资源简介

幻灯片 1：封面
标题：3.2 平行线分线段成比例
副标题：探究平行线与线段比例的关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
动手操作：在一张横格纸上任意画一条直线，观察这条直线被横格线分成的线段长度；再画另一条直线，对比两条直线被横格线分成的对应线段的长度比。
思考：横格线是一组平行线，它们被两条直线所截，截得的线段之间是否存在比例关系？这就是本节课要探究的平行线分线段成比例的规律。
幻灯片 3：平行线分线段成比例基本事实
基本事实内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
图形表示：如图，若\(l??????l??????l???\)，直线\(a\)、\(b\)与这三条平行线分别交于点\(A\)、\(B\)、\(C\)和点\(D\)、\(E\)、\(F\)，则\(\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\)，\(\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}\)，\(\frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}\)等。
注意：“对应线段” 指的是被平行线截得的线段中，位置相对应的线段；这一基本事实适用于一组平行线（至少三条）截两条直线的情况。
幻灯片 4：基本事实的几何语言表述
如图，∵\(l??????l??????l???\)，
∴\(\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\)（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例）。
拓展：也可表示为\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}\)，\(\frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}\)等，比例式的形式可根据需要灵活转化。
幻灯片 5：平行线分线段成比例的推论
推论内容：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
图形表示：如图，在△\(ABC\)中，若\(DE???BC\)，交\(AB\)于点\(D\)，交\(AC\)于点\(E\)，则\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)，\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)，\(\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}\)。
说明：该推论是平行线分线段成比例基本事实在三角形中的具体应用，将三角形的两边看作被平行线所截的两条直线。
幻灯片 6：推论的几何语言表述
如图，在△\(ABC\)中，∵\(DE???BC\)，
∴\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）。
注意：若\(DE???BC\)，交\(AB\)、\(AC\)的延长线于点\(D\)、\(E\)，结论仍然成立。
幻灯片 7：例题讲解 1 - 利用基本事实求线段长度
题目：如图，已知\(l??????l??????l???\)，直线\(a\)交\(l???\)、\(l???\)、\(l???\)于点\(A\)、\(B\)、\(C\)，且\(AB = 2\)，\(BC = 3\)；直线\(b\)交\(l???\)、\(l???\)、\(l???\)于点\(D\)、\(E\)、\(F\)，且\(DE = 4\)，求\(EF\)的长度。
解答：∵\(l??????l??????l???\)，∴根据平行线分线段成比例基本事实得\(\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\)。将\(AB = 2\)，\(BC = 3\)，\(DE = 4\)代入得\(\frac{2}{3} = \frac{4}{EF}\)，解得\(EF = 6\)。答：\(EF\)的长度为 6。
幻灯片 8：例题讲解 2 - 利用推论求线段长度
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(DE???BC\)，\(AD = 3\)，\(DB = 6\)，\(AE = 2\)，求\(EC\)的长度。
解答：∵\(DE???BC\)，∴根据平行线分线段成比例推论得\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)。将\(AD = 3\)，\(DB = 6\)，\(AE = 2\)代入得\(\frac{3}{6} = \frac{2}{EC}\)，即\(\frac{1}{2} = \frac{2}{EC}\)，解得\(EC = 4\)。答：\(EC\)的长度为 4。
幻灯片 9：例题讲解 3 - 比例线段的综合应用
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(DE???BC\)，\(AD = 2\)，\(AB = 5\)，\(AE = 3\)，求\(AC\)的长度。
解答：∵\(DE???BC\)，∴\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)。已知\(AD = 2\)，\(AB = 5\)，\(AE = 3\)，代入得\(\frac{2}{5} = \frac{3}{AC}\)，解得\(AC = \frac{15}{2} = 7.5\)。答：\(AC\)的长度为 7.5。
幻灯片 10：例题讲解 4 - 证明比例式
题目：如图，已知\(AB???CD???EF\)，求证：\(\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}\)。
证明：∵\(AB???CD???EF\)，∴由平行线分线段成比例基本事实得\(\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}\)（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例）。即证得\(\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}\)。
幻灯片 11：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
