资源简介

(共43张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第 2 章 一元二次方程 章末复习
副标题：梳理知识脉络，强化应用能力
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：本章知识结构框架
幻灯片 3：核心知识点回顾 1 - 定义与解法
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，其一般形式为\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)），其中\(a\)为二次项系数，\(b\)为一次项系数，\(c\)为常数项。
四种解法对比
直接开平方法：适用于\(x = p\)（\(p 0\)）或\((mx + n) = p\)（\(p 0\)），直接开平方得解。
配方法：通过配方转化为\((x + h) = k\)（\(k 0\)），步骤：化 1→移项→配方→开方。
公式法：通用解法，求根公式为\(x = \frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（\(\Delta 0\)）。
因式分解法：将方程化为\((mx + n)(px + q) = 0\)，转化为两个一次方程求解。
幻灯片 4：核心知识点回顾 2 - 根的判别式与韦达定理
根的判别式（\(\Delta = b - 4ac\)）
\(\Delta 0\)：方程有两个不相等的实数根。
\(\Delta = 0\)：方程有两个相等的实数根（\(x = x = -\frac{b}{2a}\)）。
\(\Delta 0\)：方程无实数根。
根与系数的关系（韦达定理）：若\(x \)、\(x \)是\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)，\(\Delta 0\)）的两根，则：
\(x + x = -\frac{b}{a}\)
\(x ·x = \frac{c}{a}\)
常见变形：\(x + x = (x + x ) - 2x x \)；\(\frac{1}{x } + \frac{1}{x } = \frac{x + x }{x x }\)
幻灯片 5：核心知识点回顾 3 - 实际应用模型
增长率问题：\(a(1 + x)^n = b\)（\(a\)为初始量，\(x\)为增长率，\(n\)为次数，\(b\)为最终量）。
降低率问题：\(a(1 - x)^n = b\)（\(x\)为降低率）。
利润问题：总利润 = 单件利润 × 销售量，需明确价格与销量的关系。
面积问题：根据图形形状（矩形、正方形等）列面积方程，注意边长变化后的表达式。
幻灯片 6：典型例题 1 - 方程解法综合
题目：选择合适的方法解下列方程
（1）\(x - 6x + 9 = 0\)
（2）\(2x - 5x - 3 = 0\)
（3）\((x - 1) = 2x - 2\)
解答
（1）配方法 / 直接开平方法：\((x - 3) = 0\)，解得\(x = x = 3\)。
（2）因式分解法 / 公式法：\((2x + 1)(x - 3) = 0\)，解得\(x = -\frac{1}{2}\)，\(x = 3\)。
（3）因式分解法：移项得\((x - 1) - 2(x - 1) = 0\)，提取公因式得\((x - 1)(x - 3) = 0\)，解得\(x = 1\)，\(x = 3\)。
幻灯片 7：典型例题 2 - 根的判别式应用
题目：已知关于\(x\)的一元二次方程\((k - 1)x + 2x - 1 = 0\)有两个不相等的实数根。
（1）求\(k\)的取值范围。
（2）若\(k\)为正整数，求此时方程的根。
解答
（1）由题意得\(\Delta 0\)且\(k - 1 0\)，即\(2 - 4(k - 1)(-1) 0\)且\(k 1\)，解得\(4 + 4k - 4 0\)即\(k 0\)且\(k 1\)。
（2）\(k\)为正整数且\(k 0\)、\(k 1\)，则\(k = 2\)，方程为\(x + 2x - 1 = 0\)，解得\(x = \frac{-2 ±\sqrt{8}}{2} = -1 ±\sqrt{2}\)。
幻灯片 8：典型例题 3 - 韦达定理应用
题目：已知关于\(x\)的方程\(x - 4x + m - 1 = 0\)的两根为\(x \)、\(x \)，且\(x + x = 10\)，求\(m\)的值。
解答：由韦达定理得\(x + x = 4\)，\(x ·x = m - 1\)。\(x + x = (x + x ) - 2x x = 16 - 2(m - 1) = 10\)，解得\(16 - 2m + 2 = 10\)即\(m = 4\)。验证\(\Delta = 16 - 4 1 3 = 4 0\)，符合题意，故\(m = 4\)。
幻灯片 9：典型例题 4 - 增长率问题
题目：某公司 2022 年的销售额为 500 万元，2024 年的销售额为 605 万元，求该公司这两年销售额的年平均增长率。
解答：设年平均增长率为\(x\)，列方程\(500(1 + x) = 605\)，即\((1 + x) = 1.21\)，解得\(x = 0.1 = 10\%\)，\(x = -2.1\)（舍去）。答：年平均增长率为\(10\%\)。
幻灯片 10：典型例题 5 - 图形面积问题
题目：用长为 24 米的篱笆围成一个矩形花园，一面靠墙（墙长为 12 米），求花园面积的最大值及此时花园的长和宽。
解答：设与墙垂直的边长为\(x\)米，则与墙平行的边长为\((24 - 2x)\)米，面积\(S = x(24 - 2x) = -2x + 24x\)。由墙长限制得\(24 - 2x ¤ 12\)即\(x 6\)，且\(24 - 2x 0\)即\(x 12\)。对称轴\(x = 6\)，当\(x = 6\)时，长\(24 - 12 = 12\)米，面积\(6 12 = 72\)平方米。答：最大面积为 72 平方米，长 12 米，宽 6 米。
幻灯片 11：综合练习 1 - 基础巩固
题目：
方程\(x - 2x - 3 = 0\)的根是______。
若关于\(x\)的方程\(kx - 2x - 1 = 0\)有实数根，则\(k\)的取值范围是______。
已知方程\(2x + 3x - 1 = 0\)的两根为\(x \)、\(x \)，则\(x + x = \)，\(x ·x = \)。
答案：
\(x = 3\)，\(x = -1\)
\(k -1\)（注意\(k = 0\)时为一元一次方程）
\(-\frac{3}{2}\)，\(-\frac{1}{2}\)
幻灯片 12：综合练习 2 - 能力提升
题目：某商店销售一种进价为 20 元的商品，售价为 30 元时，每天可售出 100 件。若售价每上涨 1 元，销量减少 5 件。
（1）设售价上涨\(x\)元，每天利润为\(y\)元，求\(y\)与\(x\)的函数关系式。
（2）售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？
解答：
（1）\(y = (30 + x - 20)(100 - 5x) = (10 + x)(100 - 5x) = -5x + 50x + 1000\)。
（2）对称轴\(x = 5\)，售价\(30 + 5 = 35\)元，最大利润\(y = -5 25 + 250 + 1000 = 1125\)元。
幻灯片 13：易错点总结
