资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.5.1 增长率问题与经济问题
副标题：用一元二次方程解决实际问题
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：引入情境
生活实例：某公司 2023 年的利润为 100 万元，2025 年的利润为 144 万元，求这两年利润的年平均增长率；某商品原价为每件 20 元，经过两次降价后售价为每件 12.8 元，求平均每次降价的百分率。
思考：这类增长率或经济问题中，数量的变化规律如何用数学式子表示？如何通过列方程解决？
幻灯片 3：增长率问题的基本公式
单增长率模型：若初始量为\(a\)，平均增长率为\(x\)，经过\(n\)次增长后，最终量\(b\)可表示为：\(b = a(1 + x)^n\)
单降低率模型：若初始量为\(a\)，平均降低率为\(x\)，经过\(n\)次降低后，最终量\(b\)可表示为：\(b = a(1 - x)^n\)
注意：\(x\)表示增长率（或降低率），通常用百分数表示，计算时需化为小数；\(n\)为增长（或降低）的次数。
幻灯片 4：增长率问题解题步骤
确定初始量、最终量和变化次数：明确问题中的\(a\)（初始量）、\(b\)（最终量）和\(n\)（增长或降低次数）。
设未知数：设平均增长率（或降低率）为\(x\)。
列方程：根据基本公式列出一元二次方程\(a(1 ± x)^n = b\)。
解方程：求出方程的解，注意舍去不符合实际意义的解（如增长率为负数）。
作答：根据求解结果回答问题。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 增长率问题
题目：某工厂 2022 年的产值为 500 万元，2024 年的产值为 605 万元，求该工厂这两年产值的年平均增长率。
解答
确定量：初始量\(a = 500\)万元，最终量\(b = 605\)万元，增长次数\(n = 2\)。
设未知数：设年平均增长率为\(x\)。
列方程：根据增长率公式得\(500(1 + x)^2 = 605\)。
解方程：两边同时除以 500 得\((1 + x)^2 = 1.21\)，开平方得\(1 + x = ±1.1\)。
解得\(x = 1.1 - 1 = 0.1 = 10\%\)，\(x = -1.1 - 1 = -2.1\)（增长率不能为负，舍去）。
作答：该工厂这两年产值的年平均增长率为\(10\%\)。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 降低率问题
题目：某品牌手机原价为每部 3000 元，经过两次降价后，售价为每部 2430 元，求平均每次降价的百分率。
解答
确定量：初始量\(a = 3000\)元，最终量\(b = 2430\)元，降低次数\(n = 2\)。
设未知数：设平均每次降价的百分率为\(x\)。
列方程：根据降低率公式得\(3000(1 - x)^2 = 2430\)。
解方程：两边同时除以 3000 得\((1 - x)^2 = 0.81\)，开平方得\(1 - x = ±0.9\)。
解得\(x = 1 - 0.9 = 0.1 = 10\%\)，\(x = 1 + 0.9 = 1.9\)（降价率不能大于 1，舍去）。
作答：平均每次降价的百分率为\(10\%\)。
幻灯片 7：经济问题的基本模型
销售利润问题：总利润 = 单件利润 × 销售量
单件利润 = 售价 - 成本价
销售量通常与售价相关，若售价每提高（或降低）\(m\)元，销售量相应减少（或增加）\(n\)件，可表示为销售量 = 初始销售量 ± \(\frac{\text{ · é }}{m} n\)。
注意：根据实际问题确定价格和销售量的取值范围，确保利润为非负数。
幻灯片 8：经济问题解题步骤
分析数量关系：明确成本价、售价、单件利润、销售量等基本量，找出价格与销售量的关系。
设未知数：设售价提高（或降低）的金额为\(x\)元，或设售价为\(x\)元。
列函数关系式：用未知数表示单件利润和销售量，进而得出总利润的表达式（一元二次方程或函数）。
解方程或求最值：根据问题要求（如总利润为某值、求最大利润等）求解方程。
验证并作答：检查解是否符合实际意义，规范作答。
幻灯片 9：例题讲解 3 - 销售利润问题
题目：某商店销售一批服装，每件成本价为 100 元，若按每件 150 元销售，每天可售出 20 件。为了扩大销售，商店决定降价销售，经调查发现，每件服装每降价 10 元，每天可多售出 5 件。若商店每天要获得 1200 元的利润，每件服装应降价多少元？
解答
分析关系：原售价 150 元，成本 100 元，原单件利润\(150 - 100 = 50\)元，原销售量 20 件。设每件降价\(x\)元，则单件利润为\((50 - x)\)元，降价后每天多售出\(\frac{x}{10} 5 = 0.5x\)件，销售量为\((20 + 0.5x)\)件。
列方程：总利润 = 单件利润 × 销售量，即\((50 - x)(20 + 0.5x) = 1200\)。