如图，\(l??????l??????l???\)，若\(AB = 4\)，\(BC = 6\)，\(DE = 3\)，则\(EF = \)______。
在△\(ABC\)中，\(DE???BC\)，\(AD = 5\)，\(DB = 10\)，\(AC = 21\)，则\(AE = \)，\(EC = \)。
答案
4.5（由\(\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\)得\(\frac{4}{6} = \frac{3}{EF}\)，解得\(EF = 4.5\)）
7，14（由\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)，\(AD:DB = 1:2\)，故\(AE:EC = 1:2\)，\(AE = 21??\frac{1}{3} = 7\)，\(EC = 14\)）
幻灯片 12：课堂练习 2 - 能力提升
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(DE???BC\)，\(EF???AB\)，求证：\(\frac{AD}{DB} = \frac{BF}{FC}\)。
证明提示：∵\(DE???BC\)，∴\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)；∵\(EF???AB\)，∴\(\frac{AE}{EC} = \frac{BF}{FC}\)；因此\(\frac{AD}{DB} = \frac{BF}{FC}\)。
幻灯片 13：易错点提醒
应用基本事实时，混淆对应线段，导致比例式写错。
在三角形中应用推论时，未准确识别 “平行于三角形一边的直线” 所截的两边，比例关系出错。
忽略基本事实中 “一组平行线” 的条件，对两条平行线截线段的情况错误应用结论。
证明比例式时，不会通过中间比例进行转化。
幻灯片 14：课堂小结
平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），对应线段成比例。
核心应用：根据平行线关系列出比例式，求线段长度或证明比例关系。
关键技巧：准确识别图形中的对应线段，灵活转化比例式。
幻灯片 15：课后作业
基础题
如图，\(l??????l??????l???\)，\(AB = 3\)，\(BC = 5\)，\(DF = 16\)，求\(DE\)和\(EF\)的长度。
在△\(ABC\)中，\(DE???BC\)，\(AD = 4\)，\(AB = 10\)，\(EC = 3\)，求\(AE\)的长度。
提高题
如图，已知\(AB???CD\)，\(OA = 2\)，\(OC = 3\)，\(OB = 4\)，求\(OD\)的长度。
在△\(ABC\)中，\(DE???BC\)交\(AB\)于\(D\)，交\(AC\)于\(E\)，若\(AD:DB = 2:3\)，且\(AC = 15\)，求\(AE\)的长。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2 平行线分线段成比例
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察与猜想
下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道:
AD，BE，CF 互相平行，且若 AB = BC，你能猜想出什么结果呢？
a
b
c
DE = EF
D
F
E
平行线等分线段
a
b
c
已知：直线 a∥b∥c，且 AB = BC.
求证：A1B1 = B1C1
*证明猜想
证明：过点 B 作直线 l3∥l2，分别
与直线 a，c 相交于点 A2，C2，
由于 a∥b∥c，l3∥l2，因此 A2B = A1B1 ，BC2 = B1C1
易证：△BAA2≌△BCC2.
从而 BA2 = BC2，
所以 A1B1 = B1C1.
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
归纳总结
平行线分线段成比例（基本事实）
如图①，小方格的边长都是 1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图①
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
(1) 计算 ，你有什么发现？
(2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线
b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结
论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图②
(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，
用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
如果 ，那么 与 相等吗？
解：相等. 理由如下，如图，我们分别找出 AB 的二等分点和 BC 的三等分点，再过它们作 AD 的平行线.
*证明猜想(特殊)
由已知 ，得
因此 AP = PB = BM = MH = HC.
由于 l1∥a∥l2∥b∥c∥l3，因此 DQ = QE
P
M
H
Q
N
G
a
b
c
= EN = NG = GF.
如果 ， 那么 与 相等吗？
解：相等. 理由如下：我们分别找出 AB 的 n 等分点和 BC 的 m 等分点，再过它们作 AD 的平行线.
n 个
m 个
n 个
m 个
*证明猜想（一般）
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若 a∥b∥ c ，则 ， ，
归纳：
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
想一想：
如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( )
A. B.
C. D.
D
练一练
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中哪些对应成比例的线段？
平行线分线段成比例定理的推论
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
观察与思考
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳：
如图，DE∥BC， ，则 ；
FG∥BC， ，则 .
