资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.6.1 位似图形的概念及画法
副标题：探索具有特殊位置关系的相似图形
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
观察图形：展示几组图形 —— 经过放大或缩小且对应顶点连线交于一点的五角星、正方形、三角形。
思考问题：这些图形是否相似？它们的对应顶点连线有什么特点？这种特殊的相似图形就是本节课要学习的位似图形。
幻灯片 3：位似图形的概念
定义：如果两个相似图形的对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。
关键词解析：
必须是相似图形。
对应顶点连线交于同一点（位似中心）。
对应边互相平行或在同一直线上。
图形表示：如图，△\(ABC\)与△\(A'B'C'\)是位似图形，位似中心为点\(O\)，位似比为\(k\)。
幻灯片 4：位似图形与相似图形的关系
联系：位似图形一定是相似图形，相似比等于位似比。
区别：位似图形不仅相似，还要求对应顶点连线交于一点且对应边平行（或共线），而相似图形不一定具备这样的位置关系。
举例：所有位似图形都是相似图形，但相似的正六边形不一定是位似图形（若对应顶点连线不交于一点）。
幻灯片 5：位似图形的性质
性质 1：位似图形的对应角相等，对应边成比例（继承相似图形的性质）。
性质 2：位似图形对应顶点的连线经过位似中心。
性质 3：位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
性质 4：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
幻灯片 6：位似图形的识别
判断方法：
首先判断两个图形是否相似。
再检查对应顶点的连线是否交于同一点。
最后验证对应边是否互相平行或在同一直线上。
示例：下列图形中是位似图形的有______（给出几组图形，包括位似和非位似的相似图形）。
幻灯片 7：位似图形的画法（以三角形为例）
已知条件：已知△\(ABC\)，位似中心\(O\)，位似比\(k = 2\)，画△\(ABC\)的位似图形△\(A'B'C'\)。
画法步骤：
连接位似中心\(O\)与△\(ABC\)的各顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)，并延长（或反向延长）这些线段。
根据位似比\(k = 2\)，在射线\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)上分别截取\(OA' = 2OA\)、\(OB' = 2OB\)、\(OC' = 2OC\)（若位似中心在图形外，可反向延长截取）。
顺次连接点\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，则△\(A'B'C'\)就是所求的位似图形。
幻灯片 8：位似中心的不同位置情况
情况 1：位似中心在图形内部。如图，以△\(ABC\)内部一点\(O\)为位似中心，画位似图形（位似比\(k = \frac{1}{2}\)）。
情况 2：位似中心在图形边上。如图，以△\(ABC\)的边\(AB\)上一点\(O\)为位似中心，画位似图形（位似比\(k = 3\)）。
情况 3：位似中心在图形外部。如图，以△\(ABC\)外部一点\(O\)为位似中心，画位似图形（位似比\(k = \frac{1}{3}\)）。
幻灯片 9：例题讲解 1 - 画位似图形
题目：已知四边形\(ABCD\)，位似中心为点\(O\)（在四边形外部），位似比为\(1:2\)，画出四边形\(ABCD\)的位似图形\(A'B'C'D'\)。
解答步骤：
连接\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)、\(OD\)并延长。
在延长线上分别取点\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)、\(D'\)，使\(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = \frac{OC'}{OC} = \frac{OD'}{OD} = 2\)。
顺次连接\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)、\(D'\)，得到四边形\(A'B'C'D'\)即为所求。
幻灯片 10：例题讲解 2 - 确定位似中心和位似比
题目：如图，△\(A'B'C'\)是△\(ABC\)的位似图形，找出它们的位似中心\(O\)，并求出位似比。
解答步骤：
连接\(A'A\)、\(B'B\)、\(C'C\)，三条线段的交点即为位似中心\(O\)。
测量（或计算）对应点到位似中心的距离比，如\(\frac{OA}{OA'} = \frac{1}{2}\)，则位似比为\(1:2\)。
幻灯片 11：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
下列说法正确的是（ ）
A. 相似图形一定是位似图形 B. 位似图形一定是相似图形 C. 位似图形对应边不平行 D. 位似中心只能在图形外部
已知位似图形的位似比为\(3:4\)，则对应点到位似中心的距离比为______，对应边的比为______。
答案
B（位似图形是特殊的相似图形，对应边平行或共线，位似中心位置不限）
\(3:4\)，\(3:4\)（位似比等于对应点到位似中心的距离比和对应边的比）
幻灯片 12：课堂练习 2 - 能力提升
题目：以点\(O\)为位似中心，将△\(ABC\)缩小为原来的\(\frac{1}{2}\)，画出缩小后的位似图形。
解答提示：
连接\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)。
分别取\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)的中点\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)（或在反向延长线上取点，使距离比为\(1:2\)）。
连接\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，得到缩小后的位似图形。
幻灯片 13：易错点提醒
混淆位似图形与相似图形的概念，认为所有相似图形都是位似图形。
画位似图形时，对应点连线未经过位似中心，或未按位似比截取线段长度。
忽略位似图形对应边平行或共线的条件，错误识别位似图形。
确定位似比时，颠倒对应点到位似中心的距离比的顺序。
幻灯片 14：课堂小结
位似图形的概念：相似且对应顶点连线交于位似中心、对应边平行（或共线）的图形。
核心性质：对应角相等，对应边成比例；对应顶点连线过位似中心；对应点到位似中心距离比等于位似比。
画法步骤：
连接位似中心与原图形各顶点。
按位似比在连线上截取对应点。
顺次连接对应点得到位似图形。
关键区别：位似图形是特殊的相似图形，具有明确的位似中心和位置关系。
幻灯片 15：课后作业
基础题
判断下列图形是否为位似图形，并说明理由。
已知△\(ABC\)，以点\(A\)为位似中心，位似比为\(1:3\)，画出△\(ABC\)的位似图形。
提高题
如图，两个位似图形的位似中心为\(O\)，位似比为\(2:3\)，若其中一个图形上一点\(P\)到位似中心的距离为\(6\)，求另一个图形上对应点\(P'\)到位似中心的距离。
画一个边长为\(2cm\)的正方形，以正方形外一点为位似中心，位似比为\(2:1\)，画出它的位似图形，并计算放大后正方形的面积。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.6.1位似图形的概念及画法
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？
图片引入
连接图片上对应的点，你有什么发现？
问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？
位似图形的概念
观察与思考
问题2：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点 O. 有什么关系？
A
B
C
D
E
E'
D'
C'
B'
A'
O
一般地，取定一个点 O，如果一个图形 G 上每一个点 P 对应于另一图形 G′ 上的点 P′ 分别对应，且满足：
(1)直线 PP′ 都经过同一点 O，
(2) ，其中 k 是非零常数，当 k＞0 时，点 P′ 在射线 OP 上，当 k＜0 时，点 P′ 在射线 OP 的反向延长线上.