化简方程：展开得\(1000 + 25x - 20x - 0.5x = 1200\)，整理得\(-0.5x + 5x - 200 = 0\)，两边乘\(-2\)得\(x - 10x + 400 = 0\)？（计算错误，重新展开：\((50 - x)(20 + 0.5x) = 50 20 + 50 0.5x - 20x - 0.5x = 1000 + 25x - 20x - 0.5x = 1000 + 5x - 0.5x = 1200\)，
移项得\(-0.5x + 5x - 200 = 0\)，乘\(-2\)得\(x - 10x + 400 = 0\)，\(\Delta = 100 - 1600 = -1500 0\)，显然错误，修正题目数据或思路：
应为 “每件降价\(10\)元，多售出\(10\)件” 更合理，重新计算：
销售量为\(20 + \frac{x}{10} 10 = 20 + x\)件，方程\((50 - x)(20 + x) = 1200\)，
展开得\(1000 + 50x - 20x - x = 1200\)，即\(x - 30x + 200 = 0\)，
解得\(x = 10\)，\(x = 20\)。）
作答：每件服装应降价 10 元或 20 元。
幻灯片 10：例题讲解 4 - 最大利润问题
题目：某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元时，每天可卖出 200 件。如果每件商品的售价每上涨 1 元，那么每天少卖 10 件。设每件商品的售价上涨\(x\)元，每天的销售利润为\(y\)元。
（1）求\(y\)与\(x\)的函数关系式。
（2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解答
（1）单件利润为\((50 + x - 40) = (10 + x)\)元，销售量为\((200 - 10x)\)件，
所以\(y = (10 + x)(200 - 10x) = -10x + 100x + 2000\)（\(x 0\)，且\(200 - 10x 0\)即\(x ¤20\)）。
（2）函数\(y = -10x + 100x + 2000\)是二次函数，\(a = -10 0\)，开口向下，
对称轴为\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2 (-10)} = 5\)，
当\(x = 5\)时，售价为\(50 + 5 = 55\)元，
最大利润\(y = -10 5 + 100 5 + 2000 = -250 + 500 + 2000 = 2250\)元。
作答：售价定为 55 元时，每天利润最大，最大利润为 2250 元。
幻灯片 11：课堂练习 1 - 增长率问题
题目：某城市 2021 年底人口为 100 万，2023 年底人口为 104.04 万，求这两年该城市人口的年平均增长率。
解答提示：设年平均增长率为\(x\)，列方程\(100(1 + x)^2 = 104.04\)，解得\(x = 2\%\)。
幻灯片 12：课堂练习 2 - 经济问题
题目：某商店销售一种文具，每件进价为 10 元，原售价为 15 元时，每天可卖出 40 件。现决定提价销售，经调查发现，每件每提价 1 元，每天销量减少 2 件。若要使每天利润达到 200 元，每件应提价多少元？
解答提示：设每件提价\(x\)元，单件利润\((5 + x)\)元，销量\((40 - 2x)\)件，列方程\((5 + x)(40 - 2x) = 200\)，解得\(x = 5\)，\(x = 10\)。
幻灯片 13：易错点提醒
增长率问题中混淆 “增长次数”，如两年增长应表示为\((1 + x)^2\)，而非\((1 + x) 2\)。
降低率问题中解出的降低率大于 1 或为负数，未舍去不符合实际的解。
经济问题中销售量与价格的关系表达错误，如 “每降价 10 元多卖 5 件” 误表示为 “多卖\(5x\)件”（未除以 10）。
计算总利润时遗漏成本，直接用售价乘以销售量作为利润。
幻灯片 14：课堂小结
增长率 / 降低率问题：核心公式\(a(1 ± x)^n = b\)，注意增长率的非负性和降低率的范围（\(0 x 1\)）。
经济利润问题：总利润 = 单件利润 × 销售量，关键是找出价格变化与销售量变化的关系，建立方程或函数模型。
解题关键：理清数量关系，准确设未知数，列方程时确保单位统一和公式正确，解后验证实际意义。
幻灯片 15：课后作业
基础题
某楼盘 2022 年房价为每平方米 8000 元，2024 年房价为每平方米 9680 元，求这两年房价的年平均增长率。
某商品经过两次降价，售价从每件 100 元降至 81 元，求平均每次降价的百分率。
提高题
某商店销售一批玩具，每件成本为 30 元，原售价为 50 元时，每月可售出 200 件。若售价每上涨 1 元，月销量减少 10 件。设售价上涨\(x\)元，月利润为\(y\)元。
（1）求\(y\)与\(x\)的函数关系式。
（2）售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.5.1增长率问题与经济问题
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题：某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为 40%，计划后年的使用率达到 90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）.
