资源简介

(共40张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：5.1 总体平均数与方差的估计
副标题：用样本特征估计总体特征
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
实际问题：某学校想了解全校学生的平均身高，由于学生人数众多，不可能对每个学生都进行测量；某工厂要检测一批零件的尺寸稳定性，也难以对所有零件逐一检测。在这种情况下，如何科学地估计总体的相关特征呢？
核心思想：当总体容量很大或检测具有破坏性时，通常从总体中抽取一部分个体作为样本，通过计算样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差。
幻灯片 3：基本概念
总体：我们所要考察对象的全体叫做总体。
个体：总体中的每一个考察对象叫做个体。
样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。
估计：用样本的某种特征量（如平均数、方差）来推测总体的相应特征量，这种方法叫做统计估计。
幻灯片 4：用样本平均数估计总体平均数
定义：在统计学中，常用样本平均数来估计总体平均数。如果从总体中抽取一个样本，计算样本的平均数\(\bar{x}\)，则可以把\(\bar{x}\)作为总体平均数\(\mu\)的估计值，即\(\hat{\mu} = \bar{x}\)。
样本平均数公式：对于样本数据\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，样本平均数为：\(
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i
\)
合理性：当样本具有代表性时，样本平均数能较好地反映总体的平均水平，样本容量越大，估计的准确性通常越高。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 用样本平均数估计总体平均数
题目：为了解某小区居民的月均用水量，随机抽取了该小区 10 户居民的月用水量（单位：\(t\)）如下：\(10, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24\)。估计该小区居民的月均用水量。
解答步骤：
计算样本平均数：\(
\bar{x} = \frac{10 + 13 + 14 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 24}{10} = \frac{178}{10} = 17.8(t)
\)
估计总体平均数：用样本平均数\(17.8t\)作为该小区居民月均用水量的估计值。
结论：该小区居民的月均用水量估计为\(17.8t\)。
幻灯片 6：用样本方差估计总体方差
定义：方差是衡量数据波动程度的统计量，常用样本方差来估计总体方差。如果从总体中抽取一个样本，计算样本的方差\(s^2\)，则可以把\(s^2\)作为总体方差\(\sigma^2\)的估计值，即\(\hat{\sigma}^2 = s^2\)。
样本方差公式：对于样本数据\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，样本方差为：\(
s^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2
\)
（注：也有教材使用\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)，实际应用中需注意定义方式）
意义：样本方差越大，说明样本数据的波动越大，估计总体数据的波动也越大；反之，波动越小。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 用样本方差估计总体方差
题目：沿用例题 1 的数据，计算样本方差，并估计该小区居民月用水量的总体方差。
解答步骤：
已知样本平均数\(\bar{x} = 17.8t\)。
计算样本方差：\(
s^2 = \frac{1}{10 - 1}[(10 - 17.8)^2 + (13 - 17.8)^2 + \cdots + (24 - 17.8)^2]
\)
具体计算：\(
= \frac{1}{9}[( - 7.8)^2 + ( - 4.8)^2 + ( - 3.8)^2 + ( - 0.8)^2 + 0.2^2 + 1.2^2 + 2.2^2 + 3.2^2 + 4.2^2 + 6.2^2]
\)
\(
= \frac{1}{9}[60.84 + 23.04 + 14.44 + 0.64 + 0.04 + 1.44 + 4.84 + 10.24 + 17.64 + 38.44] = \frac{1}{9} 171.6 = 19.07
\)
估计总体方差：用样本方差\(19.07\)作为该小区居民月用水量总体方差的估计值。
结论：该小区居民月用水量的总体方差估计为\(19.07\)。
幻灯片 8：样本的代表性
重要性：用样本估计总体的效果取决于样本的代表性，只有具有代表性的样本才能准确反映总体的特征。
提高代表性的方法：
随机抽样：使总体中的每个个体都有相同的机会被选中。
适当增大样本容量：在条件允许的情况下，样本容量越大，估计结果越可靠。
避免抽样偏差：如不随意排除某些个体、不集中在某一特定群体抽样等。
反例：要了解全校学生的身高，只抽取篮球队学生作为样本，会导致估计值偏高，因为样本不具有代表性。
幻灯片 9：例题讲解 3 - 综合应用
