资源简介

(共49张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.1.2 成比例线段
副标题：探索线段间的比例关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
比例的基本性质：若\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)（\(b 0\)，\(d 0\)），则\(ad = bc\)；反之，若\(ad = bc\)（\(b 0\)，\(d 0\)），则\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)。
思考：在几何图形中，线段是基本的构成元素，那么线段的长度之间是否存在比例关系？如何判断几条线段是成比例线段？
幻灯片 3：成比例线段的定义
线段的比：两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。若线段\(a\)的长度为\(m\)，线段\(b\)的长度为\(n\)（单位相同），则线段\(a\)与线段\(b\)的比为\(a:b = m:n\)或\(\frac{a}{b} = \frac{m}{n}\)。
成比例线段的定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
表示方法：若四条线段\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)成比例，记作\(a:b = c:d\)（或\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)），其中\(a\)、\(d\)叫做比例外项，\(b\)、\(c\)叫做比例内项，\(d\)叫做\(a\)、\(b\)、\(c\)的第四比例项。
幻灯片 4：比例中项
定义：如果三条线段\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a:b = b:c\)（即\(b = ac\)），那么线段\(b\)叫做线段\(a\)和\(c\)的比例中项。
示例：若线段\(a = 2\)，\(b = 4\)，\(c = 8\)，因为\(2:4 = 4:8\)，即\(4 = 2 8\)，所以线段\(b\)是\(a\)和\(c\)的比例中项。
注意：比例中项是针对三条线段而言的，且比例中项的平方等于另外两条线段的乘积。
幻灯片 5：成比例线段的判定
判定方法：判断四条线段是否成比例，只需判断其中两条线段的比是否等于另外两条线段的比，或通过比例的基本性质，判断两条线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积。
步骤
统一四条线段的长度单位。
计算其中两条线段的比和另外两条线段的比。
若两个比相等，则这四条线段成比例；否则不成比例。
示例：线段\(a = 1cm\)，\(b = 2cm\)，\(c = 3cm\)，\(d = 6cm\)，因为\(\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{c}{d} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，所以\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)成比例。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 判断成比例线段
题目：判断下列各组线段是否成比例（单位：cm）。
（1）\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)，\(d = 6\)
（2）\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = 3\)，\(d = 4\)
解答
（1）计算\(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\)，\(\frac{c}{d} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)，因为\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，所以这四条线段成比例。
（2）计算\(\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{c}{d} = \frac{3}{4}\)，因为\(\frac{1}{2} \frac{3}{4}\)；再计算\(\frac{a}{c} = \frac{1}{3}\)，\(\frac{b}{d} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{3} \frac{1}{2}\)，所以这四条线段不成比例。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 求线段的长度
题目：已知四条线段\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)成比例，其中\(a = 3cm\)，\(b = 4cm\)，\(c = 6cm\)，求线段\(d\)的长度。
解答：因为四条线段成比例，所以\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)。将\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(c = 6\)代入得\(\frac{3}{4} = \frac{6}{d}\)。根据比例的基本性质，\(3d = 4 6\)，即\(3d = 24\)，解得\(d = 8cm\)。答：线段\(d\)的长度为 8cm。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 比例中项的应用
题目：已知线段\(a = 9cm\)，线段\(c = 4cm\)，求线段\(a\)和\(c\)的比例中项\(b\)的长度。
解答：因为线段\(b\)是\(a\)和\(c\)的比例中项，所以\(b = ac\)。将\(a = 9\)，\(c = 4\)代入得\(b = 9 4 = 36\)，解得\(b = 6cm\)（线段长度为正数，舍去负值）。答：比例中项\(b\)的长度为 6cm。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 实际应用
题目：在一张比例尺为\(1:5000\)的地图上，测得某条道路的长度为\(8cm\)，求这条道路的实际长度。
