资源简介

(共43张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.2 正切
副标题：探究直角三角形中锐角对边与邻边的比值关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与引入
正弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)。
余弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\cos A = \frac{ A é è }{ è }\)。
特殊角的正弦、余弦值：30°、45°、60° 的正弦和余弦值（回顾表格）。
思考问题：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值是否也有固定规律？这就是本节课要学习的正切。
幻灯片 3：正切的定义
定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，我们把锐角∠\(A\)的对边与邻边的比叫做∠\(A\)的正切，记作\(\tan A\)，即：\(
\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}
\)
符号解读：“\(\tan\)” 是正切的符号，读作 “滩金特”，\(\tan A\)表示一个整体，不是\(\tan\)与\(A\)的乘积。
注意事项：
正切的定义仅适用于直角三角形。
比值与直角三角形的大小无关，只与锐角的度数有关。
比值没有单位，是一个正数（因为边长为正数）。
幻灯片 4：正切定义的应用
图形示例：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 3\)，\(AC = 4\)，则\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}\)。
角度与正切值的关系：锐角的正切值随角度的增大而增大（后续会深入学习）。
特殊说明：对于∠\(B\)，同样有\(\tan B = \frac{ B è }{ B é è } = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}\)。
幻灯片 5：30° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 30 °\)，设\(BC = a\)，则\(AB = 2a\)，由勾股定理得\(AC = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，邻边为\(AC = \sqrt{3}a\)。
根据正切定义，\(\tan 30 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{\sqrt{3}a} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)（分母有理化后）。
结论：\(\tan 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
幻灯片 6：45° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 45 °\)，设\(AC = BC = a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，邻边为\(AC = a\)。
根据正切定义，\(\tan 45 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a} = 1\)。
结论：\(\tan 45 ° = 1\)。
幻灯片 7：60° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，设\(AC = a\)，则\(BC = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = \sqrt{3}a\)，邻边为\(AC = a\)。
根据正切定义，\(\tan 60 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}a}{a} = \sqrt{3}\)。
结论：\(\tan 60 ° = \sqrt{3}\)。
幻灯片 8：特殊角的正切值总结
锐角 α
30°
45°
60°
\(\tan ±\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(1\)
\(\sqrt{3}\)
记忆技巧：30° 的正切值为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，60° 的正切值为\(\sqrt{3}\)，二者互为倒数；45° 的正切值为 1，容易记忆。
重要说明：特殊角的正切值是解决直角三角形问题的重要工具，需准确记忆。
幻灯片 9：例题讲解 1 - 直接计算正切值
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 5\)，\(BC = 12\)，求\(\tan A\)和\(\tan B\)的值。
解答：
∠\(A\)的对边为\(BC = 12\)，邻边为\(AC = 5\)，因此\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}\)。
∠\(B\)的对边为\(AC = 5\)，邻边为\(BC = 12\)，因此\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}\)。
答：\(\tan A = \frac{12}{5}\)，\(\tan B = \frac{5}{12}\)。
幻灯片 10：例题讲解 2 - 利用特殊角正切值求边长
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，\(AC = 4\)，求∠\(A\)的对边\(BC\)的长度。
解答：
根据正切的定义，\(\tan 60 ° = \frac{BC}{AC} = \sqrt{3}\)。
已知\(AC = 4\)，代入得\(\frac{BC}{4} = \sqrt{3}\)。
解得\(BC = 4\sqrt{3}\)。
答：∠\(A\)的对边\(BC\)的长度为\(4\sqrt{3}\)。
幻灯片 11：用计算器求锐角的正切值
操作步骤：
确认计算器处于 “度” 模式（屏幕显示 “D”）。
输入锐角的度数。
按下 “tan” 键，即可得到该锐角的正切值（结果通常保留四位小数）。
示例：求\(\tan 25 °\)的值。
操作：输入 “25”→按下 “tan”→显示结果约为\(0.4663\)。
结论：\(\tan 25 ° 0.4663\)。
幻灯片 12：例题讲解 3 - 用计算器求正切值
题目：用计算器求下列锐角的正切值（结果保留四位小数）。
（1）\(35 °\) （2）\(70 °18'\)
解答：
（1）按计算器操作：输入 “35”→“tan”，得到\(\tan 35 ° 0.7002\)。
（2）先将\(70 °18'\)转换为度：\(18' = 0.3 °\)，即\(70 °18' = 70.3 °\)。输入 “70.3”→“tan”，得到\(\tan 70 °18' 2.8006\)。
答：（1）\(0.7002\)；（2）\(2.8006\)。
幻灯片 13：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
填空：\(\tan 30 ° = \)，\(\tan 45 ° = \)，\(\tan 60 ° = \)______。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 6\)，\(AC = 8\)，则\(\tan A = \)，\(\tan B = \)。
