资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.1.3 相似三角形的判定定理 2
副标题：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似。
相似三角形定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
思考：若两个三角形有一组角相等，且夹这个角的两边成比例，这两个三角形是否相似？这就是本节课要学习的相似三角形判定定理 2。
幻灯片 3：判定定理 2 的探究
操作验证：画△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)，使∠\(A = A'\)，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = k\)（\(k\)为常数）。测量∠\(B\)与∠\(B'\)、∠\(C\)与∠\(C'\)是否相等，计算\(\frac{BC}{B'C'}\)是否等于\(k\)。
探究结论：通过测量发现，∠\(B = B'\)，∠\(C = C'\)，且\(\frac{BC}{B'C'} = k\)，符合相似三角形的定义。
幻灯片 4：相似三角形的判定定理 2
定理内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
图形表示：如图，在△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)中，若∠\(A = A'\)，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\)，则△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
几何语言表述：∵∠\(A = A'\)，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\)，∴△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
核心条件：一组角对应相等，且夹这个角的两组对应边成比例，两者缺一不可。
幻灯片 5：定理的理解与注意事项
夹角的重要性：必须是两组对应边的夹角相等，若为其中一边的对角相等，则不能判定三角形相似。
比例关系：两组对应边的比需相等，即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\)，顺序不能颠倒。
易错点：忽略 “夹角” 条件，误将 “两边成比例且一边的对角相等” 当作判定依据。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 直接应用定理判定相似
题目：如图，在△\(ABC\)和△\(ADE\)中，∠\(BAC = DAE\)，\(AB = 4\)，\(AC = 6\)，\(AD = 2\)，\(AE = 3\)，求证：△\(ABC\)∽△\(ADE\)。
解答：
证明：计算对应边的比，\(\frac{AB}{AD} = \frac{4}{2} = 2\)，\(\frac{AC}{AE} = \frac{6}{3} = 2\)，因此\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\)。
已知∠\(BAC = DAE\)（夹角相等）。
根据相似三角形判定定理 2，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△\(ABC\)∽△\(ADE\)。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 利用定理判定相似并求角度
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)上的点，且\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}\)，∠\(A = 40 °\)，求∠\(ADE\)的度数。
解答：
∵\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)，且∠\(A = A\)（公共角，夹角相等）。
根据判定定理 2，△\(ADE\)∽△\(ABC\)。
∴∠\(ADE = B\)（相似三角形对应角相等）。
但题目未给出∠\(B\)度数，补充条件：若∠\(C = 60 °\)，则∠\(B = 180 ° - 40 ° - 60 ° = 80 °\)，故∠\(ADE = 80 °\)。
答：∠\(ADE\)的度数为 80°。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 结合公共角判定相似
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(CD\)交\(AB\)于点\(E\)，\(\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}\)，∠\(1 = 2\)，求证：△\(ACE\)∽△\(BCD\)。
解答：
证明：∵∠\(1 = 2\)，∴∠\(1 + ECD = 2 + ECD\)，即∠\(ACE = BCD\)。
已知\(\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}\)，但需转化为△\(ACE\)与△\(BCD\)的边的比例。（题目条件可能需调整，假设为\(\frac{AE}{BC} = \frac{AC}{BD}\)，此处修正为合理条件后）
若\(\frac{AC}{BC} = \frac{CE}{CD}\)，且∠\(ACE = BCD\)，则根据判定定理 2，△\(ACE\)∽△\(BCD\)。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 利用相似求线段长度
题目：如图，在△\(ABC\)和△\(DEF\)中，∠\(B = E\)，\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{2}{3}\)，若\(AB = 4\)，\(BC = 6\)，\(DE = 6\)，求\(EF\)和\(DF\)的长度（补充条件：\(AC = 5\)）。
解答：
∵∠\(B = E\)，\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}\)，∴△\(ABC\)∽△\(DEF\)（判定定理 2）。
相似比为\(\frac{2}{3}\)，\(\frac{BC}{EF} = \frac{2}{3}\)，\(BC = 6\)，则\(\frac{6}{EF} = \frac{2}{3}\)，解得\(EF = 9\)。
\(\frac{AC}{DF} = \frac{2}{3}\)，\(AC = 5\)，则\(\frac{5}{DF} = \frac{2}{3}\)，解得\(DF = 7.5\)。
答：\(EF\)的长度为 9，\(DF\)的长度为 7.5。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
下列条件中，能判定△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)的是（ ）
A. ∠\(A = A'\)，\(\frac{AB}{A'C'} = \frac{AC}{A'B'}\) B. ∠\(B = B'\)，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}\)
C. \(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}\) D. 以上都不对
如图，∠\(C = E\)，\(\frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} = 2\)，则△\(ABC\)与△\(ADE\)的相似比为______。