解答：设这条道路的实际长度为\(x cm\)。比例尺表示图上距离与实际距离的比，即\(\frac{ è· }{ é è· } = \frac{1}{5000}\)。根据题意得\(\frac{8}{x} = \frac{1}{5000}\)，解得\(x = 8 5000 = 40000cm\)。因为\(1m = 100cm\)，所以\(40000cm = 400m\)。答：这条道路的实际长度为 400m。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
下列各组线段（单位：cm）中，成比例的是（ ）
A. \(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\) B. \(2\)，\(4\)，\(6\)，\(8\) C. \(3\)，\(6\)，\(9\)，\(18\) D. \(5\)，\(10\)，\(15\)，\(20\)
已知线段\(a = 2\)，\(b = 5\)，\(c = 3\)，求第四比例项\(d\)。
求线段\(a = 16cm\)和\(c = 4cm\)的比例中项。
答案
C（\(\frac{3}{6} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}\)）
由\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)得\(\frac{2}{5} = \frac{3}{d}\)，解得\(d = \frac{15}{2}\)
由\(b = 16 4 = 64\)得\(b = 8cm\)
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：
已知四条线段成比例，其中三条线段的长度分别为\(2cm\)、\(3cm\)、\(6cm\)，求第四条线段的长度。
在比例尺为\(1:2000000\)的地图上，量得甲、乙两地的距离为\(5.5cm\)，求甲、乙两地的实际距离（单位：km）。
解答提示
分情况讨论：若\(\frac{2}{3} = \frac{6}{d}\)，则\(d = 9\)；若\(\frac{2}{3} = \frac{d}{6}\)，则\(d = 4\)；若\(\frac{2}{d} = \frac{3}{6}\)，则\(d = 4\)，所以第四条线段长度为\(4cm\)或\(9cm\)。
设实际距离为\(x cm\)，\(\frac{5.5}{x} = \frac{1}{2000000}\)，解得\(x = 11000000cm = 110km\)。
幻灯片 12：易错点提醒
判断成比例线段时，未统一单位，导致比例计算错误。
对比例中项的概念理解不清，忽略线段长度为正数的条件，出现负的结果。
求第四比例项时，未明确四条线段的比例顺序，导致结果错误。
在比例尺问题中，混淆图上距离和实际距离的比例关系。
幻灯片 13：课堂小结
成比例线段的定义：四条线段中，若两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段成比例。
比例中项：若\(a:b = b:c\)，则\(b\)是\(a\)和\(c\)的比例中项，且\(b = ac\)。
判定方法：统一单位后，通过计算线段的比或乘积是否相等来判定。
实际应用：主要用于比例尺问题，图上距离与实际距离的比等于比例尺。
幻灯片 14：课后作业
基础题
判断下列各组线段（单位：mm）是否成比例：
（1）\(3\)，\(6\)，\(8\)，\(16\)
（2）\(5\)，\(10\)，\(15\)，\(30\)
已知线段\(a = 4\)，\(b = 6\)，\(c = 8\)，求第四比例项\(d\)。
求线段\(a = 25cm\)和\(c = 16cm\)的比例中项。
提高题
有四条线段，它们的长度分别为\(a = 1.5m\)，\(b = 2m\)，\(c = 2.5m\)，\(d = 3m\)，从中取出三条线段，使它们能组成一个比例，求所有可能的组合。
某零件的实际长度为\(5mm\)，在图纸上的长度为\(2cm\)，求这张图纸的比例尺。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.2 成比例线段
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？
线段的比和成比例线段
如果选用同一个长度单位量得两条先线段 AB，CD 的长度分别是 m， n，那么它们长度的比就是这两条线段的比，即
A
B
C
D
m
n
如果 的比值为 k，那么 = k，或 AB = k · CD，两条线段的比实际上就是两个数的比.
AB∶CD = m∶n 或
思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？
有关
？
无关
？
求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一
在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同.
注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数.
练一练
1.若线段 AB＝6 cm，CD＝4 cm，则
.
.
2.若线段 AB＝8 cm，CD＝2 dm，则
4.五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 形状相同，AB＝5 cm，A'B'＝3 cm，AB∶A'B'＝ .
A
B
C
D
E
A'
B'
C'
D'
E'
5∶3
3.已知线段 AB＝8 cm，A'B'＝2 cm，AB∶A'B' 的比为　　　 ，AB∶A'B' 的比值为 ，AB＝　　A'B'.
4∶1
4
4
练一练
做一做：设小方格的边长为 1，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB，AD，EF，EH 的长度分别是多少？
A
B
C
D
G
H
E
F
计算　　 　　　
的值，你发现了什么？
A
B
C
D
G
H
E
F
在四条线段中，如果如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.
归纳总结
例如已知四条线段 a, b, c, d ，若 则 a, b, c, d 是比例线段.
类似的，如果 那么称线段 AB，BC，AC，与线段 A′B′，B′C′，A′C′，对应成比例.
例1 判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段：　
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解：（1）∵　
∴ 线段 a、b、c、d 不是成比例线段．
， ，
∴　
.
