资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.2.2 相似三角形对应周长和面积的性质
副标题：探究相似三角形周长与面积的比例规律
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
相似三角形的核心性质：对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
思考：相似三角形的周长是各边长度之和，面积与底和高的乘积有关，它们与相似比之间是否存在特定的比例关系？本节课将揭开这个谜底。
幻灯片 3：相似三角形对应周长的性质探究
探究过程：设△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k\)。则\(AB = k ·A'B'\)，\(BC = k ·B'C'\)，\(AC = k ·A'C'\)。
△\(ABC\)的周长\(C_1 = AB + BC + AC = k ·A'B' + k ·B'C' + k ·A'C' = k(A'B' + B'C' + A'C')\)。
△\(A'B'C'\)的周长\(C_2 = A'B' + B'C' + A'C'\)。
因此\(\frac{C_1}{C_2} = \frac{k ·C_2}{C_2} = k\)。
性质结论：相似三角形周长的比等于相似比。
幻灯片 4：相似三角形对应面积的性质探究
探究过程：设△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，\(AD\)和\(A'D'\)分别是对应高，即\(\frac{AD}{A'D'} = k\)。
△\(ABC\)的面积\(S_1 = \frac{1}{2} ·BC ·AD\)。
△\(A'B'C'\)的面积\(S_2 = \frac{1}{2} ·B'C' ·A'D'\)。
则\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} ·BC ·AD}{\frac{1}{2} ·B'C' ·A'D'} = \frac{BC}{B'C'} ·\frac{AD}{A'D'} = k ·k = k \)。
性质结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
幻灯片 5：性质总结
周长性质：相似三角形周长的比等于相似比。若相似比为\(k\)，则周长比为\(k\)。
面积性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方。若相似比为\(k\)，则面积比为\(k \)。
几何语言表述：若△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，周长分别为\(C_1\)、\(C_2\)，面积分别为\(S_1\)、\(S_2\)，则\(\frac{C_1}{C_2} = k\)，\(\frac{S_1}{S_2} = k \)。
注意：面积比是相似比的平方，而非相似比本身，应用时需特别注意区分。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 利用周长性质求周长
题目：已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(3:4\)。若△\(ABC\)的周长为\(27cm\)，求△\(DEF\)的周长。
解答：∵△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(3:4\)，根据相似三角形周长的比等于相似比，可得\(\frac{ ABC ¨é }{ DEF ¨é } = \frac{3}{4}\)。设△\(DEF\)的周长为\(x cm\)，则\(\frac{27}{x} = \frac{3}{4}\)，解得\(x = 36\)。答：△\(DEF\)的周长为\(36cm\)。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 利用面积性质求面积
题目：如图，△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(1:2\)。若△\(ABC\)的面积为\(12cm \)，求△\(A'B'C'\)的面积。
解答：∵△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(1:2\)，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得\(\frac{ ABC é § }{ A'B'C' é § } = (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\)。设△\(A'B'C'\)的面积为\(S cm \)，则\(\frac{12}{S} = \frac{1}{4}\)，解得\(S = 48\)。答：△\(A'B'C'\)的面积为\(48cm \)。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 综合应用周长与面积性质
题目：两个相似三角形的周长比为\(2:3\)，其中较大的三角形的面积为\(54cm \)，求较小的三角形的面积。
解答：∵两个三角形相似，周长比为\(2:3\)，∴相似比为\(2:3\)。根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得面积比为\((\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}\)。设较小的三角形的面积为\(S cm \)，则\(\frac{S}{54} = \frac{4}{9}\)，解得\(S = 24\)。答：较小的三角形的面积为\(24cm \)。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 结合高的性质求面积
题目：如图，△\(ABC\)∽△\(DEF\)，\(BC = 6\)，\(EF = 9\)，△\(ABC\)中\(BC\)边上的高为\(4\)。求：
（1）△\(ABC\)与△\(DEF\)的相似比；
（2）△\(DEF\)中\(EF\)边上的高；
（3）△\(ABC\)与△\(DEF\)的面积比。
解答
（1）相似比\(\frac{BC}{EF} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)。
（2）设△\(DEF\)中\(EF\)边上的高为\(h\)，∵对应高的比等于相似比，∴\(\frac{4}{h} = \frac{2}{3}\)，解得\(h = 6\)。
（3）面积比等于相似比的平方，即\((\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}\)。
答：（1）相似比为\(2:3\)；（2）\(EF\)边上的高为 6；（3）面积比为\(4:9\)。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
若两个相似三角形的相似比为\(5:7\)，则它们的周长比为______，面积比为______。
已知△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，面积比为\(16:25\)，则相似比为______，周长比为______。
答案
\(5:7\)，\(25:49\)（周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）
\(4:5\)，\(4:5\)（相似比是面积比的算术平方根，周长比等于相似比）
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，\(AD:DB = 1:2\)，△\(ADE\)的面积为\(3cm \)，求△\(ABC\)的面积和四边形\(DBCE\)的面积。
解答提示：
∵\(DE BC\)，∴△\(ADE\)∽△\(ABC\)（平行判定相似）。
\(AD:DB = 1:2\)，则\(AD:AB = 1:3\)，即相似比为\(1:3\)。
面积比为\(1:9\)，设△\(ABC\)的面积为\(S\)，则\(\frac{3}{S} = \frac{1}{9}\)，解得\(S = 27cm \)。
四边形\(DBCE\)的面积为\(27 - 3 = 24cm \)。
幻灯片 12：易错点提醒
混淆周长比与面积比的关系，误将面积比当作相似比或周长比。
计算面积比时，忘记将相似比平方，直接用相似比代替面积比。
在复杂图形中，难以确定两个相似三角形的相似比，导致周长或面积计算错误。
已知面积比求相似比时，未取算术平方根，出现负值或错误的比例关系。
幻灯片 13：课堂小结
