资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.4 一元二次方程根与系数的关系
副标题：探寻根与系数的内在联系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
一元二次方程的一般形式：\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）。
求根公式：当\(\Delta = b - 4ac 0\)时，方程的根为\(x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)。
思考：方程的根由系数\(a\)、\(b\)、\(c\)决定，那么根与系数之间是否存在直接的数量关系呢？这就是本节课要探究的内容。
幻灯片 3：根与系数关系的推导
推导过程：对于一元二次方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)），当\(\Delta 0\)时，两根为\(x = \frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a}\)，\(x = \frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a}\)。
计算两根之和：\(x + x = \frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\)。
计算两根之积：\(x ·x = \left(\frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a}\right) ·\left(\frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a}\right) = \frac{b - (b - 4ac)}{4a } = \frac{4ac}{4a } = \frac{c}{a}\)。
结论：一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。
幻灯片 4：根与系数的关系（韦达定理）
内容：如果一元二次方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）的两个实数根是\(x \)、\(x \)，那么：
\(x + x = -\frac{b}{a}\)
\(x ·x = \frac{c}{a}\)
注意事项
韦达定理成立的前提是方程有实数根，即\(\Delta 0\)。
当二次项系数\(a = 1\)时，方程为\(x + px + q = 0\)，则\(x + x = -p\)，\(x ·x = q\)，形式更简洁。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 已知方程求两根的和与积
题目：求下列方程两根的和与积
（1）\(x - 5x + 6 = 0\)
（2）\(2x - 4x + 1 = 0\)
（3）\(3x + 2x = 0\)
解答
（1）这里\(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)，\(\Delta = (-5) - 4 1 6 = 1 0\)。两根之和\(x + x = -\frac{-5}{1} = 5\)，两根之积\(x ·x = \frac{6}{1} = 6\)。
（2）这里\(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = 1\)，\(\Delta = (-4) - 4 2 1 = 8 0\)。两根之和\(x + x = -\frac{-4}{2} = 2\)，两根之积\(x ·x = \frac{1}{2}\)。
（3）整理为一般形式\(3x + 2x + 0 = 0\)，\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = 0\)，\(\Delta = 2 - 4 3 0 = 4 0\)。两根之和\(x + x = -\frac{2}{3}\)，两根之积\(x ·x = \frac{0}{3} = 0\)。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 已知一根求另一根及系数
题目：已知方程\(x - 4x + k = 0\)的一个根是\(1\)，求另一个根及\(k\)的值。
解答
方法一（韦达定理）：设方程的另一个根为\(x \)，这里\(a = 1\)，\(b = -4\)，\(c = k\)。由两根之和得\(1 + x = -\frac{-4}{1} = 4\)，解得\(x = 3\)。由两根之积得\(1 x = k\)，即\(k = 1 3 = 3\)。
方法二（代入法）：将\(x = 1\)代入方程得\(1 - 4 1 + k = 0\)，解得\(k = 3\)。原方程为\(x - 4x + 3 = 0\)，因式分解得\((x - 1)(x - 3) = 0\)，所以另一个根是\(3\)。
幻灯片 7：例题讲解 3 - 已知两根构造方程
题目：求一个一元二次方程，使它的两个根分别是\(2\)和\(-3\)。
解答
方法一：设所求方程为\(x + px + q = 0\)（\(a = 1\)），则两根之和\(2 + (-3) = -p\)，得\(p = 1\)；两根之积\(2 (-3) = q\)，得\(q = -6\)。所以所求方程为\(x + x - 6 = 0\)。
方法二：根据方程根的定义，若\(x \)、\(x \)是方程的根，则方程可表示为\((x - x )(x - x ) = 0\)，即\((x - 2)(x + 3) = 0\)，展开得\(x + x - 6 = 0\)。
幻灯片 8：例题讲解 4 - 利用根与系数关系求代数式的值
题目：已知\(x \)、\(x \)是方程\(2x + 3x - 1 = 0\)的两个根，求下列代数式的值
（1）\(x + x \)
（2）\(\frac{1}{x } + \frac{1}{x }\)
（3）\((x - x ) \)
解答：由韦达定理得\(x + x = -\frac{3}{2}\)，\(x ·x = -\frac{1}{2}\)。
（1）\(x + x = (x + x ) - 2x ·x = \left(-\frac{3}{2}\right) - 2 \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}\)。
（2）\(\frac{1}{x } + \frac{1}{x } = \frac{x + x }{x ·x } = \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = 3\)。
（3）\((x - x ) = (x + x ) - 4x ·x = \left(-\frac{3}{2}\right) - 4 \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4} + 2 = \frac{17}{4}\)。
幻灯片 9：例题讲解 5 - 综合应用
题目：已知关于\(x\)的一元二次方程\(x - (m + 2)x + 2m = 0\)。
（1）求证：无论\(m\)取何值，方程总有两个实数根。
（2）若方程的两个根分别为\(x \)、\(x \)，且\(x + x = 13\)，求\(m\)的值。
解答
（1）证明：\(\Delta = [-(m + 2)] - 4 1 2m = m + 4m + 4 - 8m = m - 4m + 4 = (m - 2) 0\)，所以无论\(m\)取何值，方程总有两个实数根。
（2）由韦达定理得\(x + x = m + 2\)，\(x ·x = 2m\)。\(x + x = (x + x ) - 2x ·x = (m + 2) - 4m = m + 4m + 4 - 4m = m + 4\)。因为\(x + x = 13\)，所以\(m + 4 = 13\)，即\(m = 9\)，解得\(m = 3\)或\(m = -3\)。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：已知方程\(3x - 5x - 2 = 0\)的两根为\(x \)、\(x \)，求：
（1）\(x + x \)
（2）\(x ·x \)
（3）\(x + x \)
答案
（1）\(\frac{5}{3}\)
（2）\(-\frac{2}{3}\)
（3）\(\left(\frac{5}{3}\right) - 2 \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{25}{9} + \frac{4}{9} = \frac{29}{9}\)
幻灯片 11：课堂练习 2 - 综合应用
题目：已知关于\(x\)的方程\(x + 2x + a = 0\)的两个根为\(x \)、\(x \)，且\(x + 2x = 3\)，求\(a\)的值。