典例精析
（2）a＝2，b＝
，c＝
，d＝
．
（2）∵　
∴　
∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段．
注意：
1.若 a∶b = k，说明 a 是 b 的 k 倍；
2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；
3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；
4.除了 a = b 外，a∶b ≠ b∶a，
互为倒数.
1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？
成比例线段
不成比例线段
2.下列各组线段中成比例线段的是　　（　　）
C
练一练
解：根据题意可知，AB = a m，AE = a m，AD = 1 m .
例2 一块矩形绸布的长 AB = a m，宽 AD = 1 m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？
D
A
F
E
C
B
即 ，开平方，得
由 ，得
答：a 的值应当是 m.
黄金分割的概念
一个五角星如下图所示.
问题：度量 C 到点 A、B 的距离， 与 相等吗？
A
C
B
A
B
C
A
B
C
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ， 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C叫做线段 AB 的黄金分割点，较长线段AC 与原线段 AB 的比称为黄金分割比.
概念学习
1. 计算黄金比.
解：由 ，得 AC2 = AB · BC.
设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×(1 - x)，
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程，得 x1= (不合题意，舍去)，x2=
黄金比
做一做
2.如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图：
1.经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB.
2.连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB.
3.在 AB 上截取 AC = AE.
思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗
A
B
D
E
C
∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点.
令 AB = 1 ，则
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
F
C
A
E
B
D
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么
点 E 是 AB 的黄金分割点
（即 ）是黄金分割比
矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金分割比的矩形也称为黄金矩形.
A
B
C
D
E
F
例1 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
，解得 x = 0.96.
设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y≈0.075，而 0.075 m = 7.5 cm.
故她应该穿约为 7.5 cm 高的高跟鞋看起来会更美.
1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( )
(A) 12.36 cm (B) 13.6 cm
(C) 32.36 cm (D) 7.64 cm
A
练一练
【解析】选A. 0.618×20 = 12.36(cm).
2.如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm）
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知
由图可知，AC＞BA，∴
即 AC2 = (10 - AC)×10 . 解得 AC≈6.2 cm.
6.2
【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD = ×AB
= (40 - 40) cm，AD = AB - BD = (120 - 40 ) cm，
所以 DC = AC - AD = (80 - 160) cm.
3.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =______cm，DC =_______cm.
A
B
C
D
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30°左右.特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上.这不免让
人联想起许多与北纬 30° 有关
的地方.奇石异峰，名川秀水的
黄山，庐山，九寨沟等等.衔远
山，吞长江的中国三大淡水湖
也恰好在这黄金分割的纬度上.
大自然与黄金分割
图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比，普通树叶的宽与长之比也接近 0.618.
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病.人体最感舒适的温度是 23℃ (体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23 = 37×0.618).这说明医学与 0.618 有千丝万缕联系，尚待开拓研究.人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似 0.618.
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
B
C
A
设计与黄金分割
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468 米.设计师在 263 米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.
人的俊美，体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo 苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系.也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现.
知识点1 两条线段的比
1.［2025湘潭校级月考］已知线段，，则 的值为
( )
C
A. B. C. D.2
返回
2.［教材P67“习题3.1”第3题变式］在比例尺为 的地图上，某
条道路的长为,则该道路的实际长度是___ .
3
返回
3.如图，在线段上有，两点，已知， ，则线
段与 的比是_____.
（第3题）
返回
4.如图，在中， ， ，则___，
____.
1
（第4题）
返回
5.在中， ， ，则__， ____.
返回
知识点2 成比例线段
6.下列四组线段中，是成比例线段的是( )
C
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
返回
7.如图，在矩形与矩形
中，， ，
， .
（1）求和 ；
解：，，， ，
， .
（2）线段，，， 是成比例线段吗？
解：由（1）知 ，
线段，，， 是成比例线段.
返回
知识点3 黄金分割
8.已知是线段的黄金分割点，且 ，则有( )
B
A. B.
C. D.
返回
9.如图，点是线段的黄金分割点 ，则下列等式不正确的
是( )
（第9题）
C
A. B.
C. D.
返回
（第10题）
10. 大自然是美的设计师，即使是一个小
小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比
（黄金分割比约为）.如图，点为 的黄金分割
点，若，则 约为_______.
（结果保留整数）
返回
比例线段
两条线段的比：
比例线段
①求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一；
②与单位无关，本身没有单位；
③两条线段有顺序要求
①概念：项、比例内项、比例外项；
②四条线段有顺序要求；
③特别地：比例中项
黄金分割
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比.
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段:原线段 =
定义
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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