资源简介

(共39张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.6.2 平面直角坐标系中的位似
副标题：探究位似图形的坐标变化规律
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
位似图形的概念：两个相似图形对应顶点连线交于位似中心，对应边平行（或共线），相似比称为位似比。
位似图形的性质：对应点到位似中心的距离比等于位似比；对应边成比例，对应角相等。
思考：在平面直角坐标系中，位似图形的对应点的坐标之间存在怎样的关系？本节课将探索这一规律。
幻灯片 3：位似中心在原点时的坐标变化
探究过程：如图，在平面直角坐标系中，△\(ABC\)的顶点坐标为\(A(2, 4)\)、\(B(2, 0)\)、\(C(6, 0)\)，以原点\(O\)为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)画它的位似图形△\(A'B'C'\)。
连接\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)，按位似比\(\frac{1}{2}\)截取\(OA' = \frac{1}{2}OA\)、\(OB' = \frac{1}{2}OB\)、\(OC' = \frac{1}{2}OC\)。
得到\(A'(1, 2)\)、\(B'(1, 0)\)、\(C'(3, 0)\)。
规律总结：当位似中心在原点，位似比为\(k\)时，原图形上一点\((x, y)\)的对应点坐标为\((kx, ky)\)。
幻灯片 4：位似中心在原点且位似比为负值的情况
探究过程：以原点\(O\)为位似中心，位似比为\(-\frac{1}{2}\)，画△\(ABC\)（\(A(2, 4)\)、\(B(2, 0)\)、\(C(6, 0)\)）的位似图形△\(A''B''C''\)。
对应点在原点另一侧，坐标为\(A''(-1, -2)\)、\(B''(-1, 0)\)、\(C''(-3, 0)\)。
规律补充：位似比为负值时，对应点在原点两侧，坐标为\((kx, ky)\)（\(k\)为负数）。
幻灯片 5：位似中心在原点的坐标规律
核心结论：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为\(k\)，那么原图形上任意一点\((x, y)\)的对应点的坐标为\((kx, ky)\)或\((-kx, -ky)\)（前者对应同侧位似，后者对应异侧位似）。
示例：若位似中心为原点，位似比为\(3\)，点\(P(2, -5)\)的对应点坐标为\((6, -15)\)或\((-6, 15)\)。
幻灯片 6：位似中心不在原点时的坐标变化
探究过程：如图，已知△\(ABC\)的顶点坐标为\(A(1, 1)\)、\(B(3, 2)\)、\(C(2, 4)\)，位似中心为\(O'(2, 2)\)，位似比为\(2\)，求对应点\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)的坐标。
步骤 1：将位似中心平移到原点，计算各点相对坐标：\(A(1-2, 1-2)=(-1, -1)\)，\(B(3-2, 2-2)=(1, 0)\)，\(C(2-2, 4-2)=(0, 2)\)。
步骤 2：按位似比\(2\)缩放：\(A'_ (-2, -2)\)，\(B'_ (2, 0)\)，\(C'_ (0, 4)\)。
步骤 3：平移回原位似中心：\(A'( -2 + 2, -2 + 2 )=(0, 0)\)，\(B'(2 + 2, 0 + 2)=(4, 2)\)，\(C'(0 + 2, 4 + 2)=(2, 6)\)。
规律总结：位似中心为\((a, b)\)，位似比为\(k\)时，原图形点\((x, y)\)的对应点坐标为\((a + k(x - a), b + k(y - b))\)。
幻灯片 7：例题讲解 1 - 位似中心在原点
题目：在平面直角坐标系中，四边形\(ABCD\)的顶点坐标为\(A(1, 2)\)、\(B(3, 1)\)、\(C(3, -1)\)、\(D(1, -2)\)，以原点为位似中心，位似比为\(2\)画它的位似图形，并写出对应顶点的坐标。
解答：根据位似中心在原点的规律，对应点坐标为原坐标乘以\(2\)。因此，位似图形\(A'B'C'D'\)的顶点坐标为\(A'(2, 4)\)、\(B'(6, 2)\)、\(C'(6, -2)\)、\(D'(2, -4)\)。画图步骤：连接原点与各顶点并延长，按比例截取对应点，顺次连接。
幻灯片 8：例题讲解 2 - 位似中心不在原点
题目：已知点\(A(4, 6)\)，位似中心为\(O(1, 2)\)，位似比为\(\frac{1}{2}\)，求点\(A\)的对应点\(A'\)的坐标。
解答：使用位似中心不在原点的坐标公式：\(x' = 1 + \frac{1}{2}(4 - 1) = 1 + 1.5 = 2.5\)，\(y' = 2 + \frac{1}{2}(6 - 2) = 2 + 2 = 4\)。因此，\(A'\)的坐标为\((2.5, 4)\)。