概念类：忽略一元二次方程中\(a 0\)的条件；混淆 “方程有实根” 与 “有两个不等实根” 的判别式要求。
解法类：配方时漏加常数项或符号错误；因式分解法未将方程化为右边为 0 的形式导致漏根；公式法代入系数时符号错误。
应用类：增长率问题中误将\((1 + x)^n\)写成\(1 + nx\)；面积问题中尺寸变化分析错误（如边框宽度漏乘 2）；经济问题中销量与价格关系表达错误。
幻灯片 14：复习建议
梳理错题：重点整理解法错误、公式误用、实际问题建模错误的题目，分析原因。
强化计算：针对配方法、公式法中的根式化简、分数运算进行专项练习，提高准确性。
归类建模：将实际问题按类型（增长率、面积、利润）分类，总结每种类型的等量关系和解题模板。
限时训练：通过套题练习，合理分配时间，提高解题效率。
幻灯片 15：本章检测题预告
检测范围：全章知识点及应用。
题型分布：选择题（概念辨析）、填空题（公式应用）、解答题（方程求解、综合应用）。
复习重点：根的判别式与韦达定理的综合应用、实际问题的建模与求解。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：
如果一个方程通过整理可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程.
2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为已知数，a ≠ 0)
3.项数和系数：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中，
一次项：ax2 一次项系数：a
二次项：bx 二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：
(1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2；
(3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程．
二、解一元二次方程的方法
一元二次方程的各种解法及适用类型
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
三、一元二次方程的实际应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系；
（2）设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法；
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题；
（4）解方程：用适当的方法求出方程的根；
（5）检验：一验所得根是否方程的根，二验是否符合题意和实际；
（6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ）
A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0
解析：本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0.
A
1. 方程 5x2 - x - 3 = x2 - 3 + x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
4
-2
0
针对训练
考点二 一元二次方程的根的定义的应用
解析：根据一元二次方程根的定义可知，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1.舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”.
例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = .
【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意.
-1
2. 一元二次方程 x2 + px - 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 .
-1
针对训练
【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是 1；(a - b)2 与 (a + b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将所得边长相加，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯.
解析：(1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
(2) 先求出方程 x2﹣13x + 36 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长.
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变为（ ）
A.(x - 1)2 = 6 B.(x + 2)2 = 9 C.(x + 1)2 = 6 D.(x - 2)2 = 9
(2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为（　 ）
A．13 B． 15 C．18 D．13 或 18
A
A
3. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）.
解1：
3. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）.
解2：
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. m < 2 C. m≥0 D. m < 0
A
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a，b，c 的值.
解析：根据方程根的情况可知，判别式 Δ > 0，即
42 - 4×1×(-3m) = 16 + 12m > 0，解得 .
4. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2 + x = 0 B. 5x2 - 4x - 1 = 0
C. 3x2 - 4x + 1 = 0 D. 4x2 - 5x + 2 = 0
5.（开放题）若关于 x 的一元二次方程 x2 - x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是　　（写出一个即可）．
D
0
针对训练
考点五 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ．
25
解析：由根与系数的关系可知 m + n = 4，mn = -3，故 m2 - mn + n2 = (m + n)2 - 3mn = 16 + 9 = 25.
【重要变形式】
6. 已知方程 2x2 + 4x - 3 = 0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x12 + x22 的值等于（ ）
A. 7 B. -2 C. D.
A
针对训练
考点六 一元二次方程的实际应用
例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元时，平均每天能售出 32 件；而当销售价每上涨 2 元时，平均每天就少售出 4 件.
