资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.1.1 比例的基本性质
副标题：探究比例的核心规律
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
生活实例：在校园的升旗仪式上，国旗的长与宽的比是 3:2；某款手机屏幕的长与宽的比是 16:9；一杯糖水，糖的质量与水的质量比是 1:10。这些比在数学中都可以构成比例关系。
思考：什么是比例？比例中各部分之间存在怎样的数量关系？这就是本节课要学习的比例的基本性质。
幻灯片 3：比例的定义
比的概念：两个数相除又叫做两个数的比，记作\(a:b\)或\(\frac{a}{b}\)（\(b 0\)），其中\(a\)叫做比的前项，\(b\)叫做比的后项。
比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。如果\(a:b\)与\(c:d\)的比值相等，那么可以写成\(a:b = c:d\)（或\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)），其中\(b\)、\(d\)均不为 0。
比例的项：在比例\(a:b = c:d\)中，\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)叫做比例的项，其中\(a\)和\(d\)叫做比例的外项，\(b\)和\(c\)叫做比例的内项。
幻灯片 4：比例的基本性质推导
推导过程：已知比例\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)（\(b 0\)，\(d 0\)），在等式两边同时乘以\(bd\)（\(bd 0\)），得到\(a d = b c\)，即\(ad = bc\)。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示为：如果\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)（\(b 0\)，\(d 0\)），那么\(ad = bc\)。
注意：比例的基本性质是比例变形的重要依据，它揭示了比例中四个项之间的内在联系。
幻灯片 5：比例基本性质的逆应用
逆命题：如果\(ad = bc\)（\(b 0\)，\(d 0\)），那么\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)。
说明：比例基本性质的逆命题也成立，即如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数可以组成比例。例如，若\(2 6 = 3 4\)，则可以组成比例\(2:3 = 4:6\)、\(2:4 = 3:6\)等。
拓展：由\(ad = bc\)还可以得到其他形式的比例，如\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)、\(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)（\(a 0\)，\(c 0\)）等。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 验证比例性质
题目：判断下列比例是否成立，并用比例的基本性质验证。
（1）\(2:3 = 4:6\)
（2）\(5:7 = 10:13\)
解答
（1）对于比例\(2:3 = 4:6\)，外项是 2 和 6，内项是 3 和 4。外项积为\(2 6 = 12\)，内项积为\(3 4 = 12\)。因为外项积等于内项积，所以该比例成立。
（2）对于比例\(5:7 = 10:13\)，外项是 5 和 13，内项是 7 和 10。外项积为\(5 13 = 65\)，内项积为\(7 10 = 70\)。因为\(65 70\)，所以该比例不成立。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 利用性质求未知项
题目：求下列比例中的未知项\(x\)。
（1）\(3:x = 6:8\)
（2）\(\frac{x}{4} = \frac{9}{12}\)
解答
（1）根据比例的基本性质，外项积等于内项积，可得\(6x = 3 8\)，即\(6x = 24\)，解得\(x = 4\)。
（2）由比例的基本性质得\(12x = 4 9\)，即\(12x = 36\)，解得\(x = 3\)。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 比例变形
题目：已知\(\frac{a}{b} = \frac{3}{5}\)（\(b 0\)），求\(\frac{a + b}{b}\)的值。
解答
方法一：由\(\frac{a}{b} = \frac{3}{5}\)，根据比例的基本性质得\(5a = 3b\)，即\(a = \frac{3}{5}b\)。将\(a = \frac{3}{5}b\)代入\(\frac{a + b}{b}\)得\(\frac{\frac{3}{5}b + b}{b} = \frac{\frac{8}{5}b}{b} = \frac{8}{5}\)。
方法二：\(\frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1 = \frac{3}{5} + 1 = \frac{8}{5}\)。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 实际应用
题目：一种混凝土是由水泥、沙子和石子按\(2:3:5\)的比例混合而成的。要配制这种混凝土 100 吨，需要水泥、沙子和石子各多少吨？
解答
分析：水泥、沙子和石子的比例为\(2:3:5\)，总份数为\(2 + 3 + 5 = 10\)份。
每份的质量为\(100 ·10 = 10\)吨。
水泥的质量：\(2 10 = 20\)吨。
沙子的质量：\(3 10 = 30\)吨。
石子的质量：\(5 10 = 50\)吨。
答：需要水泥 20 吨，沙子 30 吨，石子 50 吨。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
若\(3:4 = x:8\)，则\(x = \)______。
已知\(\frac{m}{n} = \frac{2}{3}\)，则\(3m = \)______。
判断比例\(6:8 = 15:20\)是否成立，说明理由。
答案
6（由\(4x = 3 8\)得\(x = 6\)）
\(2n\)（由比例基本性质得\(3m = 2n\)）
成立，因为外项积\(6 20 = 120\)，内项积\(8 15 = 120\)，外项积等于内项积。
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：
已知\(\frac{a}{b} = \frac{4}{5}\)，求\(\frac{a - b}{b}\)的值。
若\(2a = 3b\)（\(a 0\)，\(b 0\)），写出一个关于\(a\)、\(b\)的比例。
解答提示
\(\frac{a - b}{b} = \frac{a}{b} - 1 = \frac{4}{5} - 1 = -\frac{1}{5}\)。
由\(2a = 3b\)可得\(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\)（答案不唯一）。
幻灯片 12：易错点提醒
混淆比例的外项和内项，在应用基本性质时计算错误。
忽略比例中分母不能为 0 的条件，导致比例无意义。
在进行比例变形时，未正确运用基本性质，随意改变比例的项的位置。
实际应用中，未能准确确定比例的各项对应的实际量，导致分配错误。
幻灯片 13：课堂小结
比例的定义：表示两个比相等的式子，形式为\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)（\(b 0\)，\(d 0\)）。
比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，即若\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，则\(ad = bc\)。
逆应用：若\(ad = bc\)（\(b 0\)，\(d 0\)），则可组成比例\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)等。
应用：验证比例是否成立、求比例中的未知项、进行比例变形和解决实际分配问题。
幻灯片 14：课后作业
基础题
求下列比例中的未知项\(x\)：
（1）\(5:10 = x:12\)
（2）\(\frac{3}{x} = \frac{6}{14}\)
已知\(\frac{x}{y} = \frac{5}{7}\)，求\(7x - 5y\)的值。
提高题
若\(a:b:c = 2:3:4\)，且\(a + b + c = 36\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
已知\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = 2\)（\(b 0\)，\(d 0\)），求\(\frac{a + c}{b + d}\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.1 比例的基本性质
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察与思考
如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片，(2)是由 (1) 缩小得到的.
