资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.1.4 相似三角形的判定定理 3
副标题：三边成比例的两个三角形相似
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似。
判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
思考：若两个三角形的三条边都成比例，这两个三角形是否一定相似？这就是本节课要学习的相似三角形判定定理 3。
幻灯片 3：判定定理 3 的探究
操作验证：画△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)，使\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k\)（\(k\)为常数，如\(k = 2\)）。测量两个三角形的三个角，观察对应角是否相等。
探究结论：通过测量发现，∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)，∠\(C = C'\)，符合相似三角形 “三个角分别相等” 的定义，因此两个三角形相似。
幻灯片 4：相似三角形的判定定理 3
定理内容：三边成比例的两个三角形相似。
图形表示：如图，在△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)中，若\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\)，则△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
几何语言表述：∵\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\)，∴△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
核心条件：三条对应边的比都相等，缺一不可。
幻灯片 5：定理的理解与注意事项
比例关系：需验证三条边的对应比是否相等，即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\)，顺序需对应一致。
与全等的联系：三边对应相等的三角形全等，而三边成比例的三角形相似，全等是相似的特殊情况（相似比\(k = 1\)）。
易错点：忽略边的对应关系，随意搭配边的比例进行判定；未验证三条边的比例是否都相等，仅通过两条边成比例就下结论。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 直接应用定理判定相似
题目：判断下列各组三角形是否相似，并说明理由。
（1）△\(ABC\)的三边长分别为\(3\)、\(4\)、\(5\)；△\(DEF\)的三边长分别为\(6\)、\(8\)、\(10\)。
（2）△\(ABC\)的三边长分别为\(2\)、\(3\)、\(4\)；△\(GHI\)的三边长分别为\(3\)、\(4\)、\(5\)。
解答
（1）相似。理由：\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，即\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}\)，根据判定定理 3，三边成比例的两个三角形相似，因此△\(ABC\)∽△\(DEF\)。
（2）不相似。理由：\(\frac{2}{3} 0.67\)，\(\frac{3}{4} = 0.75\)，\(\frac{4}{5} = 0.8\)，三条边的对应比不相等，因此不相似。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 利用定理判定相似并求相似比
题目：如图，在△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)中，\(AB = 2\)，\(BC = 3\)，\(AC = 4\)；\(A'B' = 4\)，\(B'C' = 6\)，\(A'C' = 8\)，求证：△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，并求出相似比。
解答：
证明：计算对应边的比，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{B'C'} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{A'C'} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)，因此\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\)。
根据相似三角形判定定理 3，三边成比例的两个三角形相似，可得△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
相似比为\(\frac{1}{2}\)。
答：△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(1:2\)。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 结合边长关系判定相似
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(D\)、\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)、\(BC\)、\(AC\)的中点，求证：△\(DEF\)∽△\(ACB\)。
解答：
证明：∵\(D\)、\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)、\(BC\)、\(AC\)的中点，∴根据三角形中位线定理，\(DE = \frac{1}{2}AC\)，\(EF = \frac{1}{2}AB\)，\(FD = \frac{1}{2}BC\)。
因此\(\frac{DE}{AC} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{EF}{AB} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{FD}{BC} = \frac{1}{2}\)，即\(\frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{FD}{BC}\)。
根据判定定理 3，△\(DEF\)∽△\(ACB\)。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 利用相似求线段长度
题目：已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，且相似比为\(2:3\)。若△\(ABC\)的三边长分别为\(AB = 4\)，\(BC = 5\)，\(AC = 6\)，求△\(DEF\)的三边长。
解答：
∵△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(2:3\)，∴\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{2}{3}\)。
由\(\frac{4}{DE} = \frac{2}{3}\)，解得\(DE = 4 \frac{3}{2} = 6\)。
由\(\frac{5}{EF} = \frac{2}{3}\)，解得\(EF = 5 \frac{3}{2} = 7.5\)。
由\(\frac{6}{DF} = \frac{2}{3}\)，解得\(DF = 6 \frac{3}{2} = 9\)。
答：△\(DEF\)的三边长分别为\(DE = 6\)，\(EF = 7.5\)，\(DF = 9\)。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
下列各组三角形中，相似的是（ ）
A. 三边长分别为\(2\)、\(3\)、\(4\)和\(4\)、\(5\)、\(6\) B. 三边长分别为\(1\)、\(2\)、\(\sqrt{5}\)和\(2\)、\(4\)、\(2\sqrt{5}\)
C. 三边长分别为\(3\)、\(5\)、\(7\)和\(4\)、\(6\)、\(8\) D. 以上都不对
若△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，且\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{2}{3}\)，\(BC = 4\)，则\(B'C' = \)______。
答案
B（\(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}\)，三边成比例）
6（由\(\frac{BC}{B'C'} = \frac{2}{3}\)，得\(B'C' = 4 \frac{3}{2} = 6\)）
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(AB = 5\)，\(BC = 6\)，\(AC = 7\)；在△\(DEF\)中，\(DE = 10\)，\(EF = 12\)，\(DF = 14\)。判断△\(ABC\)与△\(DEF\)是否相似，若相似，求出∠\(A\)的对应角∠\(D\)的度数（提示：可利用余弦定理计算角度）。
解答提示：
计算比例：\(\frac{AB}{DE} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{EF} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{DF} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\)，三边成比例，故△\(ABC\)∽△\(DEF\)。