幻灯片 9：例题讲解 3 - 根据坐标确定位似中心和位似比
题目：在平面直角坐标系中，△\(ABC\)的顶点为\(A(2, 4)\)、\(B(4, 2)\)、\(C(6, 6)\)，其位似图形△\(A'B'C'\)的顶点为\(A'(1, 2)\)、\(B'(2, 1)\)、\(C'(3, 3)\)，求位似中心和位似比。
解答：
位似中心：连接\(A'A\)、\(B'B\)，求交点坐标。直线\(A'A\)：\(y = 2x\)；直线\(B'B\)：\(y = 0.5x\)，交点为原点\((0, 0)\)。
位似比：计算对应点坐标比，\(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\)，故位似比为\(\frac{1}{2}\)。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
以原点为位似中心，位似比为\(3\)，点\(P(-2, 5)\)的对应点坐标为______或______。
位似中心为\(O(2, 3)\)，位似比为\(2\)，点\(Q(1, 1)\)的对应点\(Q'\)的坐标为______。
答案
\((-6, 15)\)，\((6, -15)\)（原点为中心，乘以位似比\(3\)或\(-3\)）
\((2 + 2 (1 - 2), 3 + 2 (1 - 3)) = (0, -1)\)
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：在平面直角坐标系中，△\(ABC\)的顶点坐标为\(A(0, 0)\)、\(B(2, 0)\)、\(C(1, 2)\)，以点\(B\)为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)画它的位似图形，写出对应顶点的坐标。
解答提示：
位似中心\(B(2, 0)\)，位似比\(\frac{1}{2}\)。
\(A\)对应点：\(x = 2 + \frac{1}{2}(0 - 2) = 1\)，\(y = 0 + \frac{1}{2}(0 - 0) = 0\)，即\(A'(1, 0)\)。
\(B\)对应点为自身\(B'(2, 0)\)。
\(C\)对应点：\(x = 2 + \frac{1}{2}(1 - 2) = 1.5\)，\(y = 0 + \frac{1}{2}(2 - 0) = 1\)，即\(C'(1.5, 1)\)。
幻灯片 12：易错点提醒
位似中心在原点时，忽略位似比为负值的情况，漏写对应点坐标。
位似中心不在原点时，未通过坐标平移转换计算，直接使用原点规律导致错误。
确定位似比时，混淆原图形与位似图形的对应关系，比例颠倒。
画图时未确保对应顶点连线经过位似中心，不符合位似图形的定义。
幻灯片 13：课堂小结
位似中心在原点：对应点坐标为\((kx, ky)\)或\((-kx, -ky)\)（\(k\)为位似比）。
位似中心在\((a, b)\)：对应点坐标为\((a + k(x - a), b + k(y - b))\)。
解题步骤：
确定位似中心和位似比。
根据中心位置选择坐标公式计算对应点坐标。
描点连线画出位似图形。
核心思想：通过坐标变换体现位似图形的位置和大小关系，将几何问题代数化。
幻灯片 14：课后作业
基础题
以原点为位似中心，位似比为\(\frac{1}{3}\)，求点\(M(6, -9)\)的对应点坐标。
已知位似中心为\((1, -1)\)，位似比为\(2\)，点\(N(3, 2)\)的对应点\(N'\)的坐标是多少？
提高题
在平面直角坐标系中，△\(ABC\)与△\(A'B'C'\)位似，位似中心为原点，若\(A(3, 6)\)对应\(A'(1, 2)\)，且\(B(5, 1)\)，求\(B'\)的坐标及位似比。
画△\(DEF\)，顶点坐标为\(D(2, 1)\)、\(E(4, 3)\)、\(F(1, 4)\)，以点\((1, 1)\)为位似中心，位似比为\(2\)画它的位似图形，并写出对应顶点坐标。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.6.2平面直角坐标系中的位似
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫作 ，
这个交点叫作 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，对应线段 .
2. 如何判断两个图形是不是位似图形
位似图形
位似中心
位似比
平行或者在一条直线上
复习引入
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？
4. 基本模型：
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
平面直角坐标系中的位似变换
1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．
以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩
小，观察对应点之间坐标的变化.