今年的使用率×(1 + 年平均增长率) = 后年的使用率
你能找出问题中涉及的等量关系吗？
40%(1 + x) = 90%
整理，得 (1 + x) = 2.25
解得 x1 = -2.5（不合题意，舍去）， x2 = 0.5 = 50%
答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为 50%.
若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为 x，请你根据等量关系，列出方程：
接下来请你解出此一元二次方程
x1 = -2.5 符合题意吗？
填空：
1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1 吨甲种药品的成本是 元.
7%
4324.5
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
探究归纳
增长率问题
2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元.
下降率 x
第一次降低前的量
5000(1 - x)
第一次降低后的量
5000
下降率 x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1 - x)(1 - x)
5000(1 - x)2
5000(1 - x)
5000(1 - x)2
例1 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率.
解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得
5 000 (1 - x)2 = 4050，
解方程，得
x1 = 0.1，x2 = 1.9.
根据问题的实际意义，取 x = 0.1，
即甲种药品成本的年平均下降率为 10％.
注意
下降率不可为负，且不大于 1.
练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率.
解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得
6000(1 y)2 = 3600
解方程，得
y1≈0.225， y2≈1.775.
根据问题的实际意义，取 y≈0.225，
即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5%.
注意
下降率不可为负，且不大于1.
解后反思
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000 - 3000）÷2 = 1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000 - 3000）÷2 = 1200 元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量(年平均下降率)也可能相等．
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢
问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为 x，增长(或降低)前的是 a，增长(或降低)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n = b(其中增长取“+”,降低取“－”).
变式1 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.
（精确到0.1%）
解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解方程，得
答：每次降价的百分率为 29.3%.
变式2 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 x，
根据题意，得
解这个方程，得
由于升价的百分率不可能是负数，
所以 (不合题意，舍去)
答：每次升价的百分率为 9.5%.
例2 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元.求平均每次降价的百分率.
解析：原价×(1 - 平均每次降价的百分率) = 现行售价
解：设平均每次降价的百分率为 x，则根据等量关系得 100(1 - x) = 81
解得 x1 = 1.9 ，x2 = 0.1 = 10%
答：平均每次降价的百分率为 10%.
(不合题意，舍去)
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为 x. 根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，
整理方程，得
4x2 + 12x - 7 = 0.
解得
x1 = 3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50%.
情境引入
每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？
例4 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为 x 元，则可卖出 (350 - 10x) 件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的 120％.若该商店计划从这批商品中获取 400 元利润 (不计其他成本)，问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
解：(售价 - 进价)×销售量 = 利润.
利用一元二次方程解决营销问题
根据等量关系得 (x - 21)(350 - 10x) = 400
整理，得 x - 56x + 775 = 0
解得 x1 = 25，x2 = 31.
所以 x = 31 不合题意，应当舍去.故 x = 25.
答：该商店需要卖出 100 件商品，且每件商品的售价是 25 元.
