资源简介

(共39张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.5 相似三角形的应用
副标题：用相似知识解决实际问题
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
生活中的问题：
如何不爬上旗杆，测量旗杆的高度？
如何在不渡河的情况下，测量河流的宽度？
如何根据图纸上的图形，计算实际物体的尺寸？
解决方案：这些问题都可以利用相似三角形的性质来解决。相似三角形在测量、建筑、工程等领域有着广泛的应用，本节课将学习具体的应用方法。
幻灯片 3：利用相似三角形测量高度
原理分析：利用阳光下的影子测量物体高度。同一时刻，太阳光线是平行的，物体的高度与影子的长度成比例，此时物体、影子与太阳光线构成的三角形相似。
图形表示：如图，设物体高度为\(H\)，影子长度为\(L\)；标杆高度为\(h\)，影子长度为\(l\)。∵太阳光线平行，∴∠\(ACB = DFE\)，∠\(ABC = DEF = 90 °\)，∴△\(ABC\)∽△\(DEF\)，则\(\frac{H}{h} = \frac{L}{l}\)，即\(H = \frac{L ·h}{l}\)。
幻灯片 4：例题讲解 1 - 测量旗杆高度
题目：某同学想测量学校旗杆的高度，他在旗杆旁立了一根高为\(1.5m\)的标杆，测得标杆的影子长为\(1m\)，同时测得旗杆的影子长为\(8m\)，求旗杆的高度。
解答：∵同一时刻，太阳光线平行，∴旗杆与旗杆影子构成的三角形和标杆与标杆影子构成的三角形相似。设旗杆的高度为\(H m\)，根据相似三角形对应边成比例可得\(\frac{H}{1.5} = \frac{8}{1}\)，解得\(H = 12\)。答：旗杆的高度为\(12m\)。
幻灯片 5：利用相似三角形测量距离
原理分析：测量不可到达的两点之间的距离（如河流宽度）。通过构造相似三角形，利用相似比计算实际距离。
图形表示：如图，要测量河流两岸\(A\)、\(B\)两点之间的距离，在岸边取一点\(C\)，连接\(AC\)并延长至\(D\)，使\(CD = \frac{1}{k}AC\)；连接\(BC\)并延长至\(E\)，使\(CE = \frac{1}{k}BC\)。∵∠\(ACB = DCE\)（对顶角相等），\(\frac{AC}{CD} = \frac{BC}{CE} = k\)，∴△\(ABC\)∽△\(DEC\)，则\(\frac{AB}{DE} = k\)，即\(AB = k ·DE\)。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 测量河流宽度
题目：为测量一条河流的宽度\(AB\)，在河岸边取一点\(C\)，使\(C\)能看到对岸的\(A\)、\(B\)两点。连接\(AC\)并延长到\(D\)，使\(CD = \frac{1}{2}AC\)；连接\(BC\)并延长到\(E\)，使\(CE = \frac{1}{2}BC\)。测得\(DE = 50m\)，求河流的宽度\(AB\)。
解答：∵∠\(ACB = DCE\)，\(\frac{AC}{CD} = \frac{BC}{CE} = 2\)，∴△\(ABC\)∽△\(DEC\)（两边成比例且夹角相等）。根据相似三角形对应边成比例可得\(\frac{AB}{DE} = 2\)，即\(AB = 2 DE = 2 50 = 100m\)。答：河流的宽度\(AB\)为\(100m\)。
幻灯片 7：利用相似三角形解决建筑图纸问题
原理分析：建筑图纸与实际建筑是相似图形，根据比例尺（相似比）可以计算实际尺寸。
关键公式：实际长度 = 图纸长度 × 比例尺；实际面积 = 图纸面积 ×（比例尺） 。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 建筑图纸计算
题目：某建筑图纸的比例尺为\(1:500\)，图纸上一个三角形花坛的底边长为\(4cm\)，高为\(3cm\)，求这个花坛的实际面积。
解答：图纸与实际花坛相似，相似比为\(1:500\)。实际底边长为\(4 500 = 2000cm = 20m\)，实际高为\(3 500 = 1500cm = 15m\)。实际面积为\(\frac{1}{2} 20 15 = 150m \)。答：这个花坛的实际面积为\(150m \)。
幻灯片 9：利用相似三角形解决镜面反射问题
原理分析：利用镜面反射时，入射角等于反射角，构造相似三角形。
图形表示：如图，人站在镜子前，从镜子中看到物体顶端，此时人、镜子与地面的垂足和物体、镜子与地面的垂足构成相似三角形。
幻灯片 10：例题讲解 4 - 镜面反射测量高度
题目：某同学身高\(1.6m\)，他站在距离一面镜子\(2m\)的地方，从镜子中看到一棵大树的顶端，镜子距离大树\(8m\)，求大树的高度。
解答：根据镜面反射原理，入射角等于反射角，可得两个三角形相似。设大树的高度为\(H m\)，则\(\frac{1.6}{H} = \frac{2}{8}\)，解得\(H = 6.4\)。答：大树的高度为\(6.4m\)。
幻灯片 11：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
小明用标杆测量教学楼的高度，标杆高\(1.2m\)，测得标杆影子长\(0.8m\)，教学楼影子长\(12m\)，则教学楼高______m。
一张地图的比例尺为\(1:10000\)，地图上两个景点之间的距离为\(5cm\)，则实际距离为______m。
答案
18（由\(\frac{1.2}{H} = \frac{0.8}{12}\)，解得\(H = 18\)）
500（实际距离 = \(5 10000 = 50000cm = 500m\)）
幻灯片 12：课堂练习 2 - 能力提升
题目：如图，为测量池塘两端\(A\)、\(B\)的距离，在平地上取一点\(C\)，连接\(AC\)、\(BC\)，分别取它们的中点\(D\)、\(E\)，测得\(DE = 15m\)，求\(AB\)的距离。