合作探究
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
2. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点 O 为位似中心，位似比为 2，将
△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
2
4
6
4
6
－2
－4
－4
x
y
A
B
2
8
10
C
－2
－6
－8
－10
－8
B'
A'
C'
A"
B"
C"
O
如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为
A' ( ， )，B' ( ， )，C' ( ， )；
A" ( ， )，B" ( ， )，C" ( ， ).
4
6
4
2
10
4
－4
－6
－4
－2
－10
－4
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其位似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k.
归纳：
1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为 ( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1)
练一练
D
x
y
A
B
C
D
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 的三个顶点坐标分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，
则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
1 : 3
典例精析
例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).
A′
B′
顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
还有其他画法吗？自己试一试.
提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即 (－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的位似比是 2 : 3.
练一练
O
C
解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘以 ；在平面直角坐标系中描点
O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
C'
画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐
标都乘 ；在平面
直角坐标系中描点
O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″.
O
C
2
4
6
4
6
B″
－2
－4
－4
x
y
A
B
A″
C″
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
平面直角坐标系中的图形变换
2
4
6
4
6
－2
－4
－4
x
y
A
B
2
8
10
C
－2
－6
－8
－10
－8
例2 如图，在平面直角坐标系中，已知□OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0) A (3，0)，B (4，2)，C (1，2)，以坐标原点 O 为位似中心，将 □OABC 放大为原图形的 3 倍.
O
2
4
6
4
6
－2
－4
－4
x
y
A
B
2
8
10
C
－2
－6
－8
－10
－8
B'
A'
C'
A"
B"
C"
方法一，将□OABC的各点坐标分别乘3，得O(0，0)，A'(9，0)，B'(12，6)，C'(3，6)，依次连接点O，A'，B'，C'，则四边形OA'B'C'即为所求，如图.
方法二，将□OABC的各点坐标分别乘-3，得O(0，0)，A''(-9，0)，B''(-12，-6)，C''(-3，-6)，依次连接点O，A''，B''，C''，则四边形OA''B''C''即为所求，如图.
O
将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 以 C 为位似中心，
将 △ABC 放大 1.5 倍；
(4) 以 C 为中心，将 △ABC
顺时针旋转 180°．
练一练
x
y
A
B
C
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
C
2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( )
A．(4，－3)
B．(4，－2)
C．(4，－4)
D．(4，－6)
A
A(-5,3)
(1,-1)
B(1,3)
y
x
D(4,3)
C
O
3. 如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 .
(－2a，－2b)
知识点1 坐标平面内的位似变换
（第1题）
1.［2025娄底期中］如图，在平面直角坐标系中，将
以原点为位似中心放大后得到 ，已知
,，则与 的位似比是
( )
D
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点， 的坐标
分别为，.以点 为位似中心，在原点
的另一侧按的位似比将缩小，则点 的对
应点 的坐标是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.［2024浙江中考］如图，在平面直角坐标系中，
与是位似图形，位似中心为点 .若
点的对应点为，则点 的
对应点 的坐标为( )
A
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.［教材P100“习题3.6”第6题变式］ 如图，在平面直
角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别是
，，， ，若四边形
与四边形关于原点 位似，且四边形
的面积是四边形 面积的4倍，则第三象
限内点 的坐标为_________.
返回
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点，， 与
位似，原点是位似中心.若的面积为，则四边形
的面积为___.
（第5题）
返回
知识点2 坐标平面内的位似作图
6.如图，在平面直角坐标系中， 与
是位似图形，其中 ，请写出位
似中心的坐标：______.
返回
7.［教材P98“做一做”变式］ 如图，在
平面直角坐标系中， 的三个顶点
坐标分别为，， .
（1）画出与关于 轴对称的
；
解：如图， 即为所作.
（2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个 ，使它与
的位似比为，并写出点 的坐标.
解：如图，即为所作，点的坐标为 .
返回
（第8题）
8.如图，的顶点的坐标为 ，以原
点为位似中心，在第一象限内作 的位
似图形，且顶点的坐标为 ，则
等于( )
C
A. B. C. D.
返回
（第9题）
9. 如图，的顶点坐标分别是 ，
，，以点为位似中心，将 缩小为原
来的，得到，则点 的坐标为________________
__.
或
返回
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
平面直角坐标系中的图形变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