周长性质：相似三角形周长的比等于相似比。
面积性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
应用技巧：
由相似比可直接求周长比，平方后可得面积比。
由面积比开平方可求相似比，进而得到周长比。
核心区别：周长比与相似比成一次关系，面积比与相似比成平方关系。
幻灯片 14：课后作业
基础题
两个相似三角形的相似比为\(2:3\)，其中较小的三角形的周长为\(18cm\)，求较大的三角形的周长。
已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，面积比为\(9:16\)，若△\(DEF\)的周长为\(32cm\)，求△\(ABC\)的周长。
提高题
如图，在△\(ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)的中点，求△\(ADE\)与△\(ABC\)的周长比和面积比。
两个相似三角形的对应高的比为\(3:4\)，且较大的三角形的面积比小三角形的面积大\(21cm \)，求两个三角形的面积。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.2.2相似三角形对应周长和面积的性质
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
问题引入
相似三角形周长比等于相似比
问题：图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形，它们都相似吗？
（都相似）
(1)
(2)
(3)
1
2
3
(1) 与 (2) 的相似比 =______，
(1) 与 (2) 的周长比 =______，
(1) 与 (3) 的相似比 =______，
(1) 与 (3) 的周长比 =______.
有什么规律吗？
结论： 相似三角形的周长比等于______．
相似比
1∶2
1∶2
1∶3
1∶3
证明：设△ABC ∽ △A1B1C1，相似比为 k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
想一想：怎么证明这一结论呢？
相似三角形周长的比等于相似比.
归纳总结
相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题：图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形，回答以下问题：
1
2
3
（1）
（2）
（3）
(1)与(2)的相似比=______，
(1)与(2)的面积比=______，
(1)与(3)的相似比=______，
(1)与(3)的面积比=______，
1 : 2
1 : 4
1 : 3
1 : 9
结论： 相似三角形的面积比等于____________．
相似比的平方
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
想一想：怎么证明这一结论呢？
证明：设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，
如图，分别作出 △ABC 和 △A′B′C′ 的高 AD 和 A′D′.
∵△ABD 和 △A′B′D′ 都是直角三角形，并且∠B =∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
归纳总结
1. 已知 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比 ，面积之比为 .
2. 如果两个相似三角形的面积之比为 1 : 9，
周长的比为______ .
1 : 3
2 : 3
4 : 9
练一练
例1 将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分的面积是 △ABC 的面积的一半.
已知 BC = 2，求 △ABC 平移的距离. 　
A
B
C
D
E
F
解：根据题意，可知 EG∥AB.
∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A.
∴△GEC∽△ABC.
即△ABC 平移的距离为
G
A
B
C
D
E
F
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE ，AC = 2DF，∠A =∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB = 2DE，AC = 2DF，
又 ∵∠D =∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∴
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
A
B
C
D
E
F
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.
练一练
例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　
B
C
A
D
E
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2).
例4 已知△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 ，且 S△ABC + S△A'B'C = 91，求△A'B'C' 的面积. 　
又∵ S△ABC + S△A'B'C = 91，
解：∵△ABC 与△A'B'C' 的相似比为
∴ S△A'B'C' = 63.
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
练一练
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
∵相似比为 1 : 2，∴面积比为 1 : 4.
∴
A
B
C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1.
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2.
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判断：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
√
×
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
比等于_____.
1 : 2
1 : 4
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，
∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ
的值为 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
知识点1 相似三角形的面积之比
1.［2024重庆中考A卷］若两个相似三角形的相似比是 ，则这两个相
似三角形的面积比是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.［教材P88“例11”变式］ 如图，点, 分别在
的边,上，且， ，
，则 的值是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.已知，面积比为 ，则下列说法正确的是( )
D
A.相似比为 B.对应边上的高之比为
C.对应边上的中线之比为 D.对应角的比为
返回
4.［2024辽宁中考］如图，，与相交于点，且 与
的面积比是，若，则 的长为____.
12
（第4题）
返回
5. 在中，,,点，分别在， 上.若
与相似，且，则 的长为_____.
2或
返回
知识点2 相似三角形的周长之比
6.已知与相似，且相似比为，则与 的周
长之比是( )
B
A. B. C. D.
返回
7.已知，且的三边长分别为3，5，6， 的
最短边长为9，则 的周长是( )
D
A.4 B. C.21 D.42
返回
8.如图，与交于点，且.若，则 __.
返回
9.如图，已知点，分别在的边， 上,如
果，且，求 的
周长.
解：,, ,
与的周长比是 .
，即 的周长为15，
的周长为 .
返回
相似三角形的性质 2
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角形面积之比等于相似比的平方
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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