解答提示：∵\(D\)、\(E\)分别是\(AC\)、\(BC\)的中点，∴\(DE\)是△\(ABC\)的中位线，\(DE AB\)，△\(CDE\)∽△\(CAB\)，相似比为\(1:2\)。∴\(\frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}\)，\(AB = 2 DE = 30m\)。
幻灯片 13：易错点提醒
测量高度或距离时，未准确确定相似三角形的对应边，导致比例式列错。
应用比例尺时，忘记统一单位，出现计算错误。
构造相似三角形解决问题时，未明确相似的条件，导致逻辑错误。
在镜面反射问题中，混淆人与镜子、物体与镜子的距离对应关系。
幻灯片 14：课堂小结
应用场景：测量物体高度、测量不可到达的距离、建筑图纸计算、镜面反射问题等。
核心原理：利用相似三角形对应边成比例、对应高的比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等性质。
关键步骤：
分析实际问题，找出可构成相似三角形的图形。
确定相似三角形的对应边或对应高。
根据相似性质列出比例式。
代入数据计算，得到实际结果。
幻灯片 15：课后作业
基础题
某大厦的影长为\(30m\)，同时高为\(2m\)的测杆影长为\(1.5m\)，求大厦的高度。
一幅零件图纸的比例尺为\(5:1\)，图纸上零件的长度为\(10cm\)，求实际零件的长度。
提高题
为测量一棵树的高度，第一次测得树的影子长为\(10m\)，同时测得一根高\(2m\)的竹竿影子长为\(1m\)；过一会儿，测得树的影子长为\(8m\)，此时竹竿的影子长应为多少？树的高度是多少？
如图，在河对岸有一铁塔\(AB\)，在岸边取两点\(C\)、\(D\)，使\(C\)、\(D\)与塔底\(B\)在同一直线上，且\(CD = 20m\)，从\(C\)、\(D\)两点分别测得塔顶\(A\)的仰角为\(45 °\)和\(30 °\)，求铁塔\(AB\)的高度（结果保留根号）。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.5 相似三角形的应用
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
C
利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.
问题: 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？
利用相似三角形测量宽度
A
B
如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B 两点，连接并延长AC，BC，在 AC 的延长线上取一点 D，在 BC 的延长线上取一点E，使测量出 DE 的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出 A，B 间的距离了.
C
D
E
例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定
PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b
的交点 R. 已知测得 QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，请根据
这些数据，计算河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ×90 = (PQ + 45)×60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P = ∠P，
∴△PQR∽△PST.
P
R
Q
S
b
T
a
∴ ，
即 ，
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
45 m
90 m
60 m
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，
求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
60 m
50m
120 m
解：∵ ∠ADB ＝ ∠EDC，
∠ABC ＝ ∠ECD ＝ 90°，
∴ △ABD∽△ECD.

∴ ，
即 ，
解得 AB = 100.
因此，两岸间的大致距离为 100 m.
E
A
D
C
B
60 m
50 m
120 m
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳：
利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家开勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例3 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出
OA 的长？
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ .
∴
=134 (m).
因此金字塔的高度为 134 m.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
归纳：
例4 如图，小明为了测量一棵树 CD 的高度，他在距树 24 m 处立了一根高为 2 m 的标杆 EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距 27 m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高 1.6 m，求树的高度.
