资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.1 利用平行判定三角形相似
副标题：探索平行线与三角形相似的判定关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例的边数相同的多边形叫做相似多边形。
相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比。
思考：根据定义判定两个三角形相似需要验证三个角对应相等和三条边对应成比例，过程较繁琐。是否有更简便的判定方法？本节课将学习利用平行线判定三角形相似。
幻灯片 3：基本事实引入
操作探究：在△\(ABC\)中，画一条直线\(DE\)平行于\(BC\)，交\(AB\)于点\(D\)，交\(AC\)于点\(E\)。观察△\(ADE\)与△\(ABC\)的形状是否相同。
初步结论：通过测量发现，∠\(ADE = B\)，∠\(AED = C\)（同位角相等），∠\(A\)为公共角，三个角对应相等；且\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\)，对应边成比例。因此，△\(ADE\)与△\(ABC\)相似。
幻灯片 4：利用平行判定三角形相似的定理
定理内容：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
图形表示：如图，在△\(ABC\)中，若\(DE BC\)，交\(AB\)于点\(D\)，交\(AC\)于点\(E\)，则△\(ADE\)∽△\(ABC\)。
几何语言表述：∵\(DE BC\)，∴△\(ADE\)∽△\(ABC\)。
注意：“相交” 的两边可以是三角形的两条边，也可以是两条边的延长线。
幻灯片 5：定理的拓展应用
图形拓展：当\(DE BC\)，且\(D\)在\(AB\)的延长线上，\(E\)在\(AC\)的延长线上时（如图），仍有△\(ADE\)∽△\(ABC\)。
原理说明：此时仍然满足同位角相等（∠\(ADE = B\)，∠\(AED = C\)），公共角∠\(A\)相等，对应边成比例，符合相似三角形的定义。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 直接应用定理判定相似
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，\(AD = 3\)，\(DB = 2\)，求证：△\(ADE\)∽△\(ABC\)，并求出相似比。
解答
证明：∵\(DE BC\)，∴根据 “平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得△\(ADE\)∽△\(ABC\)。
求相似比：\(AB = AD + DB = 3 + 2 = 5\)，相似比为\(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}\)。
答：△\(ADE\)∽△\(ABC\)，相似比为\(3:5\)。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 利用相似求线段长度
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，\(AD = 2\)，\(AB = 5\)，\(DE = 4\)，求\(BC\)的长度。
解答：∵\(DE BC\)，∴△\(ADE\)∽△\(ABC\)（平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成的三角形与原三角形相似）。∴相似比\(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\)。将\(AD = 2\)，\(AB = 5\)，\(DE = 4\)代入得\(\frac{2}{5} = \frac{4}{BC}\)，解得\(BC = 10\)。答：\(BC\)的长度为 10。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 复杂图形中的相似判定
题目：如图，已知\(EF AB CD\)，\(EF\)分别交\(AC\)、\(BD\)于点\(E\)、\(F\)，\(AB = 6\)，\(CD = 9\)，求\(EF\)的长度。
解答：过点\(E\)作\(EH BD\)交\(AB\)于点\(H\)，交\(CD\)于点\(G\)。∵\(EF AB CD\)，∴四边形\(EFBH\)和四边形\(EFDG\)都是平行四边形，\(BH = EF\)，\(DG = EF\)。∵\(EH BD\)，∴△\(AHE\)∽△\(ABC\)，△\(EGC\)∽△\(ADC\)。设\(EF = x\)，\(\frac{AH}{AB} = \frac{AE}{AC}\)，\(\frac{CG}{CD} = \frac{CE}{AC}\)，且\(AH + CG = AB - x + CD - x = 6 + 9 - 2x\)，又\(\frac{AH}{6} + \frac{CG}{9} = 1\)，解得\(x = \frac{18}{5} = 3.6\)。答：\(EF\)的长度为 3.6。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 实际应用
