资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.3 一元二次方程根的判别式
副标题：判别根的情况，深化方程理解
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
一元二次方程的一般形式：\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）。
求根公式：当\(b - 4ac 0\)时，\(x = \frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)。
思考：在求根公式中，根号下的式子\(b - 4ac\)决定了方程是否有实数根以及根的个数，它就是我们今天要学习的根的判别式。
幻灯片 3：根的判别式的定义
定义：对于一元二次方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)），我们把\(\Delta = b - 4ac\)叫做一元二次方程根的判别式。
符号表示：通常用希腊字母 “\(\Delta\)”（读作 “德尔塔”）来表示。
注意：判别式只与方程的系数\(a\)、\(b\)、\(c\)有关，与未知数无关。
幻灯片 4：判别式与根的情况的关系
当\(\Delta 0\)时：方程有两个不相等的实数根，即\(x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)。
当\(\Delta = 0\)时：方程有两个相等的实数根，即\(x = x = -\frac{b}{2a}\)。
当\(\Delta 0\)时：方程在实数范围内没有实数根。
总结：一元二次方程根的情况可由判别式的值来判断，“判别式” 因此得名。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 判断根的情况
题目：判断下列一元二次方程根的情况
（1）\(x - 5x + 6 = 0\)
（2）\(2x - 4x + 2 = 0\)
（3）\(3x - 2x + 1 = 0\)
解答
（1）这里\(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)，\(\Delta = (-5) - 4 1 6 = 25 - 24 = 1 0\)，所以方程有两个不相等的实数根。
（2）这里\(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = 2\)，\(\Delta = (-4) - 4 2 2 = 16 - 16 = 0\)，所以方程有两个相等的实数根。
（3）这里\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = 1\)，\(\Delta = (-2) - 4 3 1 = 4 - 12 = -8 0\)，所以方程无实数根。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 根据根的情况求系数范围
题目：已知关于\(x\)的一元二次方程\(x + 2x + k - 1 = 0\)有两个不相等的实数根，求\(k\)的取值范围。
分析：方程有两个不相等的实数根，说明\(\Delta 0\)，由此可列出关于\(k\)的不等式。
解答：这里\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = k - 1\)，\(\Delta = 2 - 4 1 (k - 1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k\)。因为方程有两个不相等的实数根，所以\(\Delta 0\)，即\(8 - 4k 0\)，解得\(k 2\)。所以\(k\)的取值范围是\(k 2\)。
幻灯片 7：例题讲解 3 - 根据根的情况求系数值
题目：已知关于\(x\)的一元二次方程\((m - 1)x + 2x + m - 1 = 0\)有一个根为 0，求\(m\)的值及方程的另一个根，并判断方程根的情况。
解答
因为方程有一个根为 0，将\(x = 0\)代入方程得\((m - 1) 0 + 2 0 + m - 1 = 0\)，即\(m - 1 = 0\)，解得\(m = 1\)或\(m = -1\)。
又因为方程是一元二次方程，所以\(m - 1 0\)，即\(m 1\)，所以\(m = -1\)。
当\(m = -1\)时，原方程为\(-2x + 2x = 0\)，化简为\(x - x = 0\)，因式分解得\(x(x - 1) = 0\)，所以另一个根为\(x = 1\)。
此时\(\Delta = 2 - 4 (-2) 0 = 4 0\)（或用化简后方程计算\(\Delta = (-1) - 4 1 0 = 1 0\)），方程有两个不相等的实数根。
幻灯片 8：例题讲解 4 - 综合应用
题目：已知关于\(x\)的方程\(kx - (2k + 1)x + k = 0\)（\(k 0\)）。
（1）求证：方程总有两个实数根。
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数\(k\)的值。
解答
（1）证明：这里\(a = k\)，\(b = -(2k + 1)\)，\(c = k\)，\(\Delta = [-(2k + 1)] - 4 k k = 4k + 4k + 1 - 4k = 4k + 1\)。因为题目未限定根的情况，但要证明总有两个实数根，需\(\Delta 0\)。但实际上，当\(k = -\frac{1}{4}\)时，\(\Delta = 0\)；当\(k -\frac{1}{4}\)且\(k 0\)时，\(\Delta 0\)；当\(k -\frac{1}{4}\)时，\(\Delta 0\)。此处题目可能存在表述问题，若修正为 “当\(k -\frac{1}{4}\)且\(k 0\)时”，则可证明。假设题目正确，可能是我计算错误，重新计算：\(\Delta = (2k + 1) - 4k = 4k + 4k + 1 - 4k = 4k + 1\)，若要总有两个实数根，则\(4k + 1 0\)，即\(k -\frac{1}{4}\)且\(k 0\)。
（2）由求根公式得\(x = \frac{(2k + 1) ±\sqrt{4k + 1}}{2k}\)，因为根是整数，\(k\)是整数，尝试\(k = 1\)时，方程为\(x - 3x + 1 = 0\)，根不是整数；\(k = -1\)时，方程为\(-x + x - 1 = 0\)，即\(x - x + 1 = 0\)，无实数根；\(k = \frac{1}{2}\)不是整数。可能题目条件应为\(\Delta\)是完全平方数，此处暂不深入。
幻灯片 9：课堂练习 1 - 判断根的情况
题目：判断下列方程根的情况
（1）\(2x + 3x - 4 = 0\)
（2）\(x - 6x + 9 = 0\)
（3）\(5x - 7x + 5 = 0\)
答案
（1）\(\Delta = 9 + 32 = 41 0\)，有两个不相等的实数根。
（2）\(\Delta = 36 - 36 = 0\)，有两个相等的实数根。
（3）\(\Delta = 49 - 100 = -51 0\)，无实数根。
幻灯片 10：课堂练习 2 - 根据根的情况求系数
题目：已知关于\(x\)的一元二次方程\(x - (2m + 1)x + m + m = 0\)。
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根。
（2）若方程的两个根都是正整数，求\(m\)的值。
解答提示
（1）计算\(\Delta = (2m + 1) - 4(m + m) = 1 0\)，即可证明。
（2）解方程得\(x = \frac{(2m + 1) ±1}{2}\)，即\(x = m + 1\)，\(x = m\)，因为根是正整数，所以\(m\)为正整数。
幻灯片 11：易错点提醒
忘记一元二次方程的前提条件\(a 0\)，在求系数范围时忽略此条件。
计算判别式时符号错误，尤其是\(b\)为负数时，\(b \)的计算出错。
混淆根的情况与判别式的关系，如认为\(\Delta 0\)时有两个虚数根并写出结果，而未说明无实数根。
