资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.2.1 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
副标题：探究相似三角形中特殊线段的比例关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
相似三角形的判定定理：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。
思考：相似三角形的对应边成比例，那么它们的对应高、对应中线、对应角平分线是否也存在一定的比例关系？这就是本节课要探究的内容。
幻灯片 3：相似三角形对应高的性质
探究过程：如图，△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，\(AD\)和\(A'D'\)分别是△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)的对应高（即\(AD BC\)，\(A'D' B'C'\)）。
∵△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，∴∠\(B = B'\)。
∵\(AD\)和\(A'D'\)是对应高，∴∠\(ADB = A'D'B' = 90 °\)。
∴△\(ABD\)∽△\(A'B'D'\)（两角分别相等）。
∴\(\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k\)。
性质结论：相似三角形对应高的比等于相似比。
幻灯片 4：相似三角形对应中线的性质
探究过程：如图，△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，\(AE\)和\(A'E'\)分别是△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)的对应中线（即\(BE = EC\)，\(B'E' = E'C'\)）。
∵△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，∴∠\(B = B'\)，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = k\)。
∵\(AE\)和\(A'E'\)是对应中线，∴\(\frac{BE}{B'E'} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'} = \frac{BC}{B'C'} = k\)。
∴△\(ABE\)∽△\(A'B'E'\)（两边成比例且夹角相等）。
∴\(\frac{AE}{A'E'} = \frac{AB}{A'B'} = k\)。
性质结论：相似三角形对应中线的比等于相似比。
幻灯片 5：相似三角形对应角平分线的性质
探究过程：如图，△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，\(AF\)和\(A'F'\)分别是△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)的对应角平分线（即∠\(BAF = FAC\)，∠\(B'A'F' = F'A'C'\)）。
∵△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，∴∠\(B = B'\)，∠\(BAC = B'A'C'\)。
∵\(AF\)和\(A'F'\)是对应角平分线，∴∠\(BAF = \frac{1}{2} BAC\)，∠\(B'A'F' = \frac{1}{2} B'A'C'\)，故∠\(BAF = B'A'F'\)。
∴△\(ABF\)∽△\(A'B'F'\)（两角分别相等）。
∴\(\frac{AF}{A'F'} = \frac{AB}{A'B'} = k\)。
性质结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
幻灯片 6：性质总结
共性规律：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
几何语言表述：若△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，\(AD\)、\(A'D'\)是对应高，\(AE\)、\(A'E'\)是对应中线，\(AF\)、\(A'F'\)是对应角平分线，则\(\frac{AD}{A'D'} = \frac{AE}{A'E'} = \frac{AF}{A'F'} = k\)。
注意：“对应” 是指高、中线、角平分线所对的顶点或边必须对应一致。
幻灯片 7：例题讲解 1 - 利用对应高的性质求长度
题目：已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(2:3\)。若△\(ABC\)中\(BC\)边上的高为\(4\)，求△\(DEF\)中对应边\(EF\)边上的高的长度。
解答：∵△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(2:3\)，且\(BC\)与\(EF\)是对应边，它们边上的高是对应高。根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得\(\frac{ ABC BCè é }{ DEF EFè é } = \frac{2}{3}\)。设△\(DEF\)中\(EF\)边上的高为\(h\)，则\(\frac{4}{h} = \frac{2}{3}\)，解得\(h = 6\)。答：△\(DEF\)中\(EF\)边上的高的长度为 6。
幻灯片 8：例题讲解 2 - 利用对应中线的性质求相似比
题目：如图，△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，\(AM\)和\(A'M'\)分别是它们的对应中线，且\(AM = 6\)，\(A'M' = 4\)，求△\(ABC\)与△\(A'B'C'\)的相似比。
解答：∵△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，\(AM\)和\(A'M'\)是对应中线，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得相似比\(k = \frac{AM}{A'M'} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)。答：△\(ABC\)与△\(A'B'C'\)的相似比为\(3:2\)。
幻灯片 9：例题讲解 3 - 综合应用对应角平分线的性质
题目：在△\(ABC\)和△\(A'B'C'\)中，∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)，\(AD\)和\(A'D'\)分别是∠\(A\)和∠\(A'\)的角平分线，且\(AD = 5\)，\(A'D' = 10\)，\(AB = 8\)，求\(A'B'\)的长度。