答案
B（满足两边成比例且夹角相等）
2（对应边的比为 2）
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(AB = 5\)，\(AC = 10\)，∠\(A = 60 °\)，\(D\)是\(AB\)上一点，\(AD = 2\)，在\(AC\)上取一点\(E\)，使△\(ADE\)与△\(ABC\)相似，求\(AE\)的长度。
解答提示：
分两种情况：
若∠\(A\)为夹角，\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)，则\(\frac{2}{5} = \frac{AE}{10}\)，解得\(AE = 4\)。
若∠\(A\)为夹角，\(\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}\)，则\(\frac{2}{10} = \frac{AE}{5}\)，解得\(AE = 1\)。
故\(AE\)的长度为 4 或 1。
幻灯片 12：易错点提醒
忽略 “夹角” 条件，仅根据两边成比例和任意一角相等判定相似。
对应边的比例关系颠倒，导致相似三角形判定错误。
在复杂图形中，难以准确识别哪组角是两边的夹角。
计算比例时出现错误，影响相似的判定或线段长度的求解。
幻灯片 13：课堂小结
判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何语言：∵∠\(A = A'\)，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\)，∴△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
核心思路：找到一组对应角相等，验证夹这个角的两组对应边是否成比例。
应用场景：判定三角形相似、利用相似比求线段长度或角度。
幻灯片 14：课后作业
基础题
如图，在△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)中，∠\(B = B'\)，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{3}{4}\)，求证：△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，∠\(A = D\)，\(AB = 3\)，\(AD = 6\)，\(AC = 4\)，求\(DF\)的长度。
提高题
如图，在△\(ABC\)中，\(D\)是\(BC\)上一点，\(BD = 2\)，\(DC = 3\)，\(AB = 4\)，若∠\(BAD = C\)，求\(AC\)的长度。
求证：顶角相等的两个等腰三角形相似。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.1.3相似三角形的判定定理2
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
观察与思考
问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，
它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
两个三角形相似
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE≌△ABC.
∴ △A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D = AB，
∴
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
归纳：
对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB = A′C′ : AC. ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm，
∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC∽△A′B′C′.
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
练一练
∴
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD = AE，AB = AC，
∴
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC∽△ADE.
A
B
C
D
E
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，
例2 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点，
AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD =∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB = 90°.
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB = 90°．
A
B
C
D
∵
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
∴△ADC ∽△CDB.
∴∠ACD = ∠B.
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 ( )
×
√
√
×
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA 的条件是 ( )
A. AC : BC = AD : BD
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1.如图，在中，点，分别在边，上，当 ___时，
.
返回
2.能判定和 相似的条件是( )
C
A.且 B.且
C.且 D.且
返回
3.在中，，，，将 沿虚线剪开，则
下列剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.如图，四边形的对角线，相交于点 ，且
将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若
，则下列结论中一定正确的是( )
A
A.只有①与③相似 B.只有②与④相似
C.①与③相似且②与④相似 D.没有相似三角形
返回
5.［2024广州中考］如图，点， 分别在正方形
的边，上，，， .
求证： .
证明：，， ，
四边形 是正方形，
， ，
，， .
.
返回
6.［2025常德期中］如图，点， 在线
段上，且 是等边三角形，
，， .求证：
.
证明： 为等边三角形，
， ，
，, ,
． ．
返回
7.［教材P82“练习”第2题变式］ 如图，点，是 边上的两个点，
要使 ，需要添加一个条件，所添加的条件不能是( )
D
A. B. C. D.
返回
8. 如图，在与中，，要使 与
相似，还需满足下列条件中的( )
C
A. B. C. D.
返回
9.［2025张家界月考］如图，在中，为 上一点，若
，则一定相似的两个三角形是________________.
和
（第9题）
返回
10.如图，，，，，.点 在
上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时， 的长为
___________.
8.4或2或12
（第10题）
返回
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理 2 的运用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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