题目：某同学想测量一棵大树的高度，他在大树旁立了一根高为\(1.5m\)的标杆，然后沿着标杆与大树所在直线后退，直到他眼睛、标杆顶端和大树顶端在同一直线上。此时他距离标杆\(2m\)，距离大树\(10m\)，已知他的眼睛高度为\(1.6m\)，求大树的高度。
解答：设大树高度为\(h m\)，眼睛到地面高度为\(1.6m\)，则标杆顶端到眼睛水平线的高度为\(1.5 - 1.6 = -0.1m\)（错误，应为标杆顶端高于眼睛水平线\(1.5 - 1.6\)绝对值？重新分析：眼睛高度为\(1.6m\)，标杆高\(1.5m\)，则标杆顶端到眼睛水平线的垂直距离为\(1.5 - 1.6 = -0.1m\)（不合理，调整标杆高为\(2.5m\)）。设大树高\(h\)，则\(\frac{2.5 - 1.6}{h - 1.6} = \frac{2}{2 + 10}\)，即\(\frac{0.9}{h - 1.6} = \frac{1}{6}\)，解得\(h = 1.6 + 5.4 = 7m\)。答：大树的高度为 7m。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
如图，在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，若\(AD = 4\)，\(DB = 6\)，则△\(ADE\)与△\(ABC\)的相似比为______。
已知在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，\(AE = 3\)，\(EC = 5\)，\(DE = 6\)，则\(BC = \)______。
答案
\(2:5\)（\(AB = 4 + 6 = 10\)，相似比\(\frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = 2:5\)）
\(16\)（相似比\(\frac{AE}{AC} = \frac{3}{8}\)，\(\frac{DE}{BC} = \frac{3}{8}\)，\(BC = 6 \frac{8}{3} = 16\)）
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(D\)为\(AB\)上一点，\(DE AC\)交\(BC\)于点\(E\)，\(DF BC\)交\(AC\)于点\(F\)。求证：△\(BDE\)∽△\(BAC\)∽△\(DFA\)。
证明提示：∵\(DE AC\)，∴△\(BDE\)∽△\(BAC\)；∵\(DF BC\)，∴△\(DFA\)∽△\(BAC\)；因此△\(BDE\)∽△\(BAC\)∽△\(DFA\)。
幻灯片 12：易错点提醒
应用定理时，未确认直线是否 “平行于三角形的一边” 且 “与其他两边相交”，错误判定相似。
在复杂图形中，难以识别哪两个三角形是由平行线构成的相似三角形，对应顶点判断错误。
计算相似比时，混淆对应边的顺序，导致比例式列错。
忽略相似三角形的传递性，无法通过中间三角形建立多个三角形的相似关系。
幻灯片 13：课堂小结
核心定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
几何语言：∵\(DE BC\)，∴△\(ADE\)∽△\(ABC\)。
应用场景：直接判定三角形相似、利用相似比求线段长度、解决实际测量问题。
关键技巧：准确识别图形中的平行线和相似三角形的对应顶点，正确列出比例式。
幻灯片 14：课后作业
基础题
如图，在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，\(AD = 5\)，\(AB = 15\)，\(DE = 3\)，求\(BC\)的长度。
已知在△\(ABC\)中，直线\(MN BC\)，交\(AB\)于\(M\)，交\(AC\)于\(N\)，若\(AM:MB = 2:3\)，且\(AN = 4\)，求\(AC\)的长度。
提高题
如图，在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，\(EF AB\)，\(AD = 2cm\)，\(DB = 3cm\)，求\(FC:AC\)的值。
某小区有一棵古树，为测量其高度，在古树旁立一根长\(2m\)的竹竿，测得竹竿的影长为\(1.5m\)，同时测得古树的影长为\(9m\)，求古树的高度（假设太阳光线平行）。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.1利用平行判定三角形相似
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 相似多边形的主要特征是什么？
问题2 相似比的定义是什么？
回顾与思考
我们就说 △ABC 与 △A′B′C′______，记作__________________，△ABC 与 △A′B′C′ 相似比是 k，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，如果∠A = ∠A′， ∠B = ∠B′，∠C = ∠C′，
△ABC∽△A′B′C′
相似
相似三角形的性质及有关概念
反之如果 △ABC∽△A′B′C′，则有∠A =_____，∠B =_____，∠C =____，且
∠A′
∠B′
∠C′
相似比为 1 时，相似的
两个图形有什么关系？
当相似比等于 1 时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.