用计算器求：\(\tan 42 ° \)，\(\tan 80 ° \)。
答案
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(1\)，\(\sqrt{3}\)
\(\frac{3}{4}\)，\(\frac{4}{3}\)（\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)，\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)）
0.9004，5.6713（具体数值以计算器为准）
幻灯片 14：课堂练习 2 - 能力提升
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(AC = 6\sqrt{3}\)，求\(BC\)的长度和∠\(B\)的正切值。
解答提示：
由\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)可知∠\(A = 30 °\)。
\(BC = AC \tan A = 6\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\)。
∠\(B = 60 °\)，\(\tan B = \sqrt{3}\)（或\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\)）。
幻灯片 15：易错点提醒
混淆 “对边” 和 “邻边” 的概念，将∠\(A\)的邻边当作对边代入正切公式。
记忆特殊角正切值时出现错误，如将\(\tan 30 °\)记为\(\sqrt{3}\)，\(\tan 60 °\)记为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
使用计算器求正切值时未切换到 “度” 模式，导致结果错误。
计算含有度分秒的锐角正切值时，未将分秒转换为度。
幻灯片 16：课堂小结
正切的定义：在 Rt△中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比，即\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è }\)。
特殊角的正切值：30°、45°、60° 的正切值分别为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)、\(1\)、\(\sqrt{3}\)，需准确记忆。
计算器求正切值：确认 “度” 模式，输入角度（度分秒转换为度），按下 “tan” 键，结果保留四位小数。
核心应用：计算锐角的正切值，已知正切值和一条直角边求另一条直角边的长度。
幻灯片 17：课后作业
基础题
计算：\(\tan 30 ° + \tan 45 ° - \tan 60 °\)。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 5\)，\(AC = 5\)，求\(\tan A\)和\(\tan B\)的值。
用计算器求：\(\tan 22 °\)，\(\tan 55 °40'\)（保留四位小数）。
提高题
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan B = \sqrt{3}\)，\(BC = 2\)，求\(AC\)的长度和∠\(A\)的正切值。
已知在 Rt△中，一个锐角为\( ±\)，\(\sin ± = \frac{3}{5}\)，求\(\tan ±\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.2 正切
第4章 锐角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
铅直高度
水平宽度
A
C
B
相关概念
正切的定义
从梯子的顶端 A 到墙角 C 的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度
梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角
问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
合作探究1
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大——梯子越陡
A
B
（C）
问题2:如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
甲
乙
问题3: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡
3 m
6 m
D
E
F
C
2 m
B
4 m
A
问题4:你有几种方法比较梯子 AB 和 EF 哪个更陡？
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
3 m
2 m
6 m
5 m
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大，梯子越陡.
总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
A
C1
C2
B2
B1
合作探究2
两个直角三角形相似
(2) 和 有什么关系
(3)如果改变 B2 在梯子上的位置
(如 B3C3 )呢
思考：由此你得出什么结论
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
想一想
相等
相似三角形的对应边成比例
(1)Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系
在直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tan A，即
A
B
C
∠A 的对边
∠A 的邻边
┌
tan A =
归纳总结
结论：tan A 的值越大，
梯子越陡.
∠A的对边
∠A的邻边
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A 是一 个锐角.
2.tan A是一个完整的符号，它表示∠A 的正切.但∠BAC的正切表示为：tan∠BAC . ∠1 的正切表示为：tan∠1.
3.tan A 大于零 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A 的对边与邻边的比（注意顺序： ）.
4.tan A 不表示“tan”乘以“A ”.
5.tan A 的大小只与∠A 的大小和直角三角形的两边长的比值有关.
A
B
C
┌
锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？
可以大于1吗？
对于锐角 A 的每一个确定的值，tan A 都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于 1，此时为等腰直角三角形；
也可以大于 1，甚至可逼近于无穷大.
议一议
例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
解：甲梯中，
β
6 m
乙
8 m
α
5 m
┌
甲
13 m
乙梯中，
∵tan β＞tan α，∴乙梯更陡.
提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
典例精析
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 7，BC = 5，则 tan A =_____，tan B =_____．
练一练
2.已知∠A，∠B 为锐角，
(1)若∠A =∠B，则 tan A tan B;
(2)若 tan A = tan B，则∠A ∠B.