(1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量；
(2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？
销售问题
解析：本题为销售中的利润问题，设公司每天的销售价为 x 元. 则其基本数量关系列表分析如下：
单件利润(元) 销售量(件) 每天利润(元)
正常销售
涨价销售
4
32
x - 20
32 - 2(x - 24)
150
其等量关系是：总利润 = 单件利润×销售量.
解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = 80 - 2x (件).
(2) 由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150.
解得 x1 = 25，x2 = 35.
∵ x≤28，∴ x = 25，即销售价应当为 25 元.
【易错提示】销售量是在正常销售的基础上减少.要注意验根.
128
例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销. 小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. 求平均每次下调的百分率是多少.
解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得
5(1 - x)2 = 3.2.
解得 x1 = 1.8 (舍去)，x2 = 0.2 = 20%.
答：平均每次下调的百分率是 20%.
平均变化率问题
例8 某单位准备将院内一个长为 30 m，宽为 20 m 的矩形空地建成一个花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为 532 m2，那么小道的宽度应为多少米？(所有小道的进出口宽度相等，且每段小道为平行四边形)
解：设小道进出口的宽为 x m，
根据题意得 (30 2x)(20 x) = 532，
解得 x1 = 1，x2 = 34.
答：小道进出口的宽度应为 1 m.
∵30 2x＞0，20 x＞0，
∴x＜15. ∴x = 1.
解决有关图形面积问题时，除了掌握所学面积公式，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注：这里的横坚斜小路的的水平宽度都相等）
平移转化
方法总结
整合1 两个概念
概念1 一元二次方程
1.［2025长沙月考］下列方程中一定是一元二次方程的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.若关于的方程是一元二次方程，则 的值
是____.
返回
概念2 一元二次方程的根（解）
3.若关于的一元二次方程的一个解是 ，则
的值是___.
1
返回
4.［2025娄底月考］若是 的一个根，则
的值是_______.
2 025
返回
整合2 一个解法——一元二次方程的解法
5.解下列方程：； ；
； 时，较简便的方法是
( )
A
A.①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B.①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
C.①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法
D.①直接开平方法，②公式法，③配方法，④因式分解法
返回
6.用适当的方法解下列方程：
（1） ；
解：原方程整理，得 ，
开平方，得或，解得， .
（2） ；
解：原方程整理，得 ，
配方，得 ，
即，开平方，得或 ，
解得， .
（3） ；
解：原方程整理，得 ，
所以，解得， .
（4） .
解：原方程整理，得 ，
所以 ，
所以，所以， .
返回
整合3 两种关系
关系1 一元二次方程根的情况与判别式的关系
7.关于的一元二次方程 的根的情况是
( )
C
A.实数根的个数由 的值确定 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
返回
8.若关于的一元二次方程有两个实数根，则 的取值
范围是( )
C
A. B.
C.且 D.且
返回
9.若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则一
次函数 的图象不经过第____象限.
二
返回
关系2 一元二次方程根与系数的关系
10.已知一元二次方程 的一个根为2,则另一个根为____.
返回
11.已知和是方程的两个解，则
的值为_______.
2 030
返回
整合4 一个应用——一元二次方程的应用
12.［教材P49“例1”变式］ 红星村种的水稻2022年平均每公顷产
，2024年平均每公顷产 .求水稻每公顷产量的年平均增
长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为 .列方程为( )
A
A. B.
C. D.
返回
13.［2025娄底校级期中］某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液.经
市场调查发现：该洗衣液以30元一桶的价格出售时，平均每月售出500
桶，且洗衣液的销售单价每提高1元，其月销售量就减少10桶.
（1）若销售单价定为35元，每月可售出多少桶？
解：当销售单价定为35元时，
每月可以售出 （桶）.
（2）若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？
解：设销售单价应定为元，则 ，
解得 .
答：若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为60元.
（3）当超市销售该洗衣液每月有8 000元的销售利润时，为体现“薄利
多销”的销售原则，你认为销售单价应定为多少？
解：设销售单价应定为 元，则
，
整理,得，解得, ，
要体现“薄利多销”的销售原则， .
答：销售单价应定为40元．
返回
整合5 三种思想
思想1 整体思想
14.若是关于的方程 的根，则
的值为( )
C
A.16 B.12 C.20 D.30
返回
思想2 分类讨论思想
15.阅读下面例题：
例：解方程 .
解：①当时，原方程化为 ，
解得或 （不合题意，舍去）；
②当时，原方程化为 ，
解得（不合题意，舍去）或 .
所以原方程的根是， .
请仿照上述方法，解方程 .
解：①当，即时，原方程化为 ,解得
或（不合题意，舍去）；②当，即 时，原方
程化为,解得（不合题意，舍去）或 .
故原方程的根是， .
返回
思想3 转化思想
16.换元法是一种重要的转化方法，如：解方程 ，设
,则原方程转化为.已知, 是实数，满足
，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
返回
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程；②一元；③二次
一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式：Δ = b2 - 4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、行程问题
一元二次方程
一元二次方程的定义
一元二次方程的解法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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