frac{1}{2}\)。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 选择因式分解法
题目：解方程\(x - 5x + 6 = 0\)
分析：方程左边可因式分解为\((x - 2)(x - 3)\)，右边为 0，适合用因式分解法。
解答：因式分解得\((x - 2)(x - 3) = 0\)，转化为\(x - 2 = 0\)或\(x - 3 = 0\)，解得\(x = 2\)，\(x = 3\)。
幻灯片 7：例题讲解 3 - 选择配方法
题目：解方程\(x - 4x - 1 = 0\)
分析：二次项系数为 1，一次项系数为 - 4（偶数），配方后可转化为直接开平方法，适合用配方法。
解答：移项得\(x - 4x = 1\)，配方得\(x - 4x + 4 = 1 + 4\)，即\((x - 2) = 5\)，开平方得\(x - 2 = ±\sqrt{5}\)，解得\(x = 2 + \sqrt{5}\)，\(x = 2 - \sqrt{5}\)。
幻灯片 8：例题讲解 4 - 选择公式法
题目：解方程\(3x - 2x - 2 = 0\)
分析：方程不易因式分解，二次项系数不为 1，一次项系数为 - 2（偶数），但配方需分数运算，用公式法更直接。
解答：其中\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = -2\)，\(\Delta = (-2) - 4 3 (-2) = 4 + 24 = 28 0\)，代入求根公式得\(x = \frac{2 ±\sqrt{28}}{2 3} = \frac{2 ±2\sqrt{7}}{6} = \frac{1 ±\sqrt{7}}{3}\)，即\(x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}\)，\(x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}\)。
幻灯片 9：例题讲解 5 - 多种方法对比
题目：解方程\(x - 6x + 9 = 0\)
方法一（因式分解法）：左边化为\((x - 3) = 0\)，解得\(x = x = 3\)。
方法二（直接开平方法）：方程即\((x - 3) = 0\)，开平方得\(x - 3 = 0\)，解得\(x = 3\)。
方法三（公式法）：\(a = 1\)，\(b = -6\)，\(c = 9\)，\(\Delta = 36 - 36 = 0\)，解得\(x = \frac{6}{2} = 3\)。
结论：此方程用因式分解法或直接开平方法更简便。
幻灯片 10：例题讲解 6 - 复杂方程的方法选择
题目：解方程\((x + 3)(x - 1) = 12\)
分析：先整理为一般形式\(x + 2x - 15 = 0\)，左边可因式分解为\((x + 5)(x - 3)\)，适合用因式分解法。
解答：整理得\(x + 2x - 15 = 0\)，因式分解得\((x + 5)(x - 3) = 0\)，解得\(x = -5\)，\(x = 3\)。
幻灯片 11：课堂练习 1 - 选择合适方法求解
题目：解下列方程，选择合适的方法
（1）\(x = 25\)
（2）\(x - 7x = 0\)
（3）\(2x + 5x - 3 = 0\)
（4）\(x + 2x - 4 = 0\)
解答提示
（1）直接开平方法：\(x = ±5\)
（2）因式分解法（提公因式）：\(x(x - 7) = 0\)，解得\(x = 0\)，\(x = 7\)
（3）因式分解法（十字相乘法）：\((2x - 1)(x + 3) = 0\)，解得\(x = \frac{1}{2}\)，\(x = -3\)
（4）配方法或公式法：\(x = -1 + \sqrt{5}\)，\(x = -1 - \sqrt{5}\)
幻灯片 12：课堂练习 2 - 方法选择与应用
题目：解下列方程
（1）\((x - 2) = 7\)
（2）\(3x - 6x + 3 = 0\)
（3）\(x - x - 1 = 0\)
（4）\(x(x + 4) = 5(x + 4)\)
答案
（1）直接开平方法：\(x = 2 + \sqrt{7}\)，\(x = 2 - \sqrt{7}\)
（2）因式分解法（完全平方）：\(3(x - 1) = 0\)，解得\(x = x = 1\)
（3）公式法：\(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)，\(x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)
（4）因式分解法（提公因式）：\((x + 4)(x - 5) = 0\)，解得\(x = -4\)，\(x = 5\)
幻灯片 13：易错点提醒
盲目选择方法，如对可因式分解的方程使用公式法，增加计算量。
忽略方程整理步骤，对非一般形式的方程直接求解，导致错误。
直接开平方法中漏掉负根，或因式分解法中未将方程化为右边为 0 的形式，导致漏根。
公式法中代入系数时符号错误，或计算判别式时出错。
幻灯片 14：课堂小结
方法选择策略：根据方程形式、系数特征和方法优缺点，优先选择简便方法。
核心思路：特殊形式用直接开平方法，可因式分解用因式分解法，其余用配方法或公式法。
注意事项：无论选择哪种方法，都要保证步骤规范，避免漏根或计算错误。
幻灯片 15：课后作业
基础题：选择合适的方法解下列方程
\(4x - 1 = 0\)
\(x + 3x - 10 = 0\)
\(x - 4x + 2 = 0\)
\((x + 1) = 2(x + 1)\)
提高题：
已知方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）的一个根是 1，且\(a = \sqrt{b - 2} + \sqrt{2 - b} - 1\)，求方程的另一个根。
选择最简便的方法解方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\x - y = 5\end{cases}\)（提示：利用平方差公式因式分解）。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.3.2选择合适的方法解一元二次方程
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题： 我们学习过的解一元二次方程的方法有哪些？
①因式分解法
②直接开平方法
③公式法
④配方法
(方程一边是 0，另一边整式容易因式分解)
(x + a)2 = C ( C≥0 )
(化方程为一般式)
(二次项系数化为 1，再配方)
灵活选用适当的方法解方程
例1 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边含公因式，
所以用因式分解法解答较快.