∠\(A\)与∠\(D\)对应，根据余弦定理在△\(ABC\)中计算∠\(A\)：\(\cos A = \frac{AB + AC - BC }{2 ·AB ·AC} = \frac{25 + 49 - 36}{2 5 7} = \frac{38}{70} 0.543\)，∠\(A 57 °\)，故∠\(D 57 °\)。
幻灯片 12：易错点提醒
判定相似时，边的对应关系错误，如将△\(ABC\)的\(AB\)与△\(A'B'C'\)的\(B'C'\)对应，导致比例计算错误。
未验证三条边的比例是否都相等，仅通过两条边成比例就判定三角形相似。
在计算比例时，单位未统一或计算失误，影响判定结果。
利用相似比求线段长度时，混淆前后项顺序，导致结果错误。
幻灯片 13：课堂小结
判定定理 3：三边成比例的两个三角形相似。
几何语言：∵\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\)，∴△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
核心思路：分别计算两个三角形三条边的对应比，若比值都相等，则三角形相似。
应用场景：判定三角形相似、利用相似比求未知边的长度。
幻灯片 14：课后作业
基础题
如图，△\(ABC\)的三边长分别为\(6\)、\(8\)、\(10\)，△\(A'B'C'\)的三边长分别为\(3\)、\(4\)、\(5\)，求证：△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)。
已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(3:4\)，若△\(ABC\)的周长为\(18\)，求△\(DEF\)的周长。
提高题
一个三角形的三边长分别为\(2\)、\(3\)、\(4\)，另一个三角形的一边长为\(8\)，且与第一个三角形相似，求另一个三角形的另外两条边的长度。
求证：三边对应成比例的两个等腰三角形相似。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.1.4相似三角形的判定定理3
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪
些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有
其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
复习引入
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，
我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
A
B
C
C′
B′
A′
通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
∴ DE = B′C′，EA = C′A′.
∴△ADE ≌ △A′B′C′.
∴△A′B′C′ ∽ △ABC.
∴ ， .
又 ，AD = A′B′，
∴
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.
证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′，
C′
B′
A′
B
C
A
D
E
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理 3：
三边成比例的两个三角形相似．
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
归纳总结
例1 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′，
∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2
= 4A′B′2－ 4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2)
= 4B′C′2 = (2B′C′)2.
∴ BC = 2B′C′，
∴ △A′B′C′∽△ABC.
例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
(1)
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △DEF 中，
DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
∵ ， ， ，
∴ .
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
∵ ， ，
∴ .
(2)
解：
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
归纳总结
已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24，
DE＝16，EF＝20， DF＝30.
(2) AB＝4， BC＝8， AC＝10，
DE＝20，EF＝16， DF＝8；
(1) AB＝3， BC＝4， AC＝6，
DE＝6， EF＝8， DF＝9；
是
否
否
练一练
例3 如图，方格网的小方格是边长为 1 的正方形，△ABC与 △A′B′C′ 的顶点都在格点上，△ABC 与 △A′B′C′ 相似吗 为什么
C
B
A
A′
B′
C′
解：△ABC 与 △A′B′C′ 的顶点都在格点上，根据勾股定理，得
∴△ABC 与 △A′B′C′ 相似.
例4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，
∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数.
A
B
C
D
E
∴ △ABC ∽△ADE.
解：∵
∴∠BAC =∠DAE，∠BAC－∠DAC
=∠DAE－∠DAC.
即 ∠BAD =∠CAE.
∵∠BAD = 20°，
∴∠CAE = 20°.
解：在 △ABC 和 △ADE 中，
∵ AB∶AD = BC∶DE = AC∶AE， ∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC =∠DAE，∠B =∠D，∠C =∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD .
∴∠BAD =∠CAE .
故图中相等的角有∠BAC =∠DAE，
∠B =∠D，∠C =∠E，∠BAD =∠CAE.
如图，已知 AB∶AD = BC∶DE = AC∶AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
练一练
A
B
C
D
E
1. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是 ( )
C
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
①
②
③
④
2. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
∵ BC∶AB = AB∶BD = AC∶AD，∴△ABC∽△DBA，故选 C.
解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，∵∠APD=90°，
∴ AB = ，AC = ，AD = .
知识点 三边成比例的两个三角形相似
1.若的三边长分别是3，5，6，则与相似的 的各边
长可能是( )
D
A.，， B.，，
C.，， D.，，
返回
2.将一个三角形的各边都缩小到原来的 后，得到的三角形与原三角形
( )
D
A.一定不相似 B.不一定相似
C.无法判断是否相似 D.一定相似
返回
3. 下列选项中的四个三角形，与图中的三角形相似的
是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.［2025永州月考］如图，若 ，则下列结
论不成立的是( )
C
A. B.
C.平分 D.
返回
5.已知一个三角形的三边长分别为、、 ，另一个三角
形的三边长分别为、 、_______时，这两个三角形相似.
返回
6.［2025长沙校级调研］如图，，，分别是
的三边,,的中点.求证： .
证明：，，分别是的三边，， 的
中点，，，为 的中位线.
. .
返回
7.［教材P82“练习”第2题变式］ 如图是三个三角形，则下列结论正确
的是( )
D
A.只有
B.只有
C.只有
D.
返回
8. 在如图所示的部分象棋棋
盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据
“马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位
置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在
B
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在 ( )
返回
9. 现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角
形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似.
（填“一定”“不一定”或“一定不”）
不一定
返回
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理 3 的运用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