题目：某工厂生产一批零件，随机抽取 20 个零件测量其直径（单位：\(mm\)），数据如下：\(10.2, 10.1, 9.8, 10.3, 10.0, 9.9, 10.1, 10.0, 9.9, 10.2,\)\(10.1, 10.0, 9.8, 10.3, 10.2, 9.9, 10.0, 10.1, 10.2, 9.7\)
估计这批零件直径的总体平均数和总体方差。
解答步骤：
计算样本平均数\(\bar{x}\)：\(
\bar{x} = \frac{1}{20}(10.2 + 10.1 + \cdots + 9.7) = 10.0(mm)
\)
计算样本方差\(s^2\)：\(
s^2 = \frac{1}{19}[(10.2 - 10.0)^2 + (10.1 - 10.0)^2 + \cdots + (9.7 - 10.0)^2] 0.03(mm^2)
\)
估计：总体平均数约为\(10.0mm\)，总体方差约为\(0.03mm^2\)。
结论：这批零件直径的总体平均数估计为\(10.0mm\)，总体方差估计为\(0.03mm^2\)。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
为估计某鱼塘中鱼的平均重量，随机捕捞 10 条鱼，重量（单位：\(kg\)）如下：\(1.2, 1.5, 1.3, 1.4, 1.6, 1.5, 1.4, 1.3, 1.5, 1.4\)。则样本平均数为______\(kg\)，估计该鱼塘中鱼的平均重量为______\(kg\)。
计算第 1 题中样本数据的方差（保留两位小数），估计总体方差为______。
答案
\(1.41\)，\(1.41\)（样本平均数计算得\(1.41kg\)）
\(0.01\)（样本方差计算约为\(0.01\)）
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：某班 50 名学生的数学成绩被随机抽取了 10 名，分数如下：\(85, 90, 92, 88, 86, 95, 89, 91, 87, 93\)。
计算样本平均数和样本方差。
估计该班 50 名学生数学成绩的总体平均数和总体方差。
解答提示：
样本平均数\(\bar{x} = \frac{85 + 90 + \cdots + 93}{10} = 89.6\)；
样本方差\(s^2 = \frac{1}{9}[(85 - 89.6)^2 + \cdots + (93 - 89.6)^2] 9.82\)。
总体平均数估计为\(89.6\)，总体方差估计为\(9.82\)。
幻灯片 12：易错点提醒
计算样本平均数时漏算或错算数据，导致结果错误。
混淆样本方差公式中的分母，误将\(n - 1\)用\(n\)代替（或反之），需注意教材定义方式。
忽略样本的代表性，使用有偏差的样本进行估计，导致结果不可靠。
对 “估计” 的理解错误，认为样本特征量等于总体特征量，实际上只是近似值。
计算方差时未先求平均数，或计算偏差平方时符号错误。
幻灯片 13：课堂小结
核心思想：用样本估计总体，即通过样本平均数估计总体平均数，通过样本方差估计总体方差。
计算公式：
样本平均数：\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)
样本方差：\(s^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)（或\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)）
关键要点：
样本需具有代表性，随机抽样和适当增大样本容量可提高估计准确性。
平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度。
幻灯片 14：课后作业
基础题
从某品牌灯泡中随机抽取 15 个测试使用寿命（单位：\(h\)），数据如下：\(2500, 2600, 2400, 2550, 2700, 2650, 2580, 2450, 2520, 2680, 2530, 2480, 2590, 2630, 2570\)。计算样本平均数和样本方差，估计该品牌灯泡的总体平均使用寿命和总体方差。
为了解某年级学生的跳绳成绩，随机抽取 20 名学生的跳绳次数（单位：次 / 分钟），计算样本平均数和方差，并估计该年级学生跳绳成绩的总体平均数和方差。
提高题
已知样本数据\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)的平均数为\(\bar{x}\)，方差为\(s^2\)，则新数据\(ax_1 + b, ax_2 + b, \cdots, ax_n + b\)的平均数为______，方差为______（用含\(a, b, \bar{x}, s^2\)的式子表示）。
比较两个样本的方差，说明哪个样本的数据波动更大，并估计对应的总体波动情况。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1 总体平均数与方差的估计
第5章 用样本推断总体
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
（1）要想知道一锅汤的味道怎么办？
（2）要想知道一座矿山（铁矿）的含铁量怎么办
（3）要想知道一批炮弹的杀伤力该怎么办？
（4）合肥市明年的中考，要想估计这届学生的整体水平，应该怎样做？
问题引入
用样本平均数估计总体平均数
我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所以这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过某些特性去推断总体的特性.