解答：∵∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)，∴△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)（两角分别相等）。∵\(AD\)和\(A'D'\)是对应角平分线，根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，可得\(\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'}\)。将\(AD = 5\)，\(A'D' = 10\)，\(AB = 8\)代入得\(\frac{5}{10} = \frac{8}{A'B'}\)，解得\(A'B' = 16\)。答：\(A'B'\)的长度为 16。
幻灯片 10：例题讲解 4 - 多种特殊线段的综合计算
题目：已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(1:2\)。
（1）若△\(ABC\)中\(AC\)边上的高为\(3\)，则△\(DEF\)中对应边\(DF\)边上的高为______。
（2）若△\(DEF\)中\(BC\)对应的中线长为\(8\)，则△\(ABC\)中对应中线长为______。
（3）若△\(ABC\)中∠\(B\)的角平分线长为\(5\)，则△\(DEF\)中对应角平分线长为______。
解答
（1）∵相似比为\(1:2\)，对应高的比等于相似比，∴△\(DEF\)中\(DF\)边上的高为\(3 2 = 6\)。
（2）对应中线的比等于相似比，设△\(ABC\)中对应中线长为\(x\)，则\(\frac{x}{8} = \frac{1}{2}\)，解得\(x = 4\)。
（3）对应角平分线的比等于相似比，∴△\(DEF\)中对应角平分线长为\(5 2 = 10\)。
幻灯片 11：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(3:5\)，则它们对应高的比为______，对应中线的比为______，对应角平分线的比为______。
若两个相似三角形对应中线的比为\(2:3\)，其中一个三角形的一条对应高为\(4\)，则另一个三角形对应的高为______。
答案
\(3:5\)，\(3:5\)，\(3:5\)（相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比）
6 或\(\frac{8}{3}\)（分两种情况，若已知高是小三角形的，则另一个高为\(4 \frac{3}{2} = 6\)；若已知高是大三角形的，则另一个高为\(4 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)）
幻灯片 12：课堂练习 2 - 能力提升
题目：如图，△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，\(AD\)和\(A'D'\)分别是它们的对应高，\(AE\)和\(A'E'\)分别是它们的对应中线，已知\(AD = 3\)，\(A'D' = 6\)，\(A'E' = 8\)，求\(AE\)的长度。
解答提示：∵△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，对应高的比\(\frac{AD}{A'D'} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，即相似比为\(\frac{1}{2}\)。对应中线的比等于相似比，∴\(\frac{AE}{A'E'} = \frac{1}{2}\)，\(A'E' = 8\)，则\(AE = 8 \frac{1}{2} = 4\)。
幻灯片 13：易错点提醒
忽略 “对应” 关系，将非对应高、中线或角平分线的比当作相似比。
应用性质时，混淆相似比的前后顺序，导致计算结果错误。
在多个相似三角形中，难以准确识别对应的特殊线段。
未明确相似三角形的对应关系，导致求解时漏解（如练习 2 中未考虑两种情况）。
幻灯片 14：课堂小结
核心性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
推导思路：通过证明包含特殊线段的两个小三角形相似，得出特殊线段的比等于相似比。
应用关键：准确识别对应关系，明确哪两条线段是对应高、对应中线或对应角平分线。
重要意义：为解决相似三角形中特殊线段的长度计算问题提供了依据，简化了计算过程。
幻灯片 15：课后作业
基础题
已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(4:7\)，△\(ABC\)中\(BC\)边上的高为\(8\)，求△\(DEF\)中对应边\(EF\)边上的高。
两个相似三角形对应角平分线的比为\(5:9\)，其中一个三角形的一条对应中线长为\(10\)，求另一个三角形对应的中线长。
提高题
如图，△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，\(AD\)、\(A'D'\)是对应高，\(AE\)、\(A'E'\)是对应角平分线，若\(AD = 2\)，\(A'D' = 3\)，\(AE + A'E' = 10\)，求\(AE\)和\(A'E'\)的长度。
求证：相似三角形对应边上的高、中线和对应角平分线的比都等于相似比（选择一种进行证明）。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.2.1相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
A
C
B
A1
C1
B1
问题1： △ABC 与 △A1B1C1 相似吗？
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC ∽ △A1B1C1
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几
何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
量一量猜一猜
D1
A1
C1
B1
∟
A
C
B
D
∟
△ABC ∽ △A1B1C1
CD 和 C1D1 分别是它们的高，你知道 等于多少吗？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
合作探究
相似三角形对应高的比等于相似比
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' .
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A'B'C' 的高 AD 和 A'D'．
则∠ADB =∠A'D'B' = 90°.
∴△ABD ∽△A'B'D'.
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
归纳总结
1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm.