解答提示：由韦达定理得\(x + x = -2\)，结合\(x + 2x = 3\)，可解得\(x = 5\)，\(x = -7\)，再由\(x ·x = a\)求出\(a = -35\)。
幻灯片 12：易错点提醒
应用韦达定理时忽略前提条件\(\Delta 0\)，导致在方程无实数根的情况下仍计算根与系数的关系。
计算两根之和时忘记符号，误将\(x + x = -\frac{b}{a}\)写成\(\frac{b}{a}\)。
在求关于根的代数式的值时，不会利用完全平方公式等进行变形，直接代入根的具体值计算，增加运算量。
已知两根构造方程时，未将方程化为一般形式或二次项系数未化为 1。
幻灯片 13：课堂小结
韦达定理内容：对于\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)，\(\Delta 0\)），\(x + x = -\frac{b}{a}\)，\(x ·x = \frac{c}{a}\)。
主要应用
已知方程求两根的和与积。
已知一根求另一根及方程中的未知系数。
已知两根构造一元二次方程。
求关于两根的代数式的值（如\(x + x \)、\(\frac{1}{x } + \frac{1}{x }\)等）。
注意事项：必须在方程有实数根（\(\Delta 0\)）的前提下使用韦达定理。
幻灯片 14：课后作业
基础题
已知方程\(x - 6x + 8 = 0\)的两根为\(x \)、\(x \)，求\(x + x \)和\(x ·x \)的值。
已知方程\(2x + mx - 3 = 0\)的一个根是\(3\)，求另一个根及\(m\)的值。
提高题
求一个一元二次方程，使它的两根分别是\(1 + \sqrt{2}\)和\(1 - \sqrt{2}\)。
已知关于\(x\)的方程\(x - 2x + k - 1 = 0\)的两根为\(x \)、\(x \)，且\(x ·x + x + x = 3\)，求\(k\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4 一元二次方程根与系数的关系
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式
Δ = b2 - 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根.
探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
-4
1
2
3
-1
x1 + x2 = -3
x1·x2 = -4
x1 + x2 = 5
x1·x2 = 6
将二次项系数化为 1
猜一猜
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
猜一猜
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么你可以发现什么结论？
证一证：
注：b2 - 4ac≥0
↗
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为
x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
Δ = b2 - 4ac≥0.
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）2x2 - 3x + 1= 0；
解：这里 a = 2，b = -3，c = 1.
Δ = b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 × 2 ×1 = 1 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，
那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = .
（2）x2 - 3x + 2 =10.
解：这里 a = 1，b = -3，c = -8.
Δ= b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 × 1 × (-8) = 41 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = 3 ， x1 x2 = -8 .
（3）7x2 - 5 = x + 8.
解：这里 a = 7，b = -1，c = -13.
Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 × 7 ×(-13)= 365 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = ， x1 x2 = .
例2 已知方程 x2 + 3x + q = 0 的一个根是 -3，求它的另一个根及 q 的值.
解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = -3 .
所以 x1 + x2 = -3，
即 x2 = 0
由于 x1·x2 = q = (-3)·0 = 0
得 q = 0.
答：方程的另一个根是 0，q = 0.
变式：已知方程3x2-18x+m = 0的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = 1.
所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6，
即 x2 = 5 .
由于 x1·x2 = 1×5 =
得 m = 15.
答：方程的另一个根是 5，m = 15.
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1) x1 + x2 = ； (2) x1· x2 = ；
(3) ； (4) .
4
1
14
12
练一练
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
归纳
例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0，
即 -8k + 4≥0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2
= 2k2 - 8k + 4 = 4.
解得 k1 = 0，k2 = 4.
∵ ，∴ k = 0.
常见的求值式子如下：
2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = .
1
-2
1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____.
___
-3
3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0.
解得 m = 16.
设另一个根为 x1，则
1 · x1 =
∴ x1 =
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.［2025天津期末］若,是方程 的两个根，则( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 下列一元二次方程中，两实数根之和为3的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根
， ，则( )
D
A. B. C. D.
返回
4.［教材P47“例1”变式］ 填表：
方程 两个根的和 两个根的积
_______ ______
_ _ _ ___
_ _ _ ___
返回
知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用
5.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为 和
，则 的值为( )
C
A.1 B. C.2 D.
返回
6.若关于的一元二次方程的两根分别为, ，且
，则 的值为( )
C
A.4 B.8 C.12 D.16
返回
7.［2025郴州月考］一元二次方程的两根为， ，则
的值为( )
C
A. B. C.3 D.
返回
8. 若一个一元二次方程的两个根分别是1, ，请写出
一个符合题意的一元二次方程：_____________________________.
（答案不唯一）
返回
9.［教材P47“例2”变式］ 若关于的方程 的一个根
为 ，则该方程的另一个根是______.
返回
一元二次方程的根与系数的关系
内 容
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 x1，x2，那么
应 用
……
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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