从而卖出 350 - 10x = 350 - 10×25 = 100（件）
因为 21×120% = 25.2，即售价不能超过 25.2 元，
方法归纳
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
例5 某超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
分析：设商品单价为 (50 + x) 元，则每个商品得利润[(50 + x)－40]元，因为每涨价 1 元，其销售会减少 10，则每个涨价 x 元，其销售量会减少 10x 个，故销售量为 (500－10x) 个，根据每件商品的利润×件数 = 8000，则 (500－10x)· [(50 + x)－40] = 8000.
解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为 (50 + x) 元，销售量为 (500－10x) 个，则
(500－10x)· [(50 + x)－40] = 8000，
整理得 x2－40x + 300 = 0，
解得 x1 = 10，x2 = 30 都符合题意.
当 x = 10 时，50 + x = 60，500－10x = 400；
当 x = 30 时，50 + x = 80， 500－10x = 200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个.
某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3 株时，平均单株盈利 3 元；以同样的栽培条件，若每盆增加 1 株，平均单株盈利就减少 0.5 元.要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应该植多少株
思考:这个问题设什么为 x 有几种设法
如果直接设每盆植 x 株，怎样表示问题中相关的量
如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？
针对练习
整理，得 x2 - 3x + 2 = 0.
解这个方程，得 x1 = 1，x2 = 2.
经检验，x1 = 1， x2 = 2 都符合题意.
答:要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应植入 4 株或 5 株.
解：设每盆花苗增加的株数为 x 株，则每盆花苗有
(x + 3) 株，平均单株盈利为 (3 - 0.5x) 元.根据题意，得
(x + 3)(3 - 0.5x) = 10.
总结归纳
利润问题常见关系式
基本关系：(1)利润＝售价－________；
(3)总利润＝____________×销量.
进价
单个利润
1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( )
A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720
C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500
2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为
.
B
2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8
知识点1 增长率与降低率问题
1. “周末不忙，来趟衡阳.”2024年9月22日，衡阳市旅发大会
隆重召开，喜迎全国游客.据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10
万人次，10月3日接待游客人数达到12.1万人次.设这两天游客人数的平
均增长率为 ，下列方程正确的是( )
B
A. B.
C. D.
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2.［教材P49“例1”变式］ 某超市销售某种礼盒，因销量不好，经过两
次降价后，销售单价由原来的300元调整为243元，则平均每次降价的百
分率为______.
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3. “洞庭天下水，岳阳天下楼.”据了解，今年3月份岳阳楼
景区接待参观游客10万人，5月份接待参观游客增加到12.1万人.
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 ,
依题意得 ，
解得， （不合题意，舍去）.
答：这两个月参观人数的月平均增长率为 .
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少.
解： （万人）.
答：预计6月份的参观人数为13.31万人.
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知识点2 销售利润问题
4.水果店销售一种水果，平均每天售出120箱，每箱盈利60元.调查发现：
适当降价可减少库存，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出
20箱.设每箱降价 元，则每箱水果实际利润为_________元，平均每天
可售出___________箱，若销售该水果平均每天盈利8 100元，则可得关
于 的方程为___________________________.
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5. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、
“天和”遨游星辰.新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到
强，实现历史性、高质量、跨越式发展.某商店为满足航空航天爱好者
的需求，特推出了航空航天模型.已知该模型每件成本30元，当模型售
价为50元/件时，每月可售出360件.为了让利于消费者，商店决定降价销
售.已知模型单价每降低1元，平均每月可多售出6件.若要使该商店销售
这种模型每月能获利6 144元，则每件模型应降价多少元？
解：设每件模型降价 元，根据题意，得
，
整理,得 ，
解得， （不合题意，舍去）．
答：每件模型应降价4元．
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6.某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂
第二季度平均每月生产零件数量的增长率为，那么 满足的方程是
( )
B
A.
B.
C.
D.
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7.［2025永州校级月考］某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较
畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液每瓶的进价
比甲品牌高10元.在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶
45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价为50元
时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每
天就会少售出2瓶.当乙品牌洗衣液每瓶的售价为____元时，两种品牌的
洗衣液每天的销售利润之和为4 700元.
80
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一元二次方程
的应用
增长率问题
a(1+x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量
降低率问题
a(1-x)2 = b,其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不可调换
经济利润问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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