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(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.1.2 相似三角形的判定定理 1
副标题：两角分别相等的两个三角形相似
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
利用平行判定相似：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
思考：若两个三角形有两个角分别相等，第三个角是否一定相等？这样的两个三角形是否相似？这就是本节课要学习的相似三角形判定定理 1。
幻灯片 3：判定定理 1 的探究
操作验证：画△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)，使∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)。测量两个三角形的边长，计算对应边的比值，观察三个角是否对应相等。
探究结论：通过测量发现，∠\(C = C'\)（三角形内角和为\(180 °\)），且\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\)，符合相似三角形的定义。
幻灯片 4：相似三角形的判定定理 1
定理内容：两角分别相等的两个三角形相似。
图形表示：如图，在△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)中，若∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)，则△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
几何语言表述：∵∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)，∴△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
推理依据：三角形内角和为\(180 °\)，若两个角分别相等，则第三个角必相等，满足相似三角形 “三个角分别相等” 的条件。
幻灯片 5：定理的理解与注意事项
核心条件：只需两个角分别对应相等，即可判定三角形相似，无需验证边的比例关系。
常见场景：
对顶角相等、公共角相等与已知角相等结合。
平行线形成的同位角、内错角相等与已知角结合。
易错点：角的对应关系需明确，避免因角的顺序错误导致相似三角形表示错误。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 直接应用定理判定相似
题目：如图，在△\(ABC\)和△\(DEF\)中，∠\(A = 50 °\)，∠\(B = 60 °\)，∠\(D = 50 °\)，∠\(F = 70 °\)，求证：△\(ABC\)∽△\(DEF\)。
解答：
证明：在△\(ABC\)中，∠\(C = 180 ° - A - B = 180 ° - 50 ° - 60 ° = 70 °\)。
在△\(DEF\)中，∠\(E = 180 ° - D - F = 180 ° - 50 ° - 70 ° = 60 °\)。
∴∠\(A = D = 50 °\)，∠\(B = E = 60 °\)。
根据相似三角形判定定理 1，两角分别相等的两个三角形相似，可得△\(ABC\)∽△\(DEF\)。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 利用公共角判定相似
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(CD\)是边\(AB\)上的高，求证：△\(ACD\)∽△\(ABC\)，△\(CBD\)∽△\(ABC\)。
解答：
证明△\(ACD\)∽△\(ABC\)：
∵\(CD\)是\(AB\)上的高，∴∠\(ADC = 90 °\)。
∠\(A = A\)（公共角），∠\(ADC = ACB = 90 °\)（假设△\(ABC\)为直角三角形，若为任意三角形则∠\(ACB\)非直角，修正题目为△\(ABC\)是直角三角形，∠\(ACB = 90 °\)）。
∴∠\(A = A\)，∠\(ADC = ACB\)，根据判定定理 1，△\(ACD\)∽△\(ABC\)。
同理可证△\(CBD\)∽△\(ABC\)（∠\(B\)为公共角，∠\(CDB = ACB = 90 °\)）。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 结合平行线判定相似
题目：如图，\(AB CD\)，\(AD\)与\(BC\)相交于点\(O\)，求证：△\(AOB\)∽△\(DOC\)。
解答：
证明：∵\(AB CD\)，∴∠\(A = D\)（内错角相等），∠\(B = C\)（内错角相等）。
根据相似三角形判定定理 1，两角分别相等的两个三角形相似，可得△\(AOB\)∽△\(DOC\)。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 利用相似求线段长度
题目：如图，在△\(ABC\)中，∠\(ACB = 90 °\)，\(CD AB\)于点\(D\)，若\(AD = 4\)，\(BD = 9\)，求\(CD\)的长度。
解答：
∵∠\(ACB = 90 °\)，\(CD AB\)，∴∠\(ADC = CDB = 90 °\)。
∠\(A + ACD = 90 °\)，∠\(ACD + BCD = 90 °\)，∴∠\(A = BCD\)。
∴△\(ACD\)∽△\(CBD\)（∠\(ADC = CDB\)，∠\(A = BCD\)）。
∴\(\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}\)，即\(CD = AD ·BD = 4 9 = 36\)，解得\(CD = 6\)。
答：\(CD\)的长度为 6。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
下列条件中，能判定△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)的是（ ）
A. ∠\(A = A'\) B. ∠\(A = A'\)，∠\(C = C'\) C. \(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\) D. 以上都不对
如图，∠\(1 = 2 = 3\)，则图中相似的三角形有______对。
答案
B（两角分别相等可判定相似）
3（△\(ADE\)∽△\(ABC\)，△\(ADE\)∽△\(ACD\)，△\(ABC\)∽△\(ACD\)，具体需根据图形调整）
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，\(DF BE\)，求证：\(\frac{AF}{AE} = \frac{AE}{AC}\)。
证明提示：
∵\(DE BC\)，∴△\(ADE\)∽△\(ABC\)（平行判定相似），\(\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}\)。
∵\(DF BE\)，∴△\(ADF\)∽△\(ABE\)（平行判定相似），\(\frac{AF}{AE} = \frac{AD}{AB}\)。
因此\(\frac{AF}{AE} = \frac{AE}{AC}\)。
幻灯片 12：易错点提醒
判定相似时，仅找到一个角相等就误认为三角形相似，忽略 “两角分别相等” 的条件。
角的对应关系错误，如将∠\(A\)与∠\(B'\)对应，导致相似三角形表示错误。
在复杂图形中，难以识别隐含的等角（如公共角、对顶角、同角的余角等）。
利用相似求线段长度时，对应边比例关系列错。
幻灯片 13：课堂小结
判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似。
几何语言：∵∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)，∴△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
核心思路：通过寻找公共角、对顶角、平行线形成的角或等角的余角 / 补角，确定两个角对应相等。
应用场景：直接判定三角形相似、利用相似比求线段长度或证明比例式。
幻灯片 14：课后作业
基础题
如图，在△\(ABC\)和△\(AED\)中，∠\(B = E\)，∠\(C = D\)，求证：△\(ABC\)∽△\(AED\)。