从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想.用样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体方差就是这一思想的一个体现.实践和理论都表明：在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是比较合理的.
问题：果园里有100 棵梨树，在收获前，果农常会先估计果园里梨的产量．你认为该怎样估计呢？
　　梨的个数？
每个梨的质量？
合作探究
（1）果农从 100 棵梨树中任意选出 10 棵，数出这10 棵梨树上梨的个数，得到以下数据：
154，150，155，155，159，
150，152，155，153，157．
你能估计出平均每棵树的梨的个数吗？
所以，平均每棵梨树上梨的个数为 154．
（2）果农从这 10 棵梨树的每一棵树上分别随机摘 4 个梨，这些梨的质量分布如下表：
求这些梨的平均质量.
答：这些梨的平均质量为 0.42 kg.　　　　
梨的质量 x/kg
0.25
0.35
0.45
0.55
频数
4
16
8
12
(kg).
样本估计总体的思想：
用样本平均数估计总体平均数．
（3）能估计出该果园中梨的总产量吗？
思考：这个生活中的问题是如何解决的？体现了怎样的统计思想？
答：该果园中梨的总产量约为 6468 kg． 　　　　
例1 某单位共有 280 位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了 12 位员工的捐款数额，记录如下：
估计该单位的捐款总额.
典例精析
捐款数额/元 30 50 80 100
员工人数 2 5 3 2
变式：抽查某商场 10 月份 7 天的营业额(单位：万元)，结果如下：
3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，3.5.
试估计这个商场 10 月份的营业额(精确到0.01万元).
解：这 7 天营业额的平均数为：
10 月份的营业额约为：3.16×31＝97.96 (万元).
(万元).
株数
黄瓜根数
0
5
10
15
20
10
13
14
15
种菜能手李大叔种植了一批新品种的黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到右面的条形图，请估计这个新品种黄瓜平均每株结多少根黄瓜.
做一做
10
15
20
18
答：估计这个新品种黄瓜平均每株约结 13 根黄瓜.
解：
(根).
想一想：某家电商场今年 7 月 15 日至 7 月 20 日，每天销售某种空调数量(单位：台)为：
6，8，8，10，12，10.
据此预测，下半年销售量可达到 1656 台．请问是怎样作出预测的？这种预测合理吗？
用这几天销售量的平均数乘下半年的天数得到的.这样预测不合理，因为空调的销售量受天气的影响变化很大，且用来求平均数的天数过少，没有代表性.
例2 老王家的鱼塘中放养了某种鱼 1500 条，若干年后，准备打捞出售．为了估计鱼塘中这种鱼的总质
量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：
（1）鱼塘中这种鱼平均每条重约多少千克？
鱼的条数 平均每条鱼的质量/千克
第 1 次 15 2.8
第 2 次 20 3.0
第 3 次 10 2.5
（2）若这种鱼放养的成活率是 82%，鱼塘中这种鱼约有多少千克？
（3）如果把这种鱼全部卖掉，价格为每千克 6.2 元，那么这种鱼的总收入是多少元？若投资成本为 14000 元，这种鱼的纯收入是多少元？
引例：某篮球队对运动员进行 3 分球投篮成绩测试，每人每天投 3 分球 10 次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：
队员 每人每天进球数 甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球的平均数为 x甲 = 8，方差为 .
根据方差做决策
(1)求乙进球的平均数和方差；
(2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加 3 分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
例3 为了比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t）：
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
(2)哪个品种的产量较稳定？
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
∴ 甲、乙两个品种平均每公顷的产量一样高.
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(2)哪个品种的产量较稳定？
例4 一台机床生产一种直径为 40 mm 的圆柱形零件，在正常生产时，生产的零件的直径的方差应不超过 0.01.如果超过 0.01，则机床应检修调整.