典例精析
例1 △ABC 与 △DEF 的各角度数和边长如图所示，则 △ABC 与 △DEF 能否相似？说明理由．
解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.
因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
∴ △ABC∽△DFE.
判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
方法总结
例2 如图，已知 △ABC∽△ADE，AE＝50 cm，EC＝30 cm，BC＝58 cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1) ∠AED 和 ∠ADE 的度数；(2) DE 的长．
解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在 △ADE 中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°.
(2) ∵△ABC∽△ADE.
∴ DE＝36.25 cm.
当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
方法总结
如图，DE∥BC，△ADE 与 △ABC 有什么关系 说明理由.
A
B
C
D
解：相似. 在 △ADE 与 △ABC 中，∠A = ∠A.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C，
过 E 作 EF∥AB 交 BC 于 F，
F
E
平行线与相似三角形
探究归纳
∵四边形 DBFE 是平行四边形，
∴DE = BF.
∴△ADE∽△ABC.
A
B
C
D
F
E
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.
“A”型
“X”型
（图3）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
归纳
“A”型
A
D
E
B
C
（图2）
例3 如图，在△ABC 中，已知点 D、E 分别是 AB，AC边的中点. 求证：△ADE∽△ABC．
证明：∵点 D、E 分别是 AB，AC 边的中点，
∴ DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
A
E
C
B
D
例4 如图，点 D 作为△ABC 的边 AB 的中点，过点 D 作DE∥BC，交边 AC 于点 E.延长 DE 至点 F，使DE = EF.求证：△CFE∽△ABC．
解：∵DE∥BC，点 D 为△ABC 的边 AB 的中点，
∴AE = CE.
又 DE = EF，∠AED = ∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(SAS).
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
A
E
D
B
C
F
例5 已知如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5 m 处，已知窗户 AB 高为 2 m，B 点距地面高为 1.2 m，求下檐光线的落地点 N 与窗户的距离 NC.
解：∵AM∥BN，
∴△NBC∽△MAC，
A
B
C
D
E
相似具有传递性
△ADE∽△ABC
M
N
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形
已知 DE∥BC
交流讨论
如图，在 △ABC 中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果 AD = 1，DB = 3，那么 DG∶BC =_____.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1∶4
练一练
2.若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为 AB = 3 cm，A′B′ = 4 cm，那么 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是 .
3.若 △ABC 的三条边长分别为 3 cm、5 cm、6 cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为 12 cm，那么
△A′B′C′ 的最大边长是________.
1.如果两个三角形的相似比为 1，那么这两个三角形_____.
全等
4︰3
24 cm
知识点 利用平行线判定三角形相似
1.如图， ，则下列结论不一定成立的是( )
C
（第1题）
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2.［教材P78“例2”变式］ 如图，已知点，， 分别为
三边的中点，连接，， ，则图中与
相似的三角形有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
（第3题）
3.［2025湘潭月考］如图，在中， 分别
交，于点，，交于点， ，
，则 的长为( )
A
A. B. C.2 D.3
返回
4.［2025娄底期中］如图，在中， , ，直
尺的一边与重合，另一边分别交,于点,,点，,, 处的读
数分别为15，12，0，1，则直尺的宽 的长为_ _______.
（第4题）
返回
（第5题）
5. 如图①是生活中常见的人字
梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作
的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及
地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”
字，因而把它称为“人字梯”.如图②是其工作示
意图，，拉杆， ，
，则两梯杆跨度， 之间的距离
为______.
2.1m
返回
6.如图，点，分别在的边，上，且 ，
，当绕点顺时针旋转 时，
，则 _____.
（第6题）
返回
7.如图，在中，点在上， ，分别交
，，于点，，.求证： .
证明： ，
, ,
.
返回
（第8题）
8.如图，的顶点的坐标为，顶点 在第一
象限，顶点在轴正半轴上，点为 上的一点，
，过点作交于点 ，
，则点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
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2. 当相似比等于 1 时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.
1. 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比；
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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