练一练
A
B
C
E
D
F
G
例1 如图，在△ABC 中， EF∥BC.
(1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE = 7，
FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
典例精析
解：∵
∴
解得 AF = 4.
(2) 如果AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AC = .
∴ FC = AC－AF = .
如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则
AC = ；FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = .
A
B
C
E
D
F
G
练一练
7.5
6
例2 如图：在 △ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC、EF∥AB. 若 AD = 2BD，
A
B
C
D
E
F
求证： ，且 的值.
证明：∵ DE∥BC，EF∥AB，
又 AD = 2BD，
例3 如图：已知 AA1∥BB1∥CC1. AB = 2，BC = 3，A1B1 = 1.5，求 B1C1 的长.
解：由平行线分线段成比例可知，
A
A1
B1
B
C
C1
1.如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(　　)
A. B.
C. D.
D
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE = 2 cm，BE = 6 cm，BC = 4 cm，EF 长 ( )
A
A. 1 cm B. cm
C. 3 cm D. 2 cm
A
B
C
E
F
知识点1 平行线分线段成比例
1.如图，????????//????????//???????? ，则下列比例式成立的是( )
?
B
（第1题）
A.????????????????=???????????????? B.????????????????=????????????????
C.????????????????=???????????????? D.????????????????=????????????????
?
返回
2.在横格作业本上任意画两条直线与格线交于点????，????，????，????，????，????
（如图），用刻度尺量得????????=????????=????.?????????????，????????=????.?????????????，则????????=
____???????? .
?
1.4
（第2题）
返回
3. 小明用地理中所学的等高线
的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形
画出了“等高线示意图”，如图所示（单位：米）
（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所
在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值
范围内），若????，????，???? 三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
则?????????????????= __.
?
返回
????????
?
4.如图，直线????????，????????交于点????，????????//????????//????????，若????????=????，????????=???? ，
????????=????，求???????????????? 的值.
?
解：∵????????=????,????????=????,∴????????=???? .
∵????????//????????//????????,∴????????????????=????????????????=???????? .
?
返回
知识点2 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成
比例
（第5题）
5.［教材P71“习题3.2”第1题变式］ 如图，在△????????????
中，????????//????????，????????分别与????????，????????相交于点????，???? ，若
????????=????，????????=????，则???????????????? 的值为__.
?
????????
?
返回
6.如图，在△????????????中，????，????分别为????????，????????延长线上的点，????????//???????? ，
????????=????????????，若????????=????，则???????? 的长为___.
?
4
（第6题）
返回
（第7题）
7.《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线
段的乘除.如图，已知????????//????????，则????????????????=???????????????? ，若规定
????????为单位线段1，则????????=?????????????????，若规定???????? 为单
位线段1，则???????? 为( )
?
C
A.???????????????? B.???????????????? C.???????????????? D.????????????????
?
返回
（第8题）
8.如图，五线谱由五条等距离的平行横线组成，同
一条直线上的三个点????，????，???? 都在横线上，若线段
????????=????，则线段???????? 的长是( )
?
B
A.4 B.3 C.2 D.1
返回
（第9题）
9.［2025长沙校级期中］如图，四边形???????????????? 是
平行四边形，点????在????????的延长线上，点????在????????
的延长线上，连接????????,分别交????????，????????于点???? ，
???? ，则下列结论错误的是( )
?
C
A.????????????????=???????????????? B.????????????????=???????????????? C.????????????????=???????????????? D.????????????????=????????????????
?
返回
10.［教材P71“练习”第2题变式］ 如图，点????，????在线段????????上，点????，????
在线段????????上，????????//????????//????????，????????:????????:????????=????:????:????，如果????????=???? ，那
么???????? 的长为___.
?
9
（第10题）
返回
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
?推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
?基本事实
平行线分线段成比例
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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