那么称图形 G 与图形 G′ 是位似图形，点 O 叫作位似中心.常数 k 叫作位似比.
概念学习
1. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( )
A. 两个三角形是位似图形
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
C. B 与 D、C 与 E 是对应位似点
D. AE : AD 是相似比
D
D
E
A
B
C
练一练
位似图形的性质
合作探究
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行(或者在同一直线上).
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.
归纳：
如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB : O′B′＝1 : 2，则四边形 ABCD 的面积与四边形 A′B′C′D′ 的面积比为 ( )
A．4 : 1 B． : 1
C．1 : D．1 : 4
D
练一练
A′
A
C
C′
D′
灯泡
O
例1 如图，已知 △ABC，以点 O 为位似中心画 △DEF，使其与 △ABC 位似，且位似比为 2.
解：画射线 OA，OB，OC；在射线 OA，OB，OC 上分别取点 D，E，F，使 OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC；顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与 △ABC 位似，位似比为 2.
F
E
D
想一想：你还有其他的画法吗？
位似多边形的画法
A
B
C
O
A
B
C
O
E
F
D
画法二：△ABC 与 △DEF 异侧
解：画射线 OA，OB，OC；沿着射线OA，OB，OC 反方向上分别取点 D，E，F，
顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与△ABC 位似，位似比为 2.
OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC；
例2：把四边形 ABCD 缩小到原来的 .
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小
(1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、
C' 、D' ，使得 ；
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B'
C' D' 就是所要求的图形．
思考：对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得
呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
如图已知 △ABC，根据要求作 △A'B'C'，使 △A' B' C' 与 △ABC 位似，且位似比为 1 : 5.
(1) 位似中心在 △ABC 的一条边 AB 上；
练一练
A
C
B
O
●
A′
B′
C′
●
●
假设位似中心点 O 为 AB 中点，点 O 位置如图所示.
根据相似比可确定 A′，B′，C′ 的位置.
●
(2) 以点 C 为位似中心.
C
A
B
A′
B′
( C′ )
●
●
●
画位似图形的一般步骤：
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关
键点；
③ 根据位似比，确定能代表所作的位似图形的
关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
归纳：
利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外.
A
B
C
D
1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( )
B
2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，若 AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是 ( )
A. 2DE = 3MN B. 3DE = 2MN
C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F
B
A
B
E
C
D
N
F
G
H
M
知识点1 位似图形的概念
1.［教材P97“练习”第1题变式］ 下列判断中，正确的是( )
B
A.相似图形一定是位似图形 B.位似图形一定是相似图形
C.全等的图形一定是位似图形 D.位似图形一定是全等图形
返回
2.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，
请指出其位似中心.
解：①是位似图形，位似中心是点；②是位似图形，位似中心是点 ；
③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点 ；⑤不是位似图形.
返回
知识点2 位似图形的性质
3.［2025岳阳期中］如图是两个位似图形和 ，若
，则下列结论一定正确的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
4.如图，以点为位似中心，把放大2倍得到 ，以下说法错
误的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.如图，与位似，其位似中心为点，且 ，若
的周长为5，则 的周长为_____.
12.5
（第5题）
返回
6.［2025长沙期中］如图，四边形与四边形 是位似图形，
点是位似中心，点是线段的中点，则 __.
（第6题）
返回
知识点3 位似作图
7.［教材P100“习题3.6”第2题变式］ 如图，在由边长为1的小正方形组
成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）.以点
为位似中心，将放大为原来的2倍，得到 ，请在网格中
画出
解：如图.
返回
8.如图，与 是位似图形，则位似中心是( )
D
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
9.下列关于位似图形的表述：①位似图形一定不是全等图形；②位似图
形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线
所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一直线上），那
么这两个图形是位似图形；④两个位似图形面积之比等于位似比.其中
正确的是( )
A
A.②③ B.①② C.③④ D.②③④
返回
位似的概念及画法
位似图形的概念
位似图形的性质
画位似图形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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