（1）
（2）
P
Q
P′
Q′
在照片 (1) 中任意取四个点 P，Q，A，B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P′，Q′，A′，B′ 量出线段 PQ，P′Q′，AB， A′B′ 的长度.计算它们的长度的比值.
A
A'
B'
B
比例的基本性质
合作探究
问题1：如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 那么
ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc，那么 a，b，c，d 四个数成比例吗？
如果四个数 a，b，c，d 成比例，即
那么 ad = bc 吗？
在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc
由此可得到比例的基本性质：
如果 ，那么 ad = bc.
由此可得到比例的基本性质：
如果 ad = bc，那么等式 还成立吗？
在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0.
如果 ad = bc（a,b,c,d 都不等于 0），那么 .
如果
或 a：b = c：d，
那么称a、b、c、d 成比例，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项.
相关概念
典例精析
例1 已知四个数a，b，c，d成比例，即 .
下列各式成立吗？若成立，请说明理由.
①
②
④
③
由此得到
解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立.
由①式得 ad = bc.
在上式两边同除以cd，得
在①式两边都加上1，得
例2：根据下列条件，求 a∶b 的值：
（1） 4a = 5b ；
（2）
（2）∵ ，∴8a = 7b，∴
解 （1）∵ 4a = 5b，∴
例3：已知 ，求 的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
得 2(a + 3b) = 7×2b.
∴a = 4b，∴ = 4.
解法2：由 ，得 .
∴ ,
，那么
、
各等于多少？
2．已知
1．已知线段 a、b、c 满足关系式
且 b＝4，那么 ac＝______．
，
练一练
16
问题2：已知 a，b，c，d，e，f 六个数，如果
(b + d + f ≠ 0)，那么 成立吗？为什么？
设 ，则
a = kb，c = kd，e = kf .
所以
等比性质
由此可得到比例的又一性质：
例4：在 △ABC 与 △DEF 中，已知 ，且 △ABC 的周长为 18 cm，求 △DEF 的周长.
解：∵ ∴
∴4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD).
即 AB + BC + CA = (DE + EF + FD) .
又 △ABC 的周长为 18 cm，即 AB + BC + CA = 18 cm.
∴△DEF 的周长为 24 cm.
例4：若 a,b,c 都是不等于零的数，且
求 k 的值.
得 ，则 k＝2.
当 a＋b＋c＝0 时，则有 a＋b＝－c.
此时 .
综上所述，k 的值是 2 或－1.
解：当 a＋b＋c ≠ 0 时，由 ，
1.(1)已知 ，那么 = ， = .
(3)如果 ，那么 .
(2)如果 ，那么 .
3.已知四个数 a，b，c，d 成比例.
（1）若 a = -3，b = 9，c = 2，求 d；
（2）若 a = -3，b= ，c = 2，求 d.
知识点1 比例及其有关概念
1.下列各组数中，成比例的是( )
D
A.1，，， B.1，4，2，
C.5，6，2，3 D.，，1，
返回
2.若实数，，，成比例，其中，，，则 ____.
18
返回
知识点2 比例的基本性质
3.［2025益阳月考］若 ，则下列比例式中成立的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
4.已知，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
返回
5.［教材P63“例2”变式］
（1）若，则 __；
（2）若，则 ___；
（3）若，则 ___；
（4）如果，那么 的值等于__.
1
返回
6.［教材P63“练习”第1题变式］已知四个数，，， 成比例.
（1）若，，，求 ；
解： 四个数，，，成比例， ，
，， ，
，即， ．
（2）若，，，求 .
解： 四个数，，，成比例， ，
，， ，
，即, ．
返回
7.如果实数，，，（均不为0）满足 ，那么下列各式中不
成立的是( )
B
A. B. C. D.
返回
8.［2025怀化月考］已知，则 等于( )
D
A.1 B. C. D.
返回
比例的
性质
如果 那么 ad = bc.
基本
性质
等比
性质
如果 ad = bc（a , b, c, d都不等于 0），
那么
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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