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0，
即 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0.
解得
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方，得
5x + 1 = ±1.
解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1.
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
解：配方，得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62，
即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，
x2 =
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.
解：整理成一般形式，得
3x2 - 4x - 1 = 0.
∵ b2 - 4ac = 28 > 0，
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.
拓展提升
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，应选用直接开平方法；
2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，应选用因式分解法；
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
要点归纳
一元二次方程的解法选择基本思路
例2 用因式分解法解方程：x2 - 10x + 24 = 0.
解：配方，得 x2 - 10x + 52 - 52 + 24 = 0，
把方程左边因式分解，得
(x - 5 + 1)(x - 5 - 1) = 0，
即 (x - 4)(x - 6) = 0.
解得 x1 = 4，x2 = 6.
因而 (x - 5)2 - 12 = 0.
例3 选择合适的方法解下列方程：
解：(1)因式分解，得
于是得
x = 0 或 x + 3 = 0，
x1 = 0，x2 = -3.
(2) 这里 a = 5，b = -4，c = -1.
因而 b2 - 4ac = 36 > 0，
于是得
x(x + 3) = 0.
解：原方程可化为
于是得
x + 1 = 2 或 x + 1 = -2，
x1 = 1，x2 = -3.
即 (x + 1)2 = 4.
1. 填空：
① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0；
④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8；
⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法： ；
最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： ；
最适合运用配方法： .
⑥
①
③
⑤
⑦
⑧
⑨
②
④
2.方程 (x - 3)(x + 1) = x - 3 的解是 ( )
A. x = 0 B. x = -3
C. x = 3 或 x = -1 D. x = 3 或 x = 0
解析：方程两边有公因式 (x - 3)，可以利用因式分解法解方程，原方程变形，得 (x - 3)(x + 1) - (x - 3) = 0，所以 (x - 3)(x + 1 - 1) = 0，即 x - 3 = 0 或 x = 0，所以原方程的解为 x = 3，x = 0. 故答案为 D.
D
3.用适当的方法解下列方程．
(1)x2 －3x＋1＝0； (2)(x－1)2 ＝3；
解：(1)因为 a＝1，b＝－3，c＝1，
所以 b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5，x＝ ，
所以原方程的解为 x1＝ ，x2＝ .
(2)两边直接开平方，得 x－1＝ ，
所以原方程的解为 x1＝1＋ ，x2＝1－ .
解：(3)左边分解因式，
得 x(x－3)＝0，x＝0 或 x－3＝0，
所以原方程的解为 x1＝0，x2＝3.
(4)方程两边都加1，得 x2－2x＋1＝4＋1，
所以 (x－1)2＝5，x－1＝ ，
所以原方程的解为 x1＝1＋ ，x2＝1－ .
4.用适当的方法解下列方程．
(3)x2 －3x＝0； (4)x2 －2x＝4.
知识点 选择合适的方法解一元二次方程
1.解方程 时，较合适的方法是( )
C
A.直接开平方法 B.配方法 C.因式分解法 D.公式法
返回
2.下列不适合用因式分解法求解的一元二次方程是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.解下列方程：（1）；（2） ；（3）
.较适当的方法为( )
D
A.（1）因式分解法，（2）配方法，（3）因式分解法
B.（1）因式分解法，（2）公式法，（3）公式法
C.（1）直接开平方法，（2）因式分解法，（3）配方法
D.（1）直接开平方法，（2）公式法，（3）配方法
返回
4.［教材P40“例9”变式］ 用适当的方法解下列方程：
（1） ；
解：直接开平方,得 ，
或,，
（2） ；
解：，， ，
，， .
（3） .
解：,,, .
返回
5.若式子的值为零，则 的值是( )
C
A.2或1 B.或 C.2 D.
返回
6.若关于的一元二次方程 的常数
项为0，则 的值等于___.
3
返回
7. 若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，
则该直角三角形的面积是_______.
6或
返回
一元二次方程的解法
方法
配方法
因式分解法
基本思路：降次
直接开平方法
公式法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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