下表是某日8：30-9：30及10：00-11：00两个时段中各随机抽取 10 个零件量出的直径的数值(单位：mm)
8:30 — 9:30 40 39.8 40.1 40.2 39.8 40.1 40.2 40.2 39.8 39.8
10:00 — 11:00 40 40 39.9 40 39.9 40.2 40 40.1 40 39.9
试判断在这两个时段内机床生产是否正常.
解：在8：30-9：30这段时间内生产的零件中，随机抽取的 10 个零件的直径的平均数 、方差 分别为：
在10：00-11：00 这段时间内生产的零件中，随机抽取的 10 个零件的直径的平均数 、方差 分别为：
由于随机抽取的 8:30—9:30 这段时间内生产的 10 个零件的直径的方差为 0.03,远远超过 0.01 的界限，因此我们可以推断在这段时间内该机床生产不正常.
类似地，我们可以推断在 10:00—11:00 这段时间内该机床生产正常.
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小， 可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
　先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
知识要点
做一做
某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员 10 次测验成绩（单位：m）：
甲 5.85 5.93 6.07 5.91 5.99
6.13 5.98 6.05 6.00 6.19
乙 6.11 6.08 5.83 5.92 5.84
5.81 6.18 6.17 5.85 6.21
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
解：甲、乙测验成绩的平均数分别是
x甲 = 6.01 (m) ，x乙 = 6 (m).
方差分别是
s2甲≈0.009 54，s2乙≈0.024 34.
s2甲＜s2乙，
因此，甲成绩较稳定，应该选甲参加比赛.
例5 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近 10 次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
解：　　　
(585+596+610+ 598+612+597+604+600+613+601)
= 601.6(cm)， s2甲 ≈ 65.84；
(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)
= 599.3(cm)，s2乙 ≈ 284.21．
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳定．但乙队员和甲队员的成绩相比乙队员的成绩比较突出．
（2）历届比赛表明，成绩达到 5.96 m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m 就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
1.某灯泡厂为了测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了 50 只灯泡，它们的使用寿命如下表所示．这批灯泡的平均使用寿命是多少？
解：据上表得各小组的组中值，于是　
使用寿命 x/h
800
1200
1600
2000
2400
灯泡只数
5
10
12
17
6
因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命是 1672 h．
知识点1 用样本平均数推断总体平均数
1.［2025怀化月考］某校为了解本校学生一周内在校的体育锻炼时间，
随机调查了50名不同年级的学生，发现这50名学生的每周平均锻炼时间
为，则可依此估计全校学生的每周平均锻炼时间为____ .
6.5
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2.某校为了解九年级每名学生用于完成课外作业的时间，从各班学生中
共随机抽取了10名学生进行调查，他们完成课外作业的时间
（单位： ）如下：65，95，80，85，85，85，80，75，80，90.由此
估计该年级学生用于完成课外作业的平均时间为( )
B
A. B. C. D.
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3. 某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动
一个月以来节约用水的情况，从九年级的200名同学中任选10名同学统
计了各自家庭一个月的节水情况，如下表：
节水量/ 0.5 1 1.5 2
家庭数/个 2 3 4 1
估计这200名同学的家庭一个月节约用水的总量是( )
A
A. B. C. D.
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知识点2 用样本方差推断总体方差
4.从总体中随机抽取一个样本,计算出样本方差为2,可以估计总体方差为
___.
2
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5.［教材P143“例”变式］ 某农科院对甲、乙、丙三种甜玉米各用10块
相同条件的试验田进行试验，得到三个品种的平均产量相同，且方差分
别为，， ，则适宜推广的品种是____.
（填“甲”“乙”或“丙”）
甲
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6. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时
间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，
科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等试验条件下，测
量它们的光合作用速率，结果统计如下（单位： ）：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是____（填“甲”或“乙”）.
乙
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7.某排球队6名场上队员的身高（单位： ）是：
180,184,188,190,192,194.现用一名身高为 的队员换下场上身高为
的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A
A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小 D.平均数变大，方差变大
返回
用样本平均数估计总体平均数
理解样本平均数估计总体平均数意义
运用样本平均数估计总体平均数解决问题
根据方差做决策方差
方差的作用：比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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