6
2. △ABC ∽ △A1B1C1，AD 和 A1D1 是 BC 和 B1C1 边上的高，已知 AB = 8 cm，A1B1 = 3 cm ，则 △ABC 与 △A1B1C1 的对应高之比为 .
8 : 3
练一练
3.如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则 P 到 AB 的距离是 m.
P
A
D
B
C
2
4
1.5
例1 如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
(1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？
(2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？
(3) 求正方形 PQRS 的边长.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
典例精析
解： AE 是 △ASR 的高.
理由： ∵AD 是 △ABC 的高，
∴ ∠ADC = 90°.
∵四边形 PQRS 是正方形，
∴SR∥BC.
∴∠AER =∠ADC = 90°.
∴ AE 是 △ASR 的高.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
(1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？
解：△ASR 与 △ABC 相似. 理由：
∵ SR∥BC，
∴ ∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
∴ △ASR 与 △ABC 相似.
(2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
是方程思想哦！
解：∵ △ASR ∽ △ABC，AE、AD 分别是 △ASR 和 △ABC 对应边上的高，
∴ . 设 PQ = x cm，
则 SR = DE = x cm，AE = (40 - x) cm .
∴ . 解得 x = 24.
∴正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
(3) 求正方形 PQRS 的边长.
BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
变式：如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 5 cm，AD = 10 cm，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，
你能求出这个矩形的面积吗？
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
设 SP = x cm，则 SR = 2x cm.
得到 .
所以 x = 2， 2x = 4 .
S矩形PQRS = 2×4 = 8 cm2 .
分析：
情况一：SR = 2SP
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
设 SR = x cm，则 SP = 2x cm.
得到 .
所以 x = 2.5， 2x = 5.
S矩形PQRS = 2.5×5 = 12.5 cm2 .
原来是分类思想呀！
分析：
情况二：SP = 2SR
如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中 △ABC 和 △A′B′C′ 相似，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线，BE、B′E′ 分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
验证猜想1
已知 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，
求证：
证明：∵ △ABC ∽ △A′B′C′，
∴ ∠A′B′C′ =∠ABC， ．
又 ∵AD，AD′ 分别为对应边的中线，
∴ △ABD ∽ △A′B′D′.
由此得到：
相似三角形对应边上的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
归纳总结
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
验证猜想2
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，即 求证：
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴ ∠A′B′C′ =∠ABC，∠B′A′C′ =∠BAC．
又AD、AD′分别为对应角的平方线，
∴ △ABE∽△A′B′E′.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
归纳总结
例2 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6 cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为 x cm，
则由相似性质有
解得 x＝18.
较长的角平分线长为 24 cm.
故这两条角平分线的长分别为 18 cm，24 cm.
3. 两个相似三角形对应中线的比为 ，
则对应高的比为______ .
2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______.
2 : 3
1. 两个相似三角形的相似比为 ，则对应高的比为________， 则对应中线的比为_________.
知识点1 相似三角形对应边上的高之比
1.若，相似比为 ，则对应边上的高之比为( )
A
A. B. C. D.
返回
2.已知，相似比为，且对应边上的高、 的和
为，则、 的长依次为( )
B
A.、 B.、 C.、 D.、
返回
3.［2025株洲期中］如图，在四边形 中，
，， ，延长两腰
，交于点，，交于点 ，
，求 的长.
解：， ，
又， , ，
，即，解得 ．
返回
知识点2 相似三角形对应的角平分线之比
4.［教材P86“例10”变式］ 如图，，、 分别
是、的角平分线，， ，
，则的长为____ .
3.2
返回
5.在和中， ,且两个三角形对应高的比是
，那么它们对应角平分线的比是_____.
返回
6.已知在与中，,,平分交 于
点，平分交于点.若,，则 的长为___.
9
返回
知识点3 相似三角形对应边上的中线之比
7.［2025怀化月考］若与的相似比是 ，则它们对应
中线的比是( )
A
A. B. C. D.
返回
8.如图，在中，点在上，交于点，为 的中
点，交于点 ，下列说法错误的是( )
D
A. B.是 的中点
C. D.
返回
9.如图，,，分别为,的中点，已知 ,
,，求 的长.
解：，，分别为, 的中点，
,, .
返回
（第10题）
10.图①是装满红酒的高脚杯示意图，
装酒的杯体可看作一个三角形，液面
宽度为 ，其他数据如图所示，喝
掉一部分后的数据如图②所示，此时
液面宽度 为( )
C
A. B. C. D.
返回
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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