解析：人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点 A 作 AN∥BD 交
A
E
C
D
F
B
N
CD 于 N，交 EF 于 M，则可得 AEM∽△ACN.
M
解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N，交 EF 于 M，
∵人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF =∠EFD =∠CDF = 90°.
∴AB∥EF∥CD . ∴∠EMA =∠CNA.
∵∠EAM =∠CAN， ∴△AEM ∽ △ACN . ∴ .
∵AB = 1.6 m，EF = 2 m，BD = 27 m，FD = 24 m，
∴ . ∴CN = 3.6 m. ∴CD = 3.6 + 1.6 = 5.2(m).
故树的高度为 5.2 m.
A
E
C
D
F
B
N
M
例5 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、 准星(A)、靶心点(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A'，如图所示.已知 OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，求小明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的长度 BB'（近似地认为 AA'∥BB' ）.
∵ AA'∥BB′
∴ △OAA' ∽△OBB′.
∵ OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，
∴ BB' = 0.125 m.
答：李明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的
长度 BB' 为 0.125 m.
1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求 AB 长的等式是 ( )
A． B．
C． D．
A
B
C
D
E
F
C
练一练
A
C
B
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学
数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的小阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米．
8
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他测量方法吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
想一想：
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
试一试：如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( )
A. 6 米 B. 8 米
C. 18 米 D. 24 米
B
A
B
P
D
C
例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了
利用相似解决有遮挡物问题
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域 Ⅰ 和Ⅱ 都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上．
∵ AB⊥l，CD⊥l，∴ AB∥CD. ∴△AEH ∽ △CEK.
∴ .
即
解得 EH = 8.
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为 ( )
A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为
0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长
为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m
A
A
知识点 利用相似三角形测量距离
（第1题）
1.［2025张家界期中］《九章算术》中记
载了一种测量古井水面以上部分深度的方
法，如图所示，在井口 处立一根垂直于井
口的木杆，从木杆的顶端 观察井水水
面.视线与井口的直径交于点 ，如
果测得， ，
，那么 为( )
D
A. B. C. D.
返回
2.如图是跷跷板的示意图，支柱经过的中点，与地面 垂
直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端 离地面的
高度为____ .
80
（第2题）
返回
3.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈
直角的曲尺（即图中的 ）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，
可测量物体的高度.如图，点，，在同一水平线上，和
均为直角，与相交于点，测得， ，
，则树高___ .
8
返回
4.［教材P93“练习”第2题变式］ 如图，小华和
小康想用标杆来测量校园中的一棵树 的高，
小康在处竖立了一根标杆，小华走到 处
时，恰好看到标杆顶端和树的顶端 在一条直
线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离， ，
，，点，，在一条直线上， ，
，，根据以上测量数据，请你求出树 的高度.
解：过点作于点，交于点 ，
如图.
则米， 米，
，
， ，
米.
答：树 的高度为8.8米.
由题意得， ，
，
米， （米）.
返回
（第5题）
5.［2024镇江中考］如图，小杰从灯杆 的底部点
处沿水平直线前进到达点 处，他在灯光下的影长
，然后他转身按原路返回到点 处，返回
过程中小杰在灯光下的影长可以是( )
D
A. B. C. D.
返回
6.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度 ，他调
整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点 在同一直线
上.已知纸板的两条边,，测得边 离地面的高
度,，则树的高度 为( )
D
（第6题）
A. B.
C. D.
返回
（第7题）
7. 土圭之法是在平台中央
竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影
长度.古代的人们发现，夏至日影最短，冬
至日影最长，这样通过日影的长度得到夏
至和冬至，确定了四季.如图，利用土圭之
法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时
24
刻太阳光线与杆的夹角和第二时刻太阳光线与地面的夹角相等，测得第
一时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为____尺.
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（第8题）
8.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子
和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直
线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经
过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像
（点,的对应点分别是点,）.若物体 的高
9
为，实像的高度为，则小孔的高度为___ .
返回
9. 普救寺位于山西永
济蒲州古城内，是我国历史名剧
《西厢记》故事的发生地，寺庙规
模宏伟，内部有很多著名建筑.其中
最著名的便是莺莺塔（如图①）.数学兴趣小组根据光的反射定律
（如图②），把一面镜子放在离古塔（）的点 处，然后观测
者沿着直线后退到点处.这时恰好在镜子里看到塔顶端 ，量得
，观测者目高 ，那么该古塔的高度是多少？
解：如图，由反射角等于入射角可知，
，
由题意可知，,, ，
在和 中，
，, ,
，
，
即 ，
，
，即，解得 ，
故该古塔的高度是 .
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相似三角形的应用举例
利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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