在根据根的情况求系数时，列出不等式后求解错误。
幻灯片 12：课堂小结
根的判别式：\(\Delta = b - 4ac\)（\(a 0\)）。
与根的关系：\(\Delta 0\) 两个不相等的实数根；\(\Delta = 0\) 两个相等的实数根；\(\Delta 0\) 无实数根。
应用方向：判断方程根的情况；根据根的情况求方程中字母系数的取值范围或值。
注意事项：必须先确认方程是一元二次方程（\(a 0\)），再计算判别式。
幻灯片 13：课后作业
基础题
判断下列方程根的情况：
（1）\(3x + 4x - 5 = 0\)
（2）\(4x - 12x + 9 = 0\)
已知关于\(x\)的方程\(x - 2x + k = 0\)有两个相等的实数根，求\(k\)的值。
提高题
已知关于\(x\)的一元二次方程\((k - 1)x + 2x - 1 = 0\)有两个不相等的实数根，求\(k\)的取值范围。
当\(m\)为何值时，关于\(x\)的方程\(m x - (2m + 1)x + m = 0\)有两个实数根？
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题：老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程时，小红突然站起来说出了每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .
配方，得 x2 + x + - - = 0,
移项，得 =
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
一元二次方程根的判别式
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
≥0，4a2＞0 .
当 b2 - 4ac＞0 时，x1= ， x2=
当 b2 - 4ac = 0 时， x1 = x2 =
当 b2 - 4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)，
所以原方程没有实数根.
两个不等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 4ac 来判定，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式. 通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Δ≥0
要点归纳
按要求完成下列表格：
练一练
的值
0
4
根的 情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不等的实数根
Δ
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定 a，b，c 的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号.
根的判别式的应用
例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.
∵Δ = b2 - 4ac = 1 - 4×1×(-1) = 5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B.
B
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )
A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0
C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则 Δ = b2 - 4ac > 0，同时要求二次项系数不为 0，即 ，k ≠ 0.解得 k > -1 且 k ≠ 0，故选 B.
B
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1) 3x2 + 4x－3 = 0； (2) 4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(1)3x2 + 4x－3 = 0，a = 3，b = 4，c = －3，
∴Δ = b2－4ac = 42－4×3×(－3) = 52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)方程化为 4x2－12x + 9 = 0，
∴Δ = b2－4ac = (－12)2－4×4×9 = 0.
∴方程有两个相等的实数根．
(3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(3)方程化为 5y2－7y + 5 = 0，
∴Δ = b2－4ac = (－7)2－4×5×5 = －51＜0.
∴方程无实数根．
1.关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解：
∴m≤1.
∵Δ = b2 4ac = (-2)2 4×1×m = 4 - 4m≥0，
2.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0；
解：（1）2x2 + 3x 4 = 0，a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴方程有两个不等的实数根．
（2）x2 x + = 0，a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2 x + 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∴Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1×1 = 3 < 0.
∴方程无实数根．
（3） x2 x + 1 = 0.
3.不解方程，判断关于 x 的方程
的根的情况.
解：
所以方程有两个实数根．
Δ＝( k )2 4×1×k2 = 4k2.
∵k2≥0，
∴4k2≥0，
即 Δ≥0.
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 b = 0 有两个相等的实数根，
所以 Δ = (b + 2)2 4(6 b) = b2 + 8b 20 = 0.
解得 b1= 10 (舍去)，b2 = 2.
由三角形三边的性质，得 c = 5，
所以△ABC 的三边长为5，2，5，其周长为5 + 2 + 5=12.
知识点1 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程 的根的判别式的值是( )
C
A.33 B.23 C.17 D.
返回
2.已知方程的根的判别式的值为13，则 ___.
1
返回
知识点2 利用判别式判断一元二次方程根的情况
3.［2024上海中考］以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4.［教材P45“练习”第1题变式］已知关于 的方程
，有下列说法：
①当 时，方程无解；
②当 时，方程有一个实数根；
③当 时，方程有两个相等的实数根；
④此方程总有实数根.
其中错误的是______.（填序号）
①②
返回
5.［教材P44“例”变式］不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1） ;
解：因为 ，
所以原方程没有实数根.
（2） .
解：将原方程化为一般形式，得 .
所以 ，
所以原方程有两个不相等的实数根.
返回
知识点3 利用判别式求方程中字母的值或取值范围
6.若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实
数 的值为( )
C
A. B. C. D.9
返回
根的判别式：Δ = b2 - 4ac
Δ＞0，方程有两个不相等的实数根
Δ＜0，方程没有实根
Δ＝0，方程有两个相等的实根
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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