=
=
互余两锐角的正切值互为倒数.
3.下图中∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 指出∠A 和∠B 的正切.
(1) tan A =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tan B =
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
A
B
C
D
4.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，tan A 的值（ ）
A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍
C. 不变 D. 不能确定
A
B
C
┌
C
求 tan 30°，tan 60° 的值.
从而　AC2 = AB2 - BC2 = (2BC)2 - BC2 = 3BC2.
解：
如图，构造一个 Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 30°，
于是 BC = AB ， ∠B = 60°.
由此得出 AC = BC.
因此 　
因此
合作探究
说一说 tan 45° 的值
tan 45° = 1
30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如右表．
锐角 α 三角 函数值 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
归纳：
1
　　对于一般锐角 α（30°，45°，60°除外）的正切值，
我们也可用计算器来求.
用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角
　　例如求 25° 角的正切值，可以在计算器上依次按键 　　　　 ，显示结果为 0.6427…　　
　　如果已知正切值，我们也可以利用计算
器求出它的对应锐角.
　　例如，已知 tan α = 0.8391，依次按键
，显示结果为
40.000…，表示角 α 约等于40°.
总结归纳
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α，都有唯一确定的比值 sin α (或 cos α，tan α)与它对应，并且我们还知道，当锐角 α 变化时，它的比值 sin α (或 cos α，tan α )也随之变化. 因此我们把锐角 α 的正弦、余弦和正切统称为
角 α 的锐角三角函数.
定义中应该注意的几个问题：
1.sin A，cos A，tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2.sin A，cos A，tan A 是一个完整的符号，分别表示 ∠A 的正弦，余弦，正切 (习惯省去“∠”号).
3.sin A，cos A，tan A 是一个比值.注意比的顺序. 且 sin A，cos A，tan A 均＞0，无单位.
4.sin A，cos A，tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
5.角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.
例2 求下列各式的值：
提示：cos2 60° 表示(cos 60°)2，即
(cos 60°)×(cos 60°).
解：cos2 60° + sin2 60°
典例精析
(1) cos2 60° + sin2 60°；
(2)
解：
练一练
计算：
(1) sin 30° + cos 45°；
解：原式 =
(2) sin2 30° + cos2 30°－tan 45°.
解：原式 =
例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋| sin B－ |＝0，试判断 △ABC 的形状．
解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－ |＝0，
∴ tan A＝1，sin B＝
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴ △ABC 是锐角三角形．
练一练
1. 已知：| tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0，求∠A，∠B 的度数.
解：∵ | tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0，
∴ tan B＝ ，sin A＝
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
2. 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一
个根，求 2 sin2 α + cos2 α － tan (α + 15°) 的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3.
∵ tan α＞0，∴ tan α = 1. ∴ α = 45°.
∴ 2 sin2 α + cos2 α － tan (α + 15° )
= 2 sin2 45° + cos2 45°－ tan 60°
(1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，
AC = 12，tan A = ( ).
(2)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，
AB = 13，tan A = ( )，tan B = ( ).
(3)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tan A = ，
AC = ( ).
1.完成下列填空：
B
C
A
2.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan A = ( )
A. B. C. D.
D
这个图呢？
3.如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为
，则 =__________.
M
记得构造直角三角形哦！
知识点1 正切的定义
（第1题）
1.［2025永州月考］如图，在 中，若
，，，则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
2.如图，已知在中， ，，，则 的
长是( )
A
（第2题）
A.4 B.8 C. D.
返回
（第3题）
3.如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长均为
1）， 的值是( )
D
A.1 B. C. D.2
返回
4.如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为 ， ，
则 的值是__.
（第4题）
返回
5.［2025长沙月考］如图，在中， ， ，
，求与 的值.
解： 在中， ，， ，
， .
返回
知识点2 30° 、45° 与60° 角的正切值
6.如图，在中， ，为 的平
分线，则 等于( )
B
A. B.1 C. D.
返回
7.［教材P119“例”变式］ 计算： ___.
1
返回
知识点3 利用计算器求锐角或锐角的正切值
8.用计算器求 时，依次按 ，则计算器上显示的
结果约等于( )
C
A.0.577 B.0.707 C.0.869 D.1.732
返回
正切
正切的概念：在直角三角形中，锐角 α 的对边与邻边的比叫作角 α 的正切
正弦的性质： α 确定的情况下，tan α 为定值，与三角形的大小无关
用计算器解决正切问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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