已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，∠\(A = 55 °\)，∠\(B = 65 °\)，求△\(DEF\)各角的度数。
提高题
如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(DE AB\)于点\(E\)，\(BC = 6\)，\(AC = 8\)，\(DE = 3\)，求\(AD\)的长度。
求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.1.2相似三角形的判定定理1
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1：这两个三角形有什么关系？
观察与思考
全等三角形
那这样变化一下呢？
相似三角形定义：我们把三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
对应角……？
对应边……？
问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？
全等是一种特殊的相似
定义 判定方法 全等三角形
相似三角形
三角、三边对应相等的两个三角形全等
三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似
角边角
ASA
角角边
AAS
边边边
SSS
边角边
SAS
斜边、直角边
HL
问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？
需要三个等量条件
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？
学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，30° 的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
情境引入
？
？
？
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
两角分别相等的两个三角形相似
合作探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′，∠B =∠B′，探究下列问题：
这两个三角形是相似的
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，
截取 AD = A′B′，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E，则有 △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B =∠B′，
∴∠ADE =∠B′.
又∵ AD = A′B′，∠A =∠A′，
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
问题二 试证明 △A′B′C′∽△ABC.
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理1：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A =∠A'，∠B =∠B'，
∴ △ABC∽△A'B'C'.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
归纳：
例1 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC， AB = 9，AD = 6，DE = 5，
求 BC 的长.
解：∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴△ADE∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴ ∴ BC = 7.5 .
B
A
D
E
C
典例精析
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：
△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
练一练
证明：∵∠BAC = ∠1 + ∠DAC，∠DAE = ∠3 + ∠DAC，
∠1 = ∠3，
∴ ∠BAC = ∠DAE.
∵∠C = 180°－∠2－∠DOC ，
∠E = 180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C = ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
例2 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
证明：∵∠C = 90°，∴AC⊥BC，
∵DF⊥BC，∴ DF∥AC.
∴ ∠BHF = ∠A ，而∠BHF = ∠DHE，
∴∠DHE = ∠A.
又 DE⊥AB，∴∠DEH = 90° = ∠C.
∴ △DEH∽△BCA
（两角分别相等的两个三角形相似）.
例3 如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 从点 D 分别做边 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 E、F，DF 与 AB 交于点 H.求证：△DEH∽△BCA．
D
A
C
H
F
B
E
证明：∵∠C = 90°，∠F = 90°，
∠A = ∠D，
∴△ABC∽△DEF . ∴
又 AB = 5，BC = 4，DE = 3，
∴ EF = 2.4.
例4 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C = 90°，∠F = 90°. 若∠A = ∠D，AB = 5，BC = 4，DE = 3，
求 EF 的长．
B
A
C
D
F
E
图a
b，
图b
图a
图b
图c
图d
a
a,b,c)
d)
归纳总结
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相
似三角形共有( )
A. 1 对 　　B. 2 对
C. 3 对 　　D. 4 对
C
2. 如图，在△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C = ∠E，AD : DE = 3 : 5，AE = 8，BD = 4，则 DC 的长等于 ( )
A.
B.
C.
D.
A
C
A
B
D
E
知识点 两角分别相等的两个三角形相似
1.［2025邵阳月考］小明画了如图所示的三个三角形，你认为相似的是
( )
A
A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙
返回
2.下列各组的两个等腰三角形中不一定相似的是( )
A
A.各有一个角是 的两个等腰三角形
B.各有一个角是 的两个等腰三角形
C.各有一个角是 的两个等腰三角形
D.各有一个角是 的两个等腰三角形
返回
（第3题）
3.［教材P80“练习”第1题变式］ 如图，在
中， ， .在图中
的三角形中，两两相似的三角形对数为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
4.如图，在中， ，则下列等式一定成立的是( )
C
（第4题）
A. B.
C. D.
返回
5.如图，在中，,,点在边上， ，
则 的长为____.
6.4
（第5题）
返回
6.［2025怀化校级期中］如图，为菱形
的对角线，点在的延长线上，且 .
求证： .
证明： 四边形 是菱形，
， ，
又 ，
．
返回
7.如图，在平行四边形中，点为 边上一
点，连接，点为线段 上一点，且
.求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，且 ，
， ，
．
返回
8.在中， ，用直尺和圆规在上确定点 ，使
,根据作图痕迹判断，正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
利用两角判定三